擴散問題的偏微分方程模型,數(shù)學建模

1、.PAGE .第七節(jié) 擴散問題的偏微分方程模型物質(zhì)的擴散問題,在石油開采、環(huán)境污染、疾病流行、化學反應(yīng)、新聞傳播、煤礦瓦斯爆炸、農(nóng)田墑情、水利工程、生態(tài)問題、房屋基建、神經(jīng)傳導、藥物在人體內(nèi)分布以及超導、液晶、燃燒等諸多自然科學與工程技術(shù)領(lǐng)域,十分普遍地存在著. 顯然,對這些問題的研究是十分必要的,其中的數(shù)學含量極大. 事實上,凡與反應(yīng)擴散有關(guān)的現(xiàn)象,大都能由線性或非線性拋物型偏微分方程作為數(shù)學模型來定量或定性地加以解決. 的試題來自實際,是真問題數(shù)學建模計算機處理的三合一準科研性質(zhì)的一種競賽,對上述這種有普遍意義和數(shù)學含量高,必須用計算機處理才能得到數(shù)值解的擴散問題,當然成為試題的重要來源,

2、例如,-90,就是這類試題；-90要研究治療帕金森癥的多巴胺dopamine在人腦中的分布,此藥液注射后在腦子里經(jīng)歷的是擴散衰減過程,可以由線性拋物型方程這一數(shù)學模型來刻劃. -90要研究單層住宅混凝土地板中的溫度變化,也屬擴散熱傳導問題,其數(shù)學模型與-90一樣,也是線性拋物型方程. 本文交代擴散問題建模的思路以及如何推導出相應(yīng)的拋物型方程,如何利用積分變換求解、如何確定方程與解的表達式中的參數(shù)等關(guān)鍵數(shù)學過程,且以-90題為例,顯示一個較細致的分析、建模、求解過程. 1拋物型方程的導出設(shè)是時刻點處一種物質(zhì)的濃度. 任取一個閉曲面,它所圍的區(qū)域是,由于擴散,從到時刻這段時間內(nèi),通過流入的質(zhì)量為.

3、由高斯公式得.1其中,分別是沿方向的擴散系數(shù). 由于衰減例如吸收、代謝等,內(nèi)的質(zhì)量減少為,2其中是衰減系數(shù). 由物質(zhì)不滅定律,在內(nèi)由于擴散與衰減的合作用,積存于內(nèi)的質(zhì)量為.換一種角度看,內(nèi)由于深度之變化引起的質(zhì)量增加為顯然,即由之任意性得4方程是常系數(shù)線性拋物型方程,它就是有衰減的擴散過程的數(shù)學模型,對于具體問題,尚需與相應(yīng)的定解條件初始條件與邊界條件等匹配才能求得確定情況下的解. 2irac函數(shù)物理學家Dirac為了物理模型之需要,硬是引入了一個當時頗遭微詞的,使得數(shù)學與物理學傳統(tǒng)密切關(guān)系出現(xiàn)裂痕的怪函數(shù)：5它的背景是清晰的,以一條無窮長的桿子為例,沿桿建立了一維坐標系,點的坐標為,桿的線密

4、度是,在段,桿子質(zhì)量為,則有.6設(shè)此無窮長的桿子總質(zhì)量為,質(zhì)量集中在點,則應(yīng)有或?qū)懗?其中為如果沿用6中的算法,則在質(zhì)量集中分布的這種情形有且,于是得.7但是,從傳統(tǒng)數(shù)學觀點看,若一個函數(shù)除某點處處為零,則不論哪種意義下的積分,都必定為零,7式豈能成立！但是,函數(shù)對于物理學而言是如此之有用,以致物理學家正當?shù)鼐芙^放棄它. 盡管當時數(shù)學家們大都嘲笑這種函數(shù),但.irac及其追隨者們在物理領(lǐng)域卻收獲頗豐,Dirac于1933年獲諾貝爾物理獎. 當然Dirac也意識到不是一個通常的函數(shù),至于找一種什么辦法來闡明這一符號的合法性,那就是數(shù)學家的任務(wù)了. 1940年,法國數(shù)學家許瓦茲L.Schwartz

