小學(xué)六年級奧數(shù) 第十五章 最值問題

1、小學(xué)六年奧數(shù) 第十五章 最值問題第十五章 最值問題知識要點(diǎn)1.如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，它們的乘積越大。當(dāng) 兩個數(shù)相等時，它們的乘積最大。2.兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越 小。 3.把一個數(shù)拆分成假設(shè)干個自然數(shù)之和，如果要使這假設(shè)干個自然數(shù)的乘 積最大，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是 2 或 3，且 的個數(shù)不超過 2 個。 典例巧解 例 1 兩個自然數(shù)的和是 ，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)是多少？ 點(diǎn)撥 將兩個自然數(shù)的和為 13 的所有情況都列出來，有以下 7 種情況： 130 13， 0130； 13112， 11212； 13211， 1

2、1222； 13 310， 31030； 1349， 4936； 1358， 58； 13 67， 6742。由此可見，兩個整數(shù)的和一定時，兩個整數(shù)的差越小，它們的乘積越大 解 1326?1， 6(61)42。 答：這兩個整數(shù)分別為 6 和 7。 例 2 比擬下 面兩個乘積的大小。A5712846387596512 B5712847087596505點(diǎn)撥 要比擬 A 與 B 的大小，用計(jì)算的方法求積會很麻煩。仔細(xì)觀察兩組對應(yīng) 因數(shù)的大小我們不難發(fā)現(xiàn)兩個因數(shù)的和是一定的只要比擬每組兩個因數(shù)差 的大小就可以了，差大的積反而小，差小的積反而大。解 A 組兩個因數(shù)的差87596512571284633

3、0468049， B 組兩個因數(shù)的差： 875965055712847030468035。 因?yàn)?3046804930468035，所以 A。例 3 兩個自然數(shù)的積是 這兩個自然數(shù)是什么值時它們的和最小？ 點(diǎn)撥 兩個自然數(shù)乘積是 50 的共三種情況： 5050150151； 50252， 25227； 50105，10515。從上面的分析我們不難看出：當(dāng)兩個自然數(shù)的積一定時，兩個自然數(shù)的差越 小，這兩個自然數(shù)的和越小。1 / 7解 50105時兩數(shù)的差最小以兩個因數(shù)之和最小為 515 答： 當(dāng)這兩個自然數(shù)是 10 和 5 時，它們的和最小，是 。例 4 從 0，1，2，4，5，7，8，9 這十

4、個數(shù)字中，選出五個不同的數(shù)字 組成一個五位數(shù)，使它能被 3，5，7 和 13 整除，這個數(shù)最大是多少？點(diǎn)撥 要使這個五位數(shù)能被 3，5，7 和 13 整除，可知這個五位數(shù)是 3，5，7， 13 的公倍數(shù)，而 3，13 的最小公倍 。在五位數(shù)中1365 的最大 倍數(shù)是但 99645 中有兩個 重復(fù)，不符合題意。因而 99645 可逐個減少 1365，直至找出符合題意的五位數(shù)。解 3 和 13 的最小公倍數(shù)是 1365在五位數(shù)中 的最 大公倍數(shù)是99645136598280(不符合題意)， 98280136596915(不符合題意， 969151

5、36595550(不符合題意)， 9555094185(符合題意)。 答這 個最大的五位數(shù)是 94185。例 5 要砌一個面積為 平方米的豬圈這個豬圈的圍墻最少長多少米？ 點(diǎn) 撥 要想使豬圈的圍墻最少兩個邊的差越小越好。 解 1441212所以圍墻 最少長：(1212)248(米)。 答：這個豬圈的圍墻最少長 48 米。 說明 面 積一定的長方形中，正方形的周長最短。例 6 把 17 拆分成假設(shè)干個自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使它們的乘積最大？ 點(diǎn)撥 顯然，拆分的數(shù)中不能有 0。假設(shè)分成的自然數(shù) 1 是分成的另一個 自然數(shù)，因?yàn)?x，也就是說， 1 作為分成的一個自然數(shù)要比分成 1 和 1 兩個自

6、然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)不應(yīng)有 。如果分成的自然數(shù)中有大于 的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)， 這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如52323，83535，也 就是說只要有大于 4 的數(shù)這個數(shù)就可以再分所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)有大于 4 的數(shù)。如果分成的自然數(shù)有 4因?yàn)?422所以可以將 4 分成兩個 2那么把 17 分解時只能有 2 和 3。因?yàn)?222833，339，說明2 / 7雖然 3 個 2 與 2 個 3 的和都是 6，但 2 個 3 的乘積大于 個 2 的乘積，所以分成 的自然數(shù)中最多有 2 個 2，其余都是 3。解 1733332，乘積最大時為 486。例 7 長方體的長、

