電磁場與電磁波-矢量分析

1、第一章 矢量分析本章主要介紹與電磁場理論有關(guān)的矢量分析方法及定理主要內(nèi)容：矢量分析基礎(chǔ)標量場的方向?qū)?shù)梯度矢量場的通量和散度矢量場的環(huán)量和旋度圓柱坐標系與球坐標系亥姆霍茲定理1.1 矢量分析基礎(chǔ)標量與矢量矢量的表示與運算法則標量場與矢量場標量場的等值面和矢量場的矢量線1.1.1 標量與矢量標量：只用大小就能夠完整描述的物理量稱標量。例：溫度、質(zhì)量、電量。矢量：既有大小、又有方向的物理量。 例：力、速度、力矩、磁場強度、加速 度等。1.1.2 標量和矢量的表示（約定）標量用白體表示 例如： S 、 V矢量用黑體表示 例如： F 、 V矢量的大小用相應(yīng)的白體表示 例如:用A表示A的大小則稱 A 為

2、 A 的模值記為： A =|A| 或 A = |A|eA=AeAeA為單位矢量，表征矢量的方向。矢量的圖形表示：線段的長度代表矢量的大小、線段的方向代表矢量的方向。矢量大小矢量的方向A矢量的手寫表示：常用字符上加一個箭頭表示。A一個大小為零的矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）。 一個大小為1的矢量稱為單位矢量（Unit Vector），常用小寫字母e表示。 在直角坐標系中， 用單位矢量ex、 ey、 ez表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。 1.1.3 矢量的運算法制矢量的加法運算矢量的減法運算兩個矢量的乘積兩個矢量的乘積有兩個定義：點積叉積運算結(jié)果運算

3、結(jié)果標量矢量運算結(jié)果標積矢積兩個矢量的點積：寫成其值為： 點積的性質(zhì)：交換律分配律按乘數(shù)比例兩個矢量的叉積：寫成其值為：叉積的性質(zhì)：不服從交換律但服從分配按乘數(shù)比例例A1-1 若是否意味著總是等于呢？解：因為可寫成于是得出如下結(jié)論：(a)都滿足或或(b)(c)1.1.4 標量場與矢量場常矢矢量的大小（模）和方向都不發(fā)生變化（保持不變）例如：無限大極板間的電場強度； 地面某點的物體所受的重力變矢矢量的大小（模）和方向或兩者之一會發(fā)生變化的矢量例如：環(huán)繞地球運行的人造地球衛(wèi)星的速度 圓形軌道：速度大小不變，速度方向變 橢圓軌道：速度的大小和方向都在變標量函數(shù)：當某個量(比如溫度 T )隨著另一個量

4、(比如時間 t )而變，我們就說T是t的函數(shù)，這是標量函數(shù)表示為： T = T( t )對于矢量也存在相應(yīng)的函數(shù)，稱為矢性函數(shù)例如：衛(wèi)星的速度是時間 t 的矢性函數(shù)場的定義： 如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。若該物理量為標量，則稱標量場, 可用標量函數(shù)表示f(x,y,z)；若該物理量為矢量，則稱矢量場, 可用矢性函數(shù)表示F(x,y,z)；若該物理量與時間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場； 若該物理量與時間有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。 F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)笛卡爾坐標系我們的標量函數(shù)（標量場）通常用笛卡爾坐標系

5、表示，我們的矢性函數(shù)也可以用笛卡爾坐標系來表示根據(jù)矢量的運算規(guī)則，多個矢量可以進行矢量相加，反過來，一個矢量以可以分解為多個矢量的和 空間的一點P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定， 如圖所示。 從原點指向點P的矢量 r 稱為位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐標系中分解成3個分量之和 式中， X、 Y、 Z是位置矢量 r 在x、 y、 z 軸上的投影。 代表x、y、z方向上模為1的單位矢量 這樣一來，任何一個矢性函數(shù)都可以用3個標量函數(shù)來表示：用這種方式表示矢量，使得對矢性函數(shù)的各種運算就轉(zhuǎn)變?yōu)榉謩e對3個標量函數(shù)的運算。例如：這樣只要分別求標量

6、函數(shù)的極限即可。直角坐標系中的單位矢量有下列關(guān)系式：任意兩矢量的標量積， 用矢量的三個分量表示為任意兩矢量的矢量積， 用矢量的三個分量表示為1.1.5 標量場的等值面和矢量場的矢量線標量場的等值面 一個標量場可以用一個標量函數(shù)來表示。 在直角坐標系中， 可將表示為 = (x, y, z) 由所有場值相等的點所構(gòu)成的面（線），稱為等值面（線），其方程為： (x, y, z)=const隨著const的取值不同， 得到一系列不同的等值面。 對于由二維函數(shù)v=v(x, y)所給定的平面標量場， 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值線。 例：r =(x2+y2+z2)1/2 所代表的為一球面，

7、當r分別取不同的值a、b時，得到不同的等值面方程： (x2+y2+z2)1/2 =a (x2+y2+z2)1/2 =b 分別代表半徑為a、b的球面。若想求通過M（1，0，1）的球面，可先將M代入r =(x2+y2+z2)1/2 求出球面半徑r： r =(12+02+12)1/2 =2 1/2 則通過M（1，0，1）的球面方程為：x2+y2+z2 =2其方程為:（1）標量場-等值線(面)形象描繪場分布的工具場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？h(x, y,z)=const密?。?）矢量場的矢量線所謂矢量線(ector Line)， 是這樣一些曲線： 在曲線上的每一點處， 場的矢量都位于該

