概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)幾種重要的分布

1、第四章 幾種重要的分布4.1 二項(xiàng)分布4.2 超幾何分布4.3 泊松分布4.4 指數(shù)分布4.6 正態(tài)分布一、兩點(diǎn)分布 2、數(shù)字特征1、定義4.1 二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布1、定義2、數(shù)字特征例2、某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4，求最近6天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布。解：設(shè)最近六天內(nèi)用水量保持正常的天數(shù)為X。它服從二項(xiàng)分布，n=6, p=0.75。利用二項(xiàng)分布公式計(jì)算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解：X服從二項(xiàng)分布，n=10, p=0.2。利用二項(xiàng)分布公式計(jì)算例3、10部機(jī)器各自獨(dú)立工作，因修理調(diào)整等原因，每部機(jī)器停車的概

2、率為0.2。求同時(shí)停車數(shù)目X的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00例4、 一批產(chǎn)品的廢品率為0.03，進(jìn)行20次重復(fù)抽樣（有放回）。求出現(xiàn)廢品的頻率為0.1的概率。解：X表示20次中抽到廢品的次數(shù)，服從二項(xiàng)分布，n=20, p=0.03。利用二項(xiàng)分布公式計(jì)算3、二項(xiàng)分布的最可能值例5、某批產(chǎn)品有80的一等品，對(duì)它們進(jìn)行重復(fù)抽樣檢驗(yàn)，共取出4個(gè)樣品，求其中一等品數(shù)X的最可能值k，并用貝努利公式驗(yàn)證。解：一等品數(shù)X服從二項(xiàng)分布，np+p=3.2+0.8=4，所以k=3,4時(shí)PX=k最大。X01234P0.0016

3、0.02560.15360.40960.4096n很大時(shí)，頻率為概率的可能最大證明：例6、某人射擊的命中率為0.8，今連續(xù)射擊30次，計(jì)算命中率為 60的概率。例9、計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，每個(gè)加數(shù)按四舍五入取整數(shù)，假定每個(gè)加數(shù)的取整誤差服從-0.5,0.5上的均勻分布，今有五個(gè)加數(shù)相加，計(jì)算它們中至少有三個(gè)加數(shù)的取整誤差絕對(duì)值概率不超過0.3的概率。例1：某班有學(xué)生20名，其中5名女同學(xué)，今從班上任選4名學(xué)生去參觀展覽，被選到的女學(xué)生數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，求X的分布。例2：某班有學(xué)生20名，其中3名女同學(xué)，今從班上任選4名學(xué)生去參觀展覽，被選到的女學(xué)生數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，求X的分布。4.2 超

4、幾何分布1、定義2、數(shù)字特征3、超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系證明：例3、一大批種子的發(fā)芽率為90，從中任取10粒，求(1)播種后恰好有8粒發(fā)芽的概率。(2)播種后不少于8粒發(fā)芽的概率。解 設(shè)X為10粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)目，服從超幾何分布。但是N很大，n=10項(xiàng)對(duì)于N很小，可以認(rèn)為X近似服從二項(xiàng)分布B（10，0.9）。 幾何分布1、定義 在無窮次貝努利試驗(yàn)中，事件 A 首次發(fā)生時(shí)所需要的試驗(yàn)次數(shù)X的分布。2、數(shù)字特征3、無記憶性證明：例1、 ( 離散隨機(jī)等待時(shí)間) 每張彩票中獎(jiǎng)概率 0.01，某人每次只買一張。(1) 他買到第 k張才中獎(jiǎng)的概率，(2) 買了 8 張都沒有中獎(jiǎng)的概率。解. 買到第一

5、張中獎(jiǎng)彩票需要的次數(shù) X G (0.01 ) 1、定義2、數(shù)字特征4.3 Poisson (泊松) 分布3、泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系定理說明，對(duì)于成功率為p的n重貝努利試驗(yàn)，只要n充分大，而p充分小，則其成功的次數(shù)X近似服從參數(shù) 的泊松分布。 例1、X服從poisson分布，EX=5，查表求P(X=2)，P(X=5)， P(X=20)。一般當(dāng) n 20 ，p 0.05 時(shí)可以近似計(jì)算例2、檢查了100個(gè)零件上的疵點(diǎn)數(shù)，結(jié)果如表。用poisson分布公式計(jì)算疵點(diǎn)數(shù)的分布，并與實(shí)際檢查結(jié)果比較。疵點(diǎn)數(shù)0123456頻:=140+271+262+203+74+35+36)/

6、100=2疵點(diǎn)數(shù)0123456頻率0.140.270.260.20.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361例3、一袋重量為500克的種子約10000粒，假設(shè)該袋種子的發(fā)芽率為98.5%，從中任取100粒進(jìn)行試驗(yàn)，計(jì)算恰好有1粒沒有發(fā)芽的概率。解1：設(shè)100粒中未發(fā)芽的種子有X粒，服從超幾何分布。N10000，N19850，n100，由于N很大，n100相對(duì)于N很小，X可用二項(xiàng)分布近似計(jì)算解2：n100，p=0.015很小，X可用poisson分布近似計(jì)算例4、設(shè)城市每年因交通事故死亡的人數(shù)服從泊松分

