2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷)

1、絕密 啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷)(本試卷共4頁,20小題,滿分150分,考試用時120分鐘)第卷(共40分)一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,則A(UB)=()A.-3,3B.0,2C.-1,1D.-3,-2,-1,1,32.設(shè)aR,則“a1”是“a2a”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)y=4xx2+14.從一批零件中抽取80個,測量其直徑(單位:mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組:5.31,

2、5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下頻率分布直方圖,則在被抽取的零件中,直徑落在區(qū)間5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A.10B.18C.20D.365.若棱長為23的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.24C.36D.1446.設(shè)a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,則a,b,A.abcB.bacC.bcaD.ca0,b0),過拋物線y2=4x的焦點和點(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與lA.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y28.已知函數(shù)f(x)=s

3、inx+3f(x)的最小正周期為2;f2是f(x)的最大值把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點向左平移3個單位長度,可得到函數(shù)y=f(x)的圖象其中所有正確結(jié)論的序號是()A.B.C.D.9.已知函數(shù)f(x)=x3,x0,-x,x0)相交于A,B兩點.若|AB|=6,則r的值為.13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為12和13.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;14.已知a0,b0,且ab=1,則12a+115.如圖,在四邊形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且AD=BC,ADAB=-32,則實數(shù)的值為,若M,N是線段BC上的動點,且|MN|=1,則三、解答

4、題:本大題共5小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(14分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin2A+17.(15分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點.(1)求證:C1MB1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.18.(15分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的一個頂點為

5、A(0,-3),右焦點為F(1)求橢圓的方程;(2)已知點C滿足3OC=OF,點B在橢圓上(B異于橢圓的頂點),直線AB與以C為圓心的圓相切于點P,且P為線段AB的中點.求直線AB19.(15分)已知an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求an和bn的通項公式;(2)記an的前n項和為Sn,求證:SnSn+2x2,有f(2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)查缺補漏表【試卷評析】1.CU=-3,-2,-1,0,1,2,3,UB=-2,-1,1,A(UB)=-1,1.故選C.2.A若a1,則a2a成立.若a2a,則a1或a

6、1”是“a2a”的充分不必要條件.故選A.3.A函數(shù)y=4xx2+1為奇函數(shù),再把x=1代入得y=42=20,排除B.故選A4.B在5.43,5.47的頻率為(6.25+5.00)0.02=0.225,0.22580=18.故選B.5.C2R=(23球的表面積為4R2=36.故選C.6.Db=13-0.8=30.830.7=a30=1,c=log0.70.8log0.70.7=1,7.D雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=bal為yb+x1=-b=-ba且-bbaa=1,b=1.故選D.8.Bf(x)=sinx+f(x)最小正周期T=21=2,f2=sin2+3=siny=sin x

7、f(x)=sinx+3,正確.故選9.Df(x)=x3,x0,-x,x0,則如圖.1k1k3,k3k,k21,x3=kx2-2x要有三個根,即x2-kx+2=0有兩根,=k2-80,k22.綜上,k22.(2)若k0,則原式=t2+8t2t2當(dāng)且僅當(dāng)t2=16,即t=4時,等號成立,此時1a+a=415.16132ADADAB=BCAB=|BC|AB|cos 120=63-12=-3令BM=BC056,則BN=BM+MNDM=DA+AB+BMDN=DA+AB+BNDMDN=-16BC-BA(BC-BA)=-16|BC|2-+-16BABC+|BA|2=362-16-2又056,當(dāng)=13時取最小

8、值16.解(1)在ABC中,由余弦定理及a=22,b=5,c=13,有cos C=a2又因為C(0,),所以C=4(2)在ABC中,由正弦定理及C=4,a=22,c=13,可得sin A=a(3)由ac及sin A=21313,可得cos A=1-sin2A=31313,進(jìn)而sin 2A=2sin Acos A=12所以,sin2A+4=sin 2Acos4+cos 17.解依題意,以C為原點,分別以CA,CB,CC1的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),

9、D(1)證明:依題意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),從而C1MB1D=2-2+0=(2)依題意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一個法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-設(shè)n=(x,y,z)為平面DB1E的法向量,則nEB1=0,nED=0因此有cos=CAn|CA|n|=6所以,二面角B-B1E-D的正弦值為306(3)依題意,AB=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)為平面DB1E的一個法向量,于是cos=ABn|所以,直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為3318.解(1)由已知,可得b=3.記半焦距為c,由|OF|=|OA|,可得c=b

10、=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.所以,橢圓的方程為x218+(2)因為直線AB與以C為圓心的圓相切于點P,所以ABCP.依題意,直線AB和直線CP的斜率均存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx-3.由方程組y=kx-3,x218+y29=1,消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0,或x=12k2k2+1.依題意,可得點B的坐標(biāo)為12k2k2+1,6k2-32k2+1.因為P為線段AB的中點,點A的坐標(biāo)為(0,-3),所以點P的坐標(biāo)為6k2k2+1,-32k2+1.由3OC=OF,得點C的坐標(biāo)為(1,0),故直線CP的斜率為-3219.(1)解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等

11、比數(shù)列bn的公比為q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,從而an的通項公式為an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,從而bn的通項公式為bn=2n-1.(2)證明由(1)可得Sn=n(n+1)2,故SnSn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),Sn+12=14(n+1)2(n+2)2,從而SnSn+2-Sn+12=-12(3)解當(dāng)n為奇數(shù)時,cn=(3an-2)bnan對任意的正整數(shù)n,有k=1nc2k-1=k=1n22k2k+1-22k-22k由得14k=1nc2k=142由得34k=1nc2k=14+242+因此,k=1

12、2nck=k=1nc2k-1+所以,數(shù)列cn的前2n項和為4n20.(1)解當(dāng)k=6時,f(x)=x3+6ln x,故f(x)=3x2+6x可得f(1)=1,f(1)=9,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y-1=9(x-1),即y=9x-8.依題意,g(x)=x3-3x2+6ln x+3x,x(0,+).從而可得g(x)=3x2-6x+6x-3x2,整理可得g(x)=3(x-1)3當(dāng)x變化時,g(x),g(x)的變化情況如下表:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)極小值所以,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+);g(x)的極小值為g(1)=1,無極大值.(2)證明由f(x)=x3+kln x,得f(x)=3x2+kx對任意的x1,x21,+),且x1x2,令x1x2=t則(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)3x12+kx1+3x22+k=x13-x23-3x12x2+3x1x2=x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2ln t.令h(x)=x-1x-2ln x,x1,+)當(dāng)x1時,h(x)=1+1x2由此可得h(x)在1,+)單調(diào)遞增,所以當(dāng)t1時,h(t)h(1),即t-1t-2ln t0因為x21,t3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-