8、點處的切線上。 例：電力線、磁力線、流速場中的流線等。 圖 1-1 矢量場的矢量線 一根長直導(dǎo)線的磁場的磁感應(yīng)線用鐵粉的圖形描繪。 矢量線方程的表達式： 設(shè)P為矢量線上任一點， 其矢徑為r， 則根據(jù)矢量線的定義， 必有 （1-1a） 在直角坐標系中， 矢徑r的表達式為 （1-1b） 將其代入式（1-1a）即得矢量場的矢量線滿足的微分方程為（1-1） 例1-1 求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：點M的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為 或 例1-2 求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy

9、2ez的矢量線方程。解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 從而有 解之即得矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 1.2 標量場的方向?qū)?shù)和梯度1.2.1 標量場的方向?qū)?shù) 圖 1-2 方向?qū)?shù)的定義 方向?qū)?shù)表征標量場空間中，某點處場值沿各個方向變化的規(guī)律。方向?qū)?shù)的定義： 設(shè)M0是標量場=(M)中的一個已知點，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l, 在l上M0的鄰近取一點M，MM0=，如圖所示。若當M趨于M0時(即趨于零時)， 的極限存在，則稱此極限為函數(shù)(M)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為 若函數(shù)=(x, y, z)在點M0(x0, y0, z0)處可微，cos、cos、cos為l方向的方向余弦，則

10、函數(shù)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為 證明：M點的坐標為M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函數(shù)在M0處可微，故 兩邊除以，可得 當趨于零時對上式取極限，可得 記??！方向?qū)?shù)的物理意義：標量場在M0處沿l方向的增加率。：標量場在M0處沿l方向的減小率。：標量場在M0處沿l方向為等值面方向（無改變）。 例1-3 求數(shù)量場 在點M(1, 1, 2)處沿方向 的方向?qū)?shù)。 解：l方向的方向余弦為 而 在點M處沿l方向的方向?qū)?shù) 點M(1, 1, 2)數(shù)量場在 方向的方向?qū)?shù)為 1.2.2 標量場的梯度 在直角坐標系中，令 則沿 方向的單位矢量為： 標量場(x, y, z)在 方向上

11、的方向?qū)?shù)為 其中： 由（1-4）知，當 與 的方向一致時，即 時，標量場在點M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為 梯度的意義：1、標量場的梯度是矢量，且是坐標位置的函數(shù)。2、標量場的梯度的幅度表示標量場的最大增加率。3、標量場的梯度方向垂直于等值面，為標量場增加最快的方向。4、標量場在給定點沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在此方向上的投影。 設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為標量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立。 梯度的重要性質(zhì)證明： 例1-4 設(shè)標量函數(shù)r是動點M(x, y, z)的矢量的模， 即 ， 證明： 證： 因為 所以 求方向?qū)?shù)的方法：例1-5 求

12、在M(1，0，1)處沿方向的方向?qū)?shù)。解： 由例1-2知r的梯度為 點M處的坐標為x=1, y=0, z=1, 所以r在M點處的梯度為: 而 所以 r在M點沿l方向的方向?qū)?shù)為 : 例1-6 已知位于原點處的點電荷q在點M(x, y, z)處產(chǎn)生的電位為 ，其中矢徑 為 ，且已知電場強度與電位的關(guān)系是E= -，求電場強度E。 解： 作業(yè)：1.1 1.2 1.31.3 矢量場的通量和散度 1.3.1 矢量場的通量 1、面元及法線：將曲面的一個面元用矢量 來表示，其方向取為面元的法線方向， 其大小為 ，即 是面元法線方向的單位矢量。圖 1-3 法線方向的取法 的指向有兩種情況：對開曲面上的面元，遵

13、守右手螺旋法則，如圖1-3(a)所示； 對閉曲面，取外法線方向。2、通量：若矢量場 分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義： 如果曲面是一個封閉曲面，則 為矢量 沿曲面 的通量。 例：設(shè)河水的流速是v m/s，河道橫截面積為S m2，則河水的流量是：下面兩個方形容器哪個單位時間里接的雨水多?左圖右圖3、通過閉合面S的通量的物理意義：若0：則閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的正源。若 0 (有正源) l時，其空間電位的表達式為 解： 在球面坐標系中，哈密頓微分算子的表達式為 求其電場強度因為 說明：矢量場可分解為一個有源無旋場和有旋無源場之和，即:若矢量場 在某區(qū)域V中處處有:則 由其在邊界上的場分布確定。（注意：若整個空間散度和旋度都為0，則此矢量場不存在。）1.6 亥姆霍茲定理 在有限空間區(qū)域中，則矢量場由其散度、旋度和邊界條件唯一確定，并且可以表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和， 即 1.6.1 亥姆霍茲定理1、無旋場：若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個區(qū)域內(nèi)有 ，則稱該區(qū)域內(nèi)，場 為無旋場。無旋場的重要性質(zhì)：1.6.2 無旋場與無散場 討論：標量場梯度的重要性質(zhì)：無旋場的旋度始終為0，可引入標量輔助函數(shù)表示無旋場，即： 標量函數(shù) 稱無旋場 d 的標量位函數(shù)，稱標量位。2、無散場：若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個區(qū)域