7、布。據(jù)統(tǒng)計(jì)在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡兩人概率的1/2。計(jì)算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解:設(shè)隨機(jī)變量X表示一年內(nèi)因交通事故死亡的人數(shù)。要求泊松分布的參數(shù)。由題意，4、Poisson分布的最可能值超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布超幾何分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的關(guān)系X 0 1pk1- p p只有兩個(gè)互逆結(jié)果的 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) (n+1)p 二項(xiàng)分布的逼近式無窮次伯努利試驗(yàn)中A首次發(fā)生的試驗(yàn)次數(shù)對(duì)含有兩類元素的有限總體進(jìn)行不放回抽樣時(shí)某類元素個(gè)數(shù)的概率分布在一定時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)在給定區(qū)域的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)一、均勻分布 定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 1、定義可描述在某區(qū)間上具有等

8、可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn) 4.4 指數(shù)分布2、分布函數(shù)3、數(shù)字特征二、指數(shù)分布 1、定義定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為其中 0為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布， 記為 Xe( ). 可描述兩次事件發(fā)生的時(shí)間間隔2、分布函數(shù)3、數(shù)字特征例1、某元件壽命X服從參數(shù)為1/1000的指數(shù)分布。三個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)后，都沒有損壞的概率。各元件壽命相互獨(dú)立。因此3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)都未損壞的概率為 。4、無記憶性若 X e(),則證明：命題故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布解 X e(0. 05), (1) P(10 X 20) 例2、 從某項(xiàng)壽命試驗(yàn)的數(shù)據(jù)中知，壽命 X

9、 服從參數(shù)為0.05 的指數(shù)分布，(1) 求 P(10 80|X 50); 事件 X 80X 50， P(X 80|X 50) 即有 - 0.05 x x ) x ) 0.1 , 則 x 取值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？1、定義定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 則稱 X 服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布，其中 - 0 為常數(shù)， 記為 XN( , 2 ). 4.6 正態(tài)分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布。自然界大量的隨機(jī)現(xiàn)象近似服從正態(tài)，如： 測(cè)量誤差，生物特征數(shù)據(jù)，農(nóng)作物的產(chǎn)量，工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，氣象數(shù)據(jù)等等； 一般的，如果某個(gè)數(shù)量指標(biāo)受到大量的隨機(jī)因素的影響，每一個(gè)因素所起的作用又很小，則這個(gè)數(shù)量指

10、標(biāo)就近似服從正態(tài)分布。 概率論中的很多重要分布都與正態(tài)分布有關(guān)。(1) 密度函數(shù)關(guān)于 x = 對(duì)稱；(2) 圖形在x軸上方且密度函數(shù)在 x = 處達(dá)到最大值； 兩頭小，中間大大多數(shù)現(xiàn)象的正常狀態(tài)，即極端的總是少數(shù)。正態(tài)分布密度函數(shù)的重要性質(zhì)(3) 密度函數(shù)在 x = 處有拐點(diǎn)；(4) x軸是密度函數(shù)的水平漸近線；(5) 是位置參數(shù)， 是形狀參數(shù) 如果固定 而改變 ，密度函數(shù)位置改變，沿 ox 軸平移，但是形狀不變； 反之，如果固定 而改變 ，密度函數(shù)的位置不改變，但形狀將隨 的增加而變平坦，隨 的減小而變陡峭 。 說明固定 時(shí)，對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)參數(shù) 越大時(shí)，X 落在這個(gè)區(qū)間里的概率將越小

11、，而當(dāng)參數(shù) 越小時(shí)，X 落在這個(gè)區(qū)間里的概率將越大。2、數(shù)字特征= 2. 3、分布函數(shù)4、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布5、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系證明：定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 只需查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布表，就可以解決正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.例4、設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6).解解一：解二 圖解法0.2由圖知0.3例6 (3 原理)解一次試驗(yàn)中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 )的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小由3 原理知，例7、 設(shè)測(cè)量的誤差 X N(7.5,100)(單位:米)，問要進(jìn)行

12、多少次獨(dú)立測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過10米的概率大于0.9 ?解：設(shè) A 表示進(jìn)行 n 次獨(dú)立測(cè)量至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過10米。n 3故至少要進(jìn)行 4 次獨(dú)立測(cè)量才能滿足要求.1、定義2、數(shù)字特征3、特殊情形證明：二元正態(tài)分布兩個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布描述在某區(qū)間上具有等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn) 描述影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，每一因素獨(dú)立，但每個(gè)因素所起作用不大的隨機(jī)試驗(yàn)描述電子產(chǎn)品或動(dòng)物壽命的分布, 各種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間、等待時(shí)間等 X 在區(qū)間(a, b)上取值, 且取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率僅與小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比隨機(jī)變量 X分布函數(shù)離散型連續(xù)型 分布列 密度函數(shù) 復(fù)習(xí)其圖形是右連續(xù)的階梯曲線 其圖形是連續(xù)曲線 f (x) 常見的分布離散型連續(xù)型兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布超幾何分布、幾何分布x p(x)0 f (x)x0 特征非負(fù) 規(guī)范 至此，