多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用

1、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第1頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例: 已知空間曲線 的參數(shù)方程: 的向量方程 對 上的動點M ,即 是此方程確定映射,稱此映射為一元向量 的終點M 的軌跡 ,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線 .值函數(shù). 要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.第2頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三定義: 給定數(shù)集 D R , 稱映射為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）, 記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進(jìn)

2、行討論.極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：因此下面僅以 n = 3 的情形為代表第3頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在 R3中, 設(shè)的終端曲線為 , 切線的生成點擊圖中任意點動畫開始或暫停表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t 的增長方向一致., 則設(shè)第4頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有 速度向量：加速度向量：第5頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三例2. 設(shè)空間曲線 的向量方程為 求曲線 上對應(yīng)于解:的點處的單位切向量.故所求單位切向量為其

3、方向與 t 的增長方向一致另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為= 6第6頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三二、空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.置.空間光滑曲線在點 M 處的切線為此點處割線的極限位給定光滑曲線 在點法式可建立曲線的法平面方程利用點M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程第7頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線 在點 M 處的則 在點M 的切向量為法平面方程 給定光滑曲線為0, 切線方程第8頁，共29頁，2022年

4、，5月20日，19點35分，星期三例3. 求曲線在點 M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. 解：點(1, 1, 1) 對應(yīng)于故點M 處的切向量為因此所求切線方程為 法平面方程為即第9頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三(2) 光滑曲線的方程為切向量法平面方程 切線方程第10頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三第11頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三2. 曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點 可表示為處的切向量為 法平面方程 切線方程第12頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三例5. 求曲線在

5、點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 解法2 方程組兩邊對 x 求導(dǎo), 得曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得第13頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三切線方程即法平面方程即點 M (1,2, 1) 處的切向量第14頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三三、曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點 M,切線方程為不全為0 . 則 在且點 M 的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為 在該點的切平面. 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. 第15頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分

6、，星期三證:在 上,得令由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量的平面上 ,從而切平面存在 .第16頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三曲面 在點 M 的法向量: 法線方程 切平面方程 過M點且垂直于切平面的直線 稱為曲面 在點 M 的法線. 第17頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三曲面時, 則在點故當(dāng)函數(shù) 法線方程令特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時, 切平面方程法向量第18頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,復(fù)習(xí) 第

7、19頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三例6. 求球面在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解: 令所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程 即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)第20頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三所以曲面在點 (2 , 1 , 0) 處有:切平面方程 即法線方程法向量解: 令第21頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三例8. 確定正數(shù) 使曲面在點解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故又點 M 在球面上,于是有相切.與球面, 因此有第22頁，共29

8、頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三1. 空間曲線的切線與法平面 切線方程法平面方程1) 參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結(jié)第23頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三(2) 光滑曲線的方程為切向量法平面方程 切線方程第24頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三2. 曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點 可表示為處的切向量為 法平面方程 切線方程第25頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三空間光滑曲面曲面 在點法線方程1) 隱式情況 .的法向量切平面方程 曲面的切平面與法線第26頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35分，星期三空間光滑曲面切平面方程法線方程2) 顯式情況.法線的方向余弦法向量第27頁，共29頁，2022年，5月20日，19點35