第8章 有限脈沖響應濾波器的設計

1、第7章 有限脈沖響應濾波器的設計 2022/10/112本章將介紹數字濾波器的一種主要類型：有限脈沖響應濾波器，或稱FIR濾波器。本章內容包括：在回顧非遞歸濾波器的差分方程、脈沖響應、傳輸函數及頻率響應的基礎上，說明FIR濾波器的特點、設計方法和線性相位條件。定義FIR窗，并給出選擇窗類型和濾波器階數的方法。列出窗函數法低通濾波器設計步驟，以及如何設計帶通、帶阻和高通FIR濾波器。給出頻率采樣法設計濾波器的基本原理，選擇過渡點數和濾波器階數的方法。最后討論等波紋FIR濾波器的設計，并對FIR和IIR濾波器作全面比較。2022/10/113目 錄7.1 有限脈沖響應濾波器基礎7.2 線性相位FI

2、R數字濾波器的條件和特點7.3 利用窗函數法設計FIR濾波器7.4 用頻率采樣法設計FIR濾波器7.5 用等波紋逼近法設計FIR濾波器設計7.6 IIR和FIR數字濾波器的比較2022/10/1147.1 有限脈沖響應濾波器基礎無限脈沖響應(IIR)數字濾波器的優(yōu)點是可以利用模擬濾波器的設計結果，而模擬濾波器的設計有大量圖表可查，方便簡單。但是它也有明顯的缺點，就是相位的非線性；若需線性相位，則要采用全通網絡進行相位校正。因為圖像處理以及數據傳輸都要求信道具有線性相位特性。而有限脈沖響應(FIR)數字濾波器就可以做成具有嚴格的線性相位，同時又可以具有任意的幅度特性。2022/10/115FIR

3、濾波器的特點FIR濾波器的脈沖響應h(n)是有限長的(0nN-1)，其z變換為 是z-1的(N-1)階多項式，在有限z平面(0n1) 7-417-42結果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗設計的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益低55dB。如圖7-19所示。2022/10/11465.布萊克曼窗(Blackman Window)(二階升余弦窗)為了更進一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到布萊克曼窗其頻譜的幅度函數為7-437-44其幅度函數由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同

4、的WR()函數，使旁瓣再進一步抵消。 2022/10/1147圖7-18給出了當N=51時五種窗函數的幅度譜。可以看出，隨著旁瓣的減小，主瓣寬度相應增加了。圖7-19則是利用這五種窗函數對同一技術指標(N=51，截止頻率c=0.5)設計的FIR濾波器的幅度響應。 (a)矩形窗 (a)矩形窗圖7-18各種窗函數的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應2022/10/1148圖7-18各種窗函數的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(b)巴特列特窗 (b) 巴特列特窗(c)漢寧窗 (c)漢寧窗 2022/10/1149圖7-18各種窗函數的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應

5、(d)哈明窗 (d)哈明窗(e)布萊克曼窗 (e)布萊克曼窗 2022/10/1150用窗函數法設計低通FIR濾波器現在把用窗函數設計FIR數字濾波器的步驟歸納如下給出希望設計的濾波器的頻率響應函數Hd(ej)；若所給指標為邊界頻率和通帶、阻帶衰減，可選理想濾波器作逼近函數。計算以下積分，求出hd(n) 7-47為保證線性相位，取=(N-1)/2根據阻帶衰減指標，選擇窗函數的形狀，可查表7-42022/10/1151根據允許的過渡帶寬度，選定N值。由=A/N可得7-48式中，A取決于所選定的窗函數，也可查表7-4得到。將hd(n)與窗函數相乘得FIR數字濾波器的脈沖響應h(n) h(n)= h

