2023屆高三數(shù)學小題專練-平面向量基本定理3（含解析）

1、試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 6 6頁試卷第 =page 6 6頁，共 =sectionpages 6 6頁一、單選題1在平行四邊形中，則（）A-5B-4C-3D-22正方形中，P，Q分別是邊的中點，則（）ABCD3中，D為AB的中點，則（）A0B2C-2D-44已知在RtABC中，BAC90，AB1，AC2，D是ABC內(nèi)一點，且DAB60，設，則（）ABC3D5下列命題正確的是（）A復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則實數(shù)B設復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，若，則與重合C若，則復數(shù)對應的點在復平面的虛軸上(包括原點)D已知復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，若（是虛數(shù)單位

2、，為復平面坐標原點，），則6在平面四邊形中，已知的面積是的面積的2倍.若存在正實數(shù)使得成立，則的最小值為（）A1B2C3D47是坐標原點，已知，若點M為直線上一動點，當取得最小值時，此時（）ABCD8已知等邊的邊長為，點，分別為，的中點，若，且，則（）ABCD9在中，點滿足，則的長為（）ABCD610已知直角梯形是邊上的一點，則的取值范圍為（）ABCD11如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，若，則的最小值是（）ABCD12在中，是上一點，是線段上一點，則（）ABCD13在中，點是的三等分點，過點的直線分別交直線于點，且，若的最小值為，則正數(shù)的值為（）A1B2CD14已知

3、直線與圓相交于，兩點，則的值為（）AB16CD815如圖，在中，P為上一點，且滿足，若，則的值為（）A-3BCD16在中，已知，且滿足，若線段和線段的交點為，則（）.ABCD17已知菱形的對角線相交于點，點為的中點，若，則（）ABCD18在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別滿足，若，則實數(shù)的值為（）ABCD19已知點P是所在平面內(nèi)一點，若，則與的面積之比是（）ABCD20在中，是上一點，若，則實數(shù)的值為（）.ABCD二、填空題21已知，向量，且，則_22已知向量 , ，則向量的模的最大值是_.23“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再

4、次領略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊ABCDEF.若正六邊形的邊長為1，點P是其內(nèi)部一點（包含邊界），則的取值范圍為_.24已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則_25已知，是拋物線上不同的點，且若，則_26點是邊長為2的正三角形的三條邊上任意一點，則的最小值為_.27如圖，在ABC中，點D，E是線段BC上兩個動點，且，則的最小值為_28在中，若與線段交于點，且滿足，則的最大值為_29已知任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點，則向量

5、在向量上的投影向量為_.（用坐標作答）30已知是邊長為的正三角形所在平面內(nèi)一點，且，則的最小值為_答案第 = page 21 21頁，共 = sectionpages 22 22頁答案第 = page 22 22頁，共 = sectionpages 22 22頁參考答案：1A【分析】根據(jù)向量的加法和減法的幾何意義，結(jié)合向量的數(shù)量積運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A2C【分析】由已知可得，用表示出然后可表示出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，即，解得，又，則故選：C【點睛】方法點睛：本題考查平面向量基本定理解題時可選取不共線向量為基底，把其他向量都用基底表示，然后求解這種方法目標明確，思路清晰

6、，易于求解3A【分析】取為基底，表示出即可求解.【詳解】在中，D為AB的中點，取為基底，所以,.所以.因為，所以.即.故選：A4A【分析】根據(jù)RtABC構(gòu)建平面直角坐標系，可知B、C的坐標分別為(1，0)、(0，2)，應用含參數(shù)的坐標表示向量，由平面向量基本定理，坐標運算求得參數(shù)、的關(guān)系即可求【詳解】如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系則B點的坐標為(1，0)，C點的坐標為(0，2)DAB60，所以設D點的坐標為(m，m)(m0)則m，且m，故選：A【點睛】本題考查了平面基本向量的基本定理，通過構(gòu)建直角坐標系，用坐標表示向量，由平面向量的基本定理求參數(shù)5C

7、【分析】結(jié)合一元二次方程的復數(shù)根、復數(shù)模、復數(shù)對應點、向量運算等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A：復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，所以：，故A錯誤；對于B：設復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，若，即這兩個向量的模長相等，但是與不一定重合，故B錯誤；對于C：若，設，故：，整理得：，故，故C正確；對于D：已知復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，若，所以，解得：，故，故D錯誤故選：C6A【分析】由面積比得，再利用三點共線可得出的關(guān)系，從而利用基本不等式可求得的最小值【詳解】如圖，設與交于點，由的面積是的面積的2倍，可得，所以，又三點共線，即共線，所以存在實數(shù)使得，因為，所以，消去k，可得，又

8、因為，所以，當且僅當，即時等號成立所以的最小值為1故選：A7A【分析】可設，可得，然后，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算得到為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出，進而得到，最后求得【詳解】由已知得，因為點M為直線上一動點，所以，可設，得到，則，則，當且僅當時，取得最小值，此時，可得，所以，得到.故選：A8C【分析】由題意畫出圖形，把向量用向量和表示，結(jié)合可求得的值.【詳解】由已知條件,圖形如下圖所示： ,解得.故選：.9A【分析】把用表示后，利用模的平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計算可求得，然后再由余弦定理得【詳解】因為，所以，設，則得，即，因為，故解得，即，所以故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量在幾何中的應