7、寬、高均為整厘米數(shù)，相鄰兩個面的面積是 平方厘米 和 84 平方厘米。求外表積最小的長方體的體積。點(diǎn)撥 設(shè)長方體的長為 a 厘米，寬為 b 厘米，高為 c 厘米，依題意列關(guān)于長方 體的外表積和體積的表達(dá)式，并對其進(jìn)行最值問題的討論，問題易解。解 設(shè)長方體的長為以厘米，寬為 6 厘米，高 c 厘米，依題意有： 180， bc84。由此可知 b 是 180 和 84 的公約數(shù)而長方體的外表積為： (abbcac)2 (18084ac)2.可以看出，ac 越小，外表積越小，因而應(yīng) b 盡可能的大180 和 84 的最大 公約數(shù)是 12，此時，長方體體積為：abc(ab)?(bc)180?841260

8、(立方厘米)。 b12 答外表積最小的長方體的體積 是 1260 立方厘米。例 8 某市發(fā)出的車牌號碼均由 個數(shù)字(從 0 到 9 這 10 個數(shù)中選擇組成該 市規(guī)定：任意兩個車牌至少要有兩對同一數(shù)位上的數(shù)字不同如車牌號 和 030471 不能同時使用)。求該市最多能發(fā)出多少個不同車牌。點(diǎn)撥 如果發(fā)出了 個車牌那么由抽屜原理可知至少有 2 車牌的前 5 個數(shù)字相同么此 2 個號碼違反規(guī)定此市發(fā)出的車牌不能超過 100000 個。解 可發(fā)出 100000 個車牌并符合規(guī)定號碼前 5 位任意填寫(100000 填法)， 個位那么填寫前五位數(shù)字之和的個位數(shù)字。對這樣得到的兩個牌號 a1a2a3a4a

9、5a6 b1b2b3b4b5b6；假設(shè) a1a2a3a4a5a6 與 b1b2b3b4b5b6 中有兩個或兩個以上表示不同，那么符合規(guī)定；假設(shè) a1a2a3a4a5 與 b1b2b3b4b5 中只有一個數(shù)字不同，不妨 a1，那么 a6b6(a1a2a3a4a5)的末位數(shù)b2b3b4b5)的末位數(shù)3 / 70。 即 a1a2a3a4a5 和 b1b2b3b4b5 有兩個數(shù)碼不同也符合規(guī)定。 綜上所述，該 市最多能發(fā)出 100000 個不同車牌。 解題技巧最值問題的各類題型較多，題目復(fù)雜，涉及的知識面廣，而且大多數(shù)這樣的 問題并沒有固定的解題模式因此分析和處理都比擬復(fù)雜問題的解答需要結(jié) 合具體的題

10、目擇針對性強(qiáng)的方法和采取恰當(dāng)?shù)氖侄伟闵婕暗姆椒ㄓ性囼?yàn)、 枚舉、估計(jì)、歸納、構(gòu)造等，做題時一定要仔細(xì)研究，反復(fù)思考，真正把握各種 題型的內(nèi)在規(guī)律，到達(dá)舉一反三、觸類旁通的效果。競賽能級訓(xùn)練A 級1.用 19 這九個數(shù)字組成三個三位數(shù)，使這三個三位數(shù)的乘積盡可能的大， 這三個數(shù)分別是幾？2.把 546 分解成四個不同的自然數(shù)之積，這四個自然數(shù)的和最大是多少？3.一個三位數(shù)的各位數(shù)字都不是 0這個三位數(shù)與組成它的各位數(shù)字之積的比 是 a，如 432，a432(432)18。求以的最大值。 4.一張圓紙能被多少 條直線分成 821 局部？5151，1 分別去除某一個分?jǐn)?shù)所得的商都是整數(shù)，這個分?jǐn)?shù)最小是

11、幾？ 2028367.18 乘一個自然數(shù)所得的積，可以分解為四個連續(xù)自然數(shù)的乘積。那么 18 乘的這個自然數(shù)最小是多少？8.有三個數(shù)字，用它們可以組成六個不同的三位數(shù)，這六個三位數(shù)的和是 4662。這樣的三位數(shù)中最大的是幾？9.三個不同的最簡真分?jǐn)?shù)的分子都是質(zhì)數(shù)，分母都是小于 的合數(shù)。要使這 三個分?jǐn)?shù)的和盡可能大，這三個分?jǐn)?shù)分別是多少？10.(第五“從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題)把 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入中每個 質(zhì)數(shù)只能用一次。 A+?+，使 A 是整數(shù)，A 最大是多少？11.如果四個兩位質(zhì)數(shù) a，b，c，d 兩兩不同，并且滿足等式 abcd。那 么 ab 最小是多少？4 / 712.(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)第九屆