6、d(n)w(n) 7-49計算FIR數字濾波器的頻率響應，并驗證是否達到所要求的指標由H(ej)計算幅度響應H()和相位響應()。7-502022/10/1152在實際設計中，有許多具體問題要處理。盡管窗函數法由于有明顯的優(yōu)點而受到重視，但是，以下兩個原因使它的應用受到限制。其一，很難準確控制濾波器的通帶邊緣；其二，若Hd(ej)不能用簡單函數表示，則計算式(7-47)的積分非常困難。第一個問題只有通過多次設計來解決。理想低通濾波器的截止頻率c，由于窗函數主瓣的作用而產生過濾帶。出現了通帶截止頻率1和阻帶截止頻率2。在1和2處的衰減是否滿足通帶和阻帶的要求，也就是1和2是否就是所需要的通帶和阻

7、帶的截止頻率，這是不一定的。為了得到滿意的結果，不得不假設不同的c進行多次設計。 2022/10/1153第二個問題的解決辦法是用求和來代替積分。由式(7-47)知若以Hd(ej)ejn在 的M個點上的值之和代替上式中的積分，則有 上式表明 實際上等效于 序列的M點IDFT。根據頻率取樣的討論可知，與hd(n)有如下的關系 7-517-52因此，當MN時， 在窗口范圍內能很好地逼近hd(n)。 2022/10/1154例7-3 設計一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為s=21.5104(rad/sec)，模擬低通通帶截止頻率為p=21.5103(rad/sec)，阻帶起始頻率為st=2

8、3103(rad/sec)，阻帶衰減不小于-50dB。幅度特性如圖7-20所示。 圖7-20 要求的模擬低通濾波器的特性2022/10/1155解：本題要求設計一個數字的FIR低通濾波器, 來模仿模擬濾波器，達到模擬濾波器的指標。所以在設計前要先將模擬的邊界頻率轉為數字邊界頻率，轉換公式為 計算對應的數字頻率 通帶截止頻率為 阻帶起始頻率為 阻帶衰減相當于2=50dB設Hd(ej)為理想線性相位低通濾波器 2022/10/1156首先由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率c 其對應的數字頻率為由此可得其中，為線性相位所必須的移位，根據7-1節(jié)的討論知道應滿足=(N-1)/2。202

9、2/10/1157由阻帶衰減2來確定窗形狀，由過渡帶寬確定N 由于2=50dB，查表7-3可選哈明窗，其阻帶最小衰減-50dB滿足要求。所要求的過渡帶寬(數字頻域)=st-p=0.2,因哈明窗過渡帶寬滿足=6.6/N，所以取N=41，則由哈明窗表達式w(n)確定FIR濾波器的h(n)。哈明窗為2022/10/1158所以由h(n)求H(ej)檢驗各項指標是否滿足要求，如不滿足要求要改變N，或改變窗形狀(或兩者都改變)來重新計算 H(ej)的圖形已畫在圖7-21上，滿足設計要求。 2022/10/1159圖7-21 例7-3設計出的線性相位FIR低通濾波器幅頻特性2022/10/1160線性相位

10、FIR高通、帶通和帶阻濾波器的設計 數字高通、帶通和帶阻濾波器的定義參看第六章圖6-2。利用奇對稱單位脈沖響應的特點(見表7-2)還可以設計90移相位(或稱離散希爾伯特變換器)以及幅度響應與成線性關系的線性差分器。1.線性相位FIR高通濾波器的設計按指標要求的理想線性相位高通濾波器的頻率響應為7-53其中=(N-1)/2，它的單位脈沖響應為2022/10/11617-54選定窗w(n)即可得所需線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應選用哪一種窗函數和阻帶衰減有關，而時域窗的點數N則和過渡帶寬有關 h(n)= hd(n) w(n)2022/10/1162但是由表7-2看出，無固定相移時只能采用偶

