專訓(xùn)2　圓中常用的作輔助線的八種方法

1、專訓(xùn)2圓中常用的作輔助線的八種方法名師點(diǎn)金：在解決有關(guān)圓的計(jì)算或證明題時(shí)，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)妮o助線至關(guān)重要圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角；證切線時(shí)“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等 作半徑，巧用同圓的半徑相等1如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D在半圓O上，頂點(diǎn)B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上，E點(diǎn)在半圓O的直徑上，點(diǎn)G在大正方形的邊AB上若小正方形的邊長(zhǎng)為4 cm，求該半圓的半徑(第1題) 連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周

2、角相等2如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角ACM的平分線與圓交于D點(diǎn)，DPAC，垂足是P，DHBM，垂足為H.求證：APBH.(第2題) 作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角3如圖，O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.(1)求證：AD2BC24R2；(2)若弦AD，BC的長(zhǎng)是方程x26x50的兩個(gè)根(ADBC)，求O的半徑及點(diǎn)O到AD的距離(第3題) 證切線時(shí)輔助線作法的應(yīng)用4如圖，ABC內(nèi)接于O，CACB，CDAB且與OA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.判斷CD與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由(第4題) 遇弦加弦心距或半徑5如圖，在半徑為5的O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且ABCD8，

3、則OP的長(zhǎng)為()A3 B4 C3eq r(2) D4eq r(2)(第5題)(第6題)6【中考貴港】如圖，AB是O的弦，OHAB于點(diǎn)H，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，若AB2eq r(3)，OH1，則APB_. 遇直徑巧加直徑所對(duì)的圓周角7如圖，在ABC中，ABBC2，以AB為直徑的O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求證：ABC為等邊三角形(2)求DE的長(zhǎng)(第7題) 遇切線巧作過(guò)切點(diǎn)的半徑8如圖，O是RtABC的外接圓，ABC90，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，且PAPB.(1)求證：PB是O的切線；(2)已知PAeq r(3)，ACB60，求O的半徑(第8題) 巧添輔助線計(jì)算陰影部

4、分的面積9【中考自貢】如圖，點(diǎn)B，C，D都在O上，過(guò)點(diǎn)C作ACBD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接CD，且CDBOBD30，DB6eq r(3) cm.(1)求證：AC是O的切線；(2)求由弦CD，BD與eq o(BC,sup8()所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：89274011】(第9題)答案1解：如圖，連接OA，OF.設(shè)OAOFr cm，ABa cm.(第1題)在RtOAB中，r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup12(2)a2，在RtOEF中，r242eq blc(rc)(avs4alco1(4f(a,2)eq sup12(2)，eq f(a2,4)

5、a216164aeq f(a2,4).解得a18，a24(舍去)r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,2)eq sup12(2)8280.r14eq r(5)，r24eq r(5)(舍去)即該半圓的半徑為4eq r(5) cm.點(diǎn)撥：在有關(guān)圓的計(jì)算題中，求角度或邊長(zhǎng)時(shí)，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題2證明：如圖，連接AD，BD.DAC，DBC都是eq o(DC,sup8()所對(duì)的圓周角DACDBC.CD平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH.在ADP和BDH中，eq blc(avs4alco1(DAPDBH，,DPADHB90，,DPDH

6、.)ADPBDH.APBH.點(diǎn)撥：本題通過(guò)作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到DACDBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件(第2題)3(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作O的直徑DE，連接AE，EC，AC.(第3題)DE是O的直徑，ECDEAD90.又CDAB，ECAB.BACACE.eq o(BC,sup8()eq o(AE,sup8().BCAE.在RtAED中，AD2AE2DE2，AD2BC24R2.(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFAD于點(diǎn)F.弦AD，BC的長(zhǎng)是方程x26x50的兩個(gè)根(ADBC)，AD5，BC1.由(1)知，AD2BC24R2，52124R2.Req f(r(26),

7、2).EAD90，OFAD，OFEA.又O為DE的中點(diǎn)，OFeq f(1,2)AEeq f(1,2)BCeq f(1,2)，即點(diǎn)O到AD的距離為eq f(1,2).點(diǎn)撥：本題作出直徑DE，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，給解題帶來(lái)了方便4解：CD與O相切，理由如下：如圖，作O的直徑CE，連接AE.(第4題)CE是O的直徑，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB.BACD.又BE，ACDE.ACEACD90，即OCDC.又OC為O的半徑，CD與O相切5C6.60(第7題)7(1)證明：如圖，連接AD，AB是O的直徑，ADB90.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

8、AD是線段BC的垂直平分線ABAC.又ABBC，ABBCAC.ABC為等邊三角形(2)解：如圖，連接BE.AB是O的直徑，AEB90.BEAC.ABC是等邊三角形，AEEC，即E為AC的中點(diǎn)又D是BC的中點(diǎn)，故DE為ABC的中位線DEeq f(1,2)ABeq f(1,2)21.8(1)證明：如圖，連接OB，OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA，即PAOPBO.又PA是O的切線，PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O的半徑，PB是O的切線(第8題) (2)解：如圖，連接OP，PAPB，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上OAOB，點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上OP為線段AB的垂直平分線又BCAB，POBC.AOPACB60.由(1)知PAO90.APO30.PO2AO.在RtAPO中，AO2PA2PO2，AO23(2AO)2.又AO0，AO1.O的半徑為1.9(1)證明：如圖，連接CO，交DB于點(diǎn)E，O2CDB60.又OBE30，BEO180603090.ACBD，ACOBEO90，即OCAC.又點(diǎn)C在O上，AC是O的切線(2)解：OEDB，EBeq f(1,2)DB3