9、用，解題關(guān)鍵是利用向量的線性運算表示出向量，然后平方抒發(fā)向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算，即利用數(shù)量積求線段長10D【分析】法一：設（），把與表示為與的線性關(guān)系，把表示成關(guān)于的解析式，求解出取值范圍；法二：建立坐標系，寫出各點的坐標，進而求出的范圍【詳解】法一：因為在上，不妨設，則（其中）所以，因為，所以法二：如圖，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系.則，其中ABC=45，設點，其中，故選：D.11C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，以及三點共線，可確定的關(guān)系，即 ，可得，再利用基本不等式求最值即可【詳解】由條件可得，因為三點共線，則；當且僅當，即時取等號，故的最小值

10、是；故選：C12D【分析】求得，設，其中，利用平面向量的線性運算可得出，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得的值.【詳解】因為，則，所以，因為是線段上一點，設，其中，所以，解得.故選：D.13B【分析】利用平面向量的線性運算法則求得，可得，則，展開后利用基本不等式可得的最小值為，結(jié)合的最小值為列方程求解即可.【詳解】因為點是的三等分點，則，又由點三點共線，則，當且僅當時，等號成立， 即的最小值為 ，則有,解可得或(舍），故，故選：B.【點睛】本題主要考查平面向量的運算法則，以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的

11、內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.14C【分析】分別求出A，B坐標，利用向量的坐標運算直接求出.【詳解】因為直線與圓相交于A，B兩點，所以，解得：.所以.故選：C.15C【分析】根據(jù)三點共線求出，然后把當基底表示出和，從而求的值.【詳解】因為，所以，所以，因為三點共線，所以，即，所以，又,所以.故選：C.16B【分析】待定系數(shù)法將向量分解，由平面向量共線定理求出系數(shù)，然后代回原式計算【詳解】設，由知，三點共線，由知，

12、三點共線，由得：.，而，故選：B17B【分析】根據(jù)題意,以對角線交點為坐標原點，對角線所在直線為軸建立直角坐標系,利用坐標法求解.【詳解】解：如圖，以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，由，所以，所以，所以.故選：B【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意建立平面直角坐標系，利用坐標法求解，考查運算求解能力，是中檔題.18B【解析】設，由，得到，結(jié)合平面向量的基本定理，化簡得到，即可求解.【詳解】由題意，設，則在平行四邊形ABCD中，因為，所以點E為BC的中點，點F在線段DC上，且，所以，又因為，且，所以，所以，解得，所以。故選：B.【點睛】平面向量的基本定理的實質(zhì)及

13、應用思路：1、應用平面向量的基本定理表示向量的實質(zhì)時利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；2、用平面向量的基本定理解決實際問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.19D【分析】過作，根據(jù)平面向量基本定理求得，即可求得與的面積之比.【詳解】點是所在平面上一點，過作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D20D【分析】根據(jù)向量共線轉(zhuǎn)化為，利用三點共線求實數(shù)的取值.【詳解】，又因為，所以，即，所以，因為點三點共線，所以，解得：.故選：D【點睛】本題考查向量共線，平面向量基本定理，重點考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于

14、基礎題型.21【分析】由向量共線的坐標運算可得答案.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以， 故答案為：.22【分析】求出向量的坐標，根據(jù)模的計算公式求出模的表達式，并化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.【詳解】 ，則，當時，有最大值，且為，故答案為：23【分析】根據(jù)向量的共線表示以及平面向量基本定理，可表達出，結(jié)合圖形特征以及數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】過點作于所以且,其中,當點與點重合時，在方向上的投影最大，此時,取得最大值為；當點與點重合時，此時，即,故,取得的最小值為的取值范圍是故答案為：242023【分析】設，由求出，再利用拋物線的定義求解.【詳解】解:設，因為是拋物線上

15、的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，因此，因為，所以，即又由拋物線的定義，可得，所以故答案為：20232516【分析】設，結(jié)合條件可得，利用拋物線的定義可得結(jié)果.【詳解】設， 是拋物線上不同的點，點,準線為，則，所以所以，即故答案為：1626【分析】構(gòu)建直角坐標系，設且，應用向量的坐標運算求坐標，應用坐標公式求模即可.【詳解】不妨假設在上且，如下圖示，所以，在且，設，則，所以，故，當時，的最小值為.故答案為：27【分析】設，由，共線可得，可得再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：設，共線，則，點，是線段上兩個動點，當且僅當，即，時取等號；所以的最小值為故答案為：282【分析】由題意設（），則，再由、三點共線，則，而，從而可得當為中點時最小，此時最大，進而可求得答案【詳解】線段與線段交于點，設（），則，即，又、三點共線，則，即，當為中點時最小，此時最大，又，故此時，即，即