5、嚴格證明了應(yīng)用的正確性,把函數(shù)置于堅實的數(shù)學基礎(chǔ)上；1950年,L. Schwartz獲數(shù)學界最高獎Fields獎. 函數(shù)的重要性質(zhì)有：1. 82. 9其中,即摘出了在的值. 3.104的導數(shù)是存在的,不過要到積分號下去理解：1112事實上,由于在處為零,則形式地用分部積分公式其中,于是有11與12公式. 5對于,有.136. 147.158付立葉變換1617189拉普拉斯變換1920從上面的定義與性質(zhì)看出,Delta函數(shù)與一般可微函數(shù)還是有重大區(qū)別的,我們說它是廣義函數(shù). 3Cauchy問題的解設(shè)擴散源在點處,則此擴散問題滿足Cauchy問題對2122進行付立葉變換,且令,由于故得常微分方程

6、Cauchy問題得唯一解.23對23求逆變換,由于,故得24如果認為經(jīng)過了相當長時間后,擴散已經(jīng)終止,物質(zhì)分布處于平衡狀態(tài),則方程4中的,于是有線性橢圓型方程的邊值問題也可以用付立葉變換求解. 當然,根據(jù)實際情況,還可以考慮第二邊條件或第三邊條件等,其中是區(qū)域的邊界,是外法線方向,是實常數(shù). 4 參數(shù)估計在Cauchy問題2122的解23中,有四個未知的參數(shù),它們分別是擴散與衰減過程中的擴散系數(shù)與衰減系數(shù)的算術(shù)平方根. 至于點源的質(zhì)量與位置是已知的.設(shè)觀測取樣為：取樣時刻為不然設(shè)是取樣時間,則21變成,對而言,取樣時間為,而方程形狀與21一致,把在點觀測到的物質(zhì)密度與公式24都取對數(shù),令,則.

7、25令,則25寫成,26而我們已觀測得的數(shù)據(jù),用三元回歸分析方法求出的估計值如下：,27其中滿足方程組其中由可求得的估計值,即.又由于,28由27式可得,再把代入28得.29至此得到參數(shù)的估計值,把它們代入24分別替代,則得不含未知參數(shù)的解的近似表達式. 5競賽試題分析AMCM-90A不可用本文的思路與方法加以解決；該試題由東華盛頓大學數(shù)學系ves Nievergelt提供,要求研究藥物在腦中的分布,題文稱：研究腦功能失調(diào)的人員欲測試新的藥物的效果,例如治療帕金森癥往腦部注射多巴胺Dopamine的效果,為了精確估計藥物影響到的腦部區(qū)域,它們必須估計注射后藥物在腦內(nèi)空間分布區(qū)域的大小和形狀.研

8、究數(shù)據(jù)包括50個圓柱體組織樣本的每個樣本藥物含量的測定值如圖6-1,每個圓柱體長0.76mm,直徑0.66mm,這些互相平行的圓柱體樣本的中心位于網(wǎng)格距為1mm0.76mm1mm的格點上,所以圓柱體互相間在底面上接觸,側(cè)面互不接觸. 注射是在最高計數(shù)的那個圓柱體的中心附近進行的. 自然在圓柱體之間以及由圓柱體樣本的覆蓋的區(qū)域外也有藥物. 試估計受到藥物影響的區(qū)域中藥物的分布. 一個單位表示一個閃爍微粒的計數(shù),或多巴胺的4.75310-18克分子量,例如表6-1指出位于后排當中那個圓柱體的含藥量是28353個單位. 后方垂直截面1644421320414188480702214411515835