12、競賽試題)某種產(chǎn)品由 、B、C 三個部件組成， 一名工人每天可生產(chǎn) 5 個 A，或者生產(chǎn) 3 個 ，或者生產(chǎn) 6 個 C。要使工廠每天 生產(chǎn)的產(chǎn)品盡量多廠的 210 名工人應(yīng)如何分工？該廠一天最多生產(chǎn)多少個這 種產(chǎn)品？13.某班有學(xué)生 50 人，年齡均為整數(shù)，年齡的平均值為 歲。班上任意兩 人的年齡差都不超過 3 歲么這班學(xué)生中年齡最大的可能是多少歲？如果有一 個學(xué)生的年齡到達(dá)這個值么這個班里年齡既不是最大也不是最小的學(xué)生最多 有多少人？14.一個數(shù)分別除以芻，磊，1 去，所得的商都是非零自然數(shù)，這個自然數(shù)最 小是多少？B 級1.用 1，3，4，5，6，7，9 九個數(shù)字各一次寫出能被 9 整除

13、的三個三位 數(shù)，這三個數(shù)的和最大是多少？2.冰雪節(jié)期間小冬去太陽島看雪雕，有兩種“走法：一是步行；二是乘馬爬 犁。乘馬爬犁比步行的速度快，但是每次必須等候，且等候時間相同。小冬三次 去看雪雕都從防洪紀(jì)念塔出發(fā)，他采用了花時間最少的“走法過江，如下表。 如果上島地點(diǎn) A 點(diǎn)上路程 8 米冬過江最少用多少分鐘？ 上島地點(diǎn) 第 一次：船站 第二次：水榭 第三次：江上之家3.如右圖所示，在一塊木板上有 16 個釘子，橫豎行相鄰兩個釘子之間的距離 都相等，用皮筋能套出許多正方形。最少拔掉多少個釘子就再也套不成正方形 了？路程(千米) 時間(分鐘) 3 4 5 30 38 454.用 1，9 五個數(shù)字組成

14、一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，這兩個數(shù)的乘積 記為 a；用 0，2，6，8 個數(shù)字也組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，這兩個數(shù) 的乘積記為 b。那么(ab)最大是多少？(b最大是多少？6.有一堆圍棋子，先數(shù)出 枚棋子，其中有 枚是白色棋子，此后每數(shù)出 8 枚棋子中都有 7 枚白棋子直到數(shù)完為止總計(jì)已數(shù)出的棋子中白棋子的枚數(shù)不 少于 90%。這堆棋子最多是多少枚？7.A23333557，在 A 的兩位數(shù)的因數(shù)中最大的是多少？5 / 78.今有一隊(duì)學(xué)生(300 人以內(nèi))，如果 9 人排成一列，最后余下 4 人；如果每 7 人排成一列，最后余下 3 人。問這隊(duì)學(xué)生最少有多少人？最多有多少人？ 234?19912

15、1A n 與 自然數(shù) n 的最大值是多少？ 10. 將 2001 拆分成假設(shè)干個互不相等的自然數(shù)的和，且使這些自然數(shù)乘積最大，該 乘積是多少？11.用鐵絲扎一個長方體模型，為了使長方體的體積恰好等于 方厘米， 長方體的長寬高各是多少厘米時所用的鐵絲最短？這根鐵絲最短是多少厘 米？ 能力測試一、填空題(每題 4 分，共 20 分)1.兩個自然數(shù)的和是 31要使這兩個整數(shù)的乘積最大這兩個整數(shù)分別是 ) 和( )。2.比擬 A 與 B 的大小。A74521342847452034285，( )( )。 3. 農(nóng)民張大伯要靠自家的土墻(土墻足夠長)建一個長方形豬圈，另外三邊(三邊均 為整數(shù))砌成長 3

16、6 米的磚墻(如右圖)。砌成的豬圈的面積最大是( )平方米。n4.在修建一棟房屋時，一個木工在修建窗口時犯了難，如果窗口的周長相等， 應(yīng)修成( )(填“長方形、“正方形、“圓形。5.把 410 分拆成幾個自然數(shù)的和，要想使乘積最大，乘積最大是( )。 二、選 擇題(每題 5 分，共 20 分)754276( )，要想使這個連乘積的最后四位都是 ，括號里最小填( )。 A.10000 ( )。B.89699543 D.前面的答案都不對B.1000C.100D.502.在 8969543 這個數(shù)的某一位數(shù)字的后面再插入一個該數(shù)字，能得到的八位 數(shù)最小是294337成立，式中 A 最多可能取( )個不同的自然數(shù)。 37A43B.3C 46 / 7D.5E.無數(shù)多A.14.一張餅最少切( )刀就可以切成 29 塊。 A 6B.7C.8D.9三、解答題(每題 分，共 60 分)1.在下左圖空方格內(nèi)各填入一個一位數(shù)同一行內(nèi)左面的數(shù)比右面的數(shù)大； 同一列內(nèi)上面的數(shù)比下面的數(shù)小并且方格內(nèi)的六個數(shù)字互不相同如下右圖為 一種填法