2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)理

1、山東卷(理科數(shù)學(xué))1.(2012山東,理1)若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位),則z為().A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5iA設(shè)z=a+bi,a,bR,則z(2-i)=(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i,所以解得所以z=3+5i,故選A.2.(2012山東,理2)已知全集U=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,B=2,4,則(UA)B為().A.1,2,4B.2,3,4C.0,2,4D.0,2,3,4C易知UA=0,4,所以(UA)B=0,2,4,故選C.3.(2012山東,理3)設(shè)a0,且a1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”

2、是“函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A由函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)可得0a1,由函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)可得a2,因?yàn)?a1a2,a20aQ,循環(huán)結(jié)束,輸出n=3,故選B.7.(2012山東,理7)若,sin 2=,則sin =().A.B.C.D.D由,得2.又sin 2=,故cos 2=-.故sin =.8.(2012山東,理8)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x).當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x0,2x-2-x0,即f(x)0,而f(x

3、)=0有無(wú)數(shù)個(gè)根,所以D正確.10.(2012山東,理10)已知橢圓C:+=1(ab0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1D雙曲線x2-y2=1的漸近線為y=x,與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為16,可得四邊形為正方形,其邊長(zhǎng)為4,雙曲線的漸近線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為(2,2),所以有+=1,又因?yàn)閑=,a2=b2+c2,聯(lián)立解方程組得a2=20,b2=5,故選D.11.(2012山東,理11)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4

4、張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為().A.232B.252C.472D.484C完成這件事可分為兩類,第一類3張卡片顏色各不相同共有=256種;第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有=216種,由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有472種,故選C.12.(2012山東,理12)設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0).若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是().A.當(dāng)a0時(shí),x1+x20B.當(dāng)a0,y1+y20時(shí),x1+x20,y1+y20時(shí),x1+x

5、20,y1+y20B解析:由題意知函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),等價(jià)于方程=ax2+bx(a,bR,a0)有兩個(gè)不同的根x1,x2,即方程ax3+bx2-1=0有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2,因而可設(shè)ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2),即ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x-x2x2+2x1x2x-x2),b=a(-2x1-x2),+2x1x2=0,-ax2=-1,x1+2x2=0,ax20,當(dāng)a0時(shí),x20,x1+x2=-x20,x10.當(dāng)a0時(shí),x20,x10,y1+y2=+=0.若曲線y

6、=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a=.由題意可得曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積S=dx=a2,解得a=.16.(2012山東,理16)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為.(2-sin 2,1-cos 2)因?yàn)閳A心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此過(guò)程中P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為2,其所對(duì)圓心角為2.如圖所示,過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為A,圓心為C,與x軸相切于點(diǎn)B,過(guò)C作PA的垂線,垂足為D,則PCD=2-,|PD|=sin=-

7、cos 2,|CD|=cos=sin 2,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2-sin 2,1-cos 2),即的坐標(biāo)為(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山東,理17)已知向量m=(sin x,1),n=(A0),函數(shù)f(x)=mn的最大值為6.(1)求A;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在上的值域.解:(1)f(x)=mn=Asin xcos x+cos 2x=A=Asin.因?yàn)锳0,由題意知A=6.(2)由(1)f(x)=6sin.將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=6si

8、n=6sin的圖象;再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=6sin的圖象.因此g(x)=6sin.因?yàn)閤,所以4x+.故g(x)在上的值域?yàn)?3,6.18.(2012山東,理18)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.(1)求證:BD平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,所以ADC=BCD=120.又CB=CD,所以CDB=30.因此ADB=90,ADBD.又AEBD,且AEAD=A,AE,AD平面AED,所以BD平面

9、AED.(2)解法一:由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)CB=1,則C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),因此=,=(0,-1,1).設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m=0,m=0,所以x=y=z,取z=1,則m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量,則cos=,所以二面角F-BD-C的余弦值為.解法二:取BD的中點(diǎn)G,連接CG,FG,由于CB=CD,因此CGBD.又FC平面ABCD,

10、BD平面ABCD,所以FCBD.由于FCCG=C,FC,CG平面FCG,所以BD平面FCG.故BDFG.所以FGC為二面角F-BD-C的平面角.在等腰三角形BCD中,由于BCD=120,因此CG=CB.又CB=CF,所以GF=CG,故cosFGC=,因此二面角F-BD-C的余弦值為.19.(2012山東,理19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒(méi)有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒(méi)有命中得0分,該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.(1)求該射手恰好命中一次的概率;(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E

11、X.解:(1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D,由題意知P(B)=,P(C)=P(D)=,由于A=B+D,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)=P(B+D)=P(B)+P()+P(D)=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)=+=.(2)根據(jù)題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(X=0)=P()=1-P(B)1-P(C)1-P(D)=,P(X=1)=P(B)=P(B)P()P()=,P(X=2)=P(+D)=P()+P(D

12、)=+=,P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)=+=,P(X=4)=P(CD)=,P(X=5)=P(BCD)=.故X的分布列為X012345P所以EX=0+1+2+3+4+5=.20.(2012山東,理20)在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意mN*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.解:(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列,所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.由a4=a1+3d得28=a1+39

13、,即a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(nN*).(2)對(duì)mN*,若9man92m,則9m+89n0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F,O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線C的方程;(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)k2時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依題意知F,圓心Q在線段OF的垂直平分線y=上,因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線方程為

14、y=-,所以=,即p=1,因此拋物線C的方程為x2=2y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)M(x00)滿足條件,拋物線C在點(diǎn)M處的切線斜率為y=x0.所以直線MQ的方程為y-=x0(x-x0),令y=得xQ=+,所以Q.又|QM|=|OQ|,故+=+,因此=,又x00,所以x0=,此時(shí)M(,1).故存在點(diǎn)M(,1),使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M.(3)當(dāng)x0=時(shí),由(2)得Q.Q的半徑為r=,所以Q的方程為+=.由整理得2x2-4kx-1=0.設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+80,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1

15、x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.設(shè)D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x3,y3),(x4,y4).由于2=+0,x3+x4=,x3x4=-,所以|DE|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+.令1+k2=t,由于k2,則t5.所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+=4t2-2t+,設(shè)g(t)=4t2-2t+,t,因?yàn)間(t)=8t-2-,所以當(dāng)t,g(t)g=6,即函數(shù)g(t)在t是增函數(shù),所以當(dāng)t=時(shí)g(t)取到最小值,因此當(dāng)k=時(shí),|AB|2+|DE|2取到最小值.22.(2012山東,理22)已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e=2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平