9、22091230272835313138681789212602092111731727213130337651715453前方垂直截面1633244322431667121055609810482322137155311974247853304441143114960318230129420611036258188圖6-1數(shù)學模型只是實際問題的近似,要建立數(shù)學模型,一般首先要對所研究的實際問題進行必要和允許的簡化與假設(shè),而且,不同的簡化與假設(shè),又可能導致不同的數(shù)學模型,例如2是拋物型方程模型,而3則是橢圓方程模型. 假設(shè)：1注射前大腦中的多巴胺含量可以忽略不計. 2大腦中多巴胺注射液經(jīng)歷著擴

10、散與衰減的過程,且沿三個方向的擴散系數(shù)分別是常數(shù),衰減使質(zhì)量之減少與深度成正比. 3注射點在后排中央那個圓柱中心,即注射點的坐標已知,注射量有醫(yī)療記錄可查,是已知的. 4注射瞬間完成,可視為點源delta函數(shù). 5取樣也是瞬間完成,取樣時間已知為.6樣本區(qū)域與整個大腦相比可以忽略,樣本組織遠離腦之邊界,不受大腦邊界面的影響. 在以上假設(shè)之下,顯然可以用本文前面講過的思路來建模,于是得AMCM-90A的數(shù)學模型為Cauchy問題2122,解的表達式為24,且用三元回歸分析來估出參數(shù),于是可以求得任意位置任意時刻藥物的深度. 如果所給數(shù)據(jù)認為是在平衡狀態(tài)測得的,藥物注射進腦后,從高深度處向低深度處

11、擴散,與擴散同時,一部分藥物進入腦細胞被吸收固定,擴散系數(shù)與吸收系數(shù)都是常數(shù),但過一段時間,所有藥物都被腦細胞所固定,達到了平衡態(tài). 在這種假設(shè)下,3給出了下述的分析、建模、求解過程. 設(shè)是時刻在點處游離的藥物濃度,是時刻點處吸收固定的藥物濃度,是達到平衡態(tài)時點處吸收固定的藥物濃度. 又設(shè)游離藥物在各方向上有相同的擴散系數(shù),吸收系數(shù)為,于是有.30又,即吸收速度與游離的濃度成正比,代入30得.31對31關(guān)于從到積分得.32由于最后無游離藥物,故,又開始時無被吸收的藥物,故；平衡狀態(tài)在時達到,這時,于是由32得,33其中是開始時的濃度分布,近似于注射點的點源脈沖函數(shù). 把此注射點取為坐標原點,則

12、是注射量,于是,34作付立葉變換得再作反變換得,35其中是可計算常數(shù). 如果考慮各向不同性,設(shè)方向上擴散系數(shù)分別為,注射點在,則,于是解為,3636中的可計算常數(shù). 用前面類似的方法可以進行參數(shù)估計. 在建模過程中,點源函數(shù)的使用顯然與實況有差別；尤其是認為擴散系數(shù)與吸收系數(shù)都是常數(shù),對于人腦這種有復雜結(jié)構(gòu)的區(qū)域,這種假設(shè)與實際不會完全符合；夜間與白天睡與醒對這些系數(shù)有無影響？腦中各點這些系數(shù)是否有變？除時間位置應(yīng)考慮外,可能還與藥液濃度有關(guān). 如此看來,腦內(nèi)藥液分布的數(shù)學模型很可能不是常系數(shù)線性偏微分方程,而是函數(shù)系數(shù)的線性微分方程甚至是非線性偏微分方程. 這時,其解不再能用封閉公式來表達,求解過程會變得極為復雜,所以也可以考慮是否試用其他數(shù)學模型來解,例如在平衡態(tài)的假設(shè)下,用回歸分析方法建立藥液的模擬分布.對一個實際問題,其數(shù)學模型未必唯一,各模型間孰優(yōu)孰劣,沒有一般的判別法,須經(jīng)實踐來檢驗. 參考文獻1葉其孝,大學生數(shù)學建模競賽輔導教材,XX教育出版社,1993.2Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I.Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under gr