復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)以及其幾何表示

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其幾何表示第1頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四 復(fù)變函數(shù)主講教師：趙景霞E-mail: 第2頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四研究對(duì)象 復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本介紹第3頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)

2、與結(jié)果。第4頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過(guò)程復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。第5頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四 直到十八世紀(jì)，J.DAlembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題，復(fù)數(shù)

3、才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過(guò)程第6頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過(guò)程1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。第7頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)

4、的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過(guò)程第8頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過(guò)程第9頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第一章 復(fù)數(shù)及復(fù)平面1.1 復(fù)數(shù)及其幾何表示學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的意義與復(fù)數(shù)的表示方法掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算熟練掌握復(fù)數(shù)的方根第10頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)

5、20分，星期四一、 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)z 的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)第11頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四 一般, 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)相等二、 四則運(yùn)算 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第12頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。第1

6、3頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義 若z=x + iy , 稱z=x - iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)三、 共軛復(fù)數(shù)第14頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例4第15頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第16頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四解：第17頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例4證明：第18頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例4證明：第19頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四四、復(fù)數(shù)的幾何意義橫坐

7、標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。 第20頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四我們可以得到兩個(gè)重要的不等式 oxy(z) z1z2 z1+z2oxy(z) z1z2z2- z1第21頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四oxy(z)P(x,y)xy z=0時(shí)，幅角無(wú)意義。 幅角無(wú)窮多：Arg z=0+2k， kZ，第22頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第23頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四1. 三角表示法可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來(lái)表示非零復(fù)數(shù)z2. 指數(shù)表示法yox第24頁(yè)，共5

8、1頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例5例6第25頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例5解：第26頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例6解：第27頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例6解：第28頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的模與幅角主值：求下列復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式.第29頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四解：第30頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四.第31頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四五、 復(fù)數(shù)的

9、乘積與商利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法集合相等定理：第32頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四對(duì)除法，有 將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法的幾何意義第33頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例7解：第34頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例5解：第35頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第36頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例6 藏寶圖從絞架走到橡樹(shù)，并記住走了多少步；到了橡樹(shù)向右轉(zhuǎn)個(gè)直角再走這么多

10、步，在這里打個(gè)樁。某島，島的北岸有一大片草地。草地上有一株橡樹(shù)和一株松樹(shù)，還有一個(gè)絞架。回到絞架，朝松樹(shù)走，同時(shí)記住所走的步數(shù)，到了松樹(shù)向左拐個(gè)直角再走這么多步，在這里也打個(gè)樁。在兩個(gè)樁中間挖，就可以找到寶藏！問(wèn)題是絞架年代久遠(yuǎn)爛掉了，還能找到寶藏嗎？ 第37頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四1-1第一根樁位置第二根樁位置第38頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例7解：第39頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第40頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四六、 復(fù)數(shù)的乘冪與方根則有：棣摩弗 (De Moivre)公

11、式第41頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第42頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。第43頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例11練習(xí)例10第44頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例9第45頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第46頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四幾何上， 的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心， 為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。xyo第47頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例10第48頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四NAOz七、復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)球極平面射影法取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切的球面，過(guò)O點(diǎn)作z平面的垂線與球面交于N點(diǎn)（稱為北極或者球極）。對(duì)于平面上的任一點(diǎn)A ，用一條空間直線把它和球極連接起來(lái)，交球面于 。第4