11、對稱單位脈沖響應，另外，對高通濾波器來說N只能取奇數，因為N為偶數H()在=處為0，不能做為高通濾波器。求出h(n)后，可求H(ej)，以此檢驗是否滿足指標要求，否則要重新設計，這和低通濾波器的討論一樣。 2線性相位FIR帶通濾波器的設計理想線性相位帶通濾波器的頻率響應為7-55其中=(N-1)/2。此濾波器的單位脈沖響應hd(n)為2022/10/11637-56這里，當1=0，2=c時，即為理想線性相位低通濾波器。當2=，1=c時，即為理想線性相位高通濾波器。后續(xù)設計步驟與FIR低通濾波器相同。3.線性相位FIR數字帶阻濾波器的設計2022/10/1164帶阻濾波器的設計與帶通濾波器的設計

12、步驟完全相同，只是理想頻率特性有所不同。7-57其中=(N-1)/2。同樣可得7-582022/10/1165線性相位FIR帶阻濾波器只能采用偶對稱單位脈沖響應，N等于奇數來設計，道理與討論高通濾波器是一樣的。由理想濾波器的低通公式、高通公式、帶通公式以及帶阻公式可以看出 一個高通濾波器相當于一個全通濾波器減去一個低通濾波器 一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器相減，其中一個截止頻率為2，另一個截止頻率為1，即 7-592022/10/1166一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器(截止頻率為1)加上一個高通濾波器(截止頻率為2)，即7-60上述關系也可作為高通、帶通和阻帶濾波器的設計方法窗函數法的

13、特點 采用窗函數法，設計簡單，方便，也實用，但要求用計算機；且邊界頻率不易控制。窗函數設計法是從時域出發(fā)的一種設計法。但一般技術指標是在頻域給出的。因此，下面介紹的頻率采樣法更為直接，尤其對于Hd(ej)公式比較復雜，或Hd(ej)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率采樣設計法更為方便、有效。2022/10/11677.4 利用頻率采樣法設計FIR濾波器用頻率采樣法設計濾波器的基本原理 待設計的濾波器的傳輸函數用Hd(ej)表示，可按下列思路進行設計：對它在=0到2之間等間隔采樣N點，得到Hd(k) 對N點Hd(k)進行IDFT，得到h(n) 式中，h(n)作為所設計的濾波器的單位取樣

14、響應。7-627-612022/10/1168由h(n)求系統(tǒng)函數H(z)7-63以上是用頻率采樣法設計濾波器的基本原理。 另外在第三章3.4節(jié)學習了頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復原信號的z變換公式(3-6061)式,式中X(k)和X(z)在這里應改為Hd(k)和H(z)，將插值公式重寫如下 7-64此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數，式(7-63) 和(7-64)都屬于用頻率采樣法設計的濾波器， (7-63)式適合FIR直接型網絡結構，(7-64)式適合頻率采樣結構。 2022/10/1169實際濾波器的傳輸函數 ，與理想的傳輸函數Hd(ej)間存在誤差，如

15、圖7-28，需要討論逼近誤差問題及其改進措施。 圖7-28 頻率采樣的響應2022/10/1170用頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件 這里只討論第一類線性相位問題，第二類線性相位問題可按類似方法處理。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實序列，且滿足h(n)= h(N1n)，參看表7-2中情況1和情況2，已推導出其傳輸函數應滿足的條件是 且Hg()=0 7-657-667-677-68對Hd(ej)進行N點等間隔采樣得到Hd(k)，則Hd(k)也必須具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)經過IDFT得到的h(n)具有偶對稱性，達到線性相位的要求 2022/10/117

16、1在=02之間等間隔采樣N點將=k代入(7-65)(7-68)式中，并寫成k的函數 N=奇數 N=奇數，且 (7-69)(7-72)就是頻率采樣值滿足線性相位的條件,說明N等于奇數時Hg(k)對(N1)/2偶對稱，N等于偶數時, Hg(k)對N/2奇對稱，且Hg(N/2)=0。 7-697-707-717-722022/10/1172設用理想低通作為希望設計的濾波器，截止頻率為c，采樣點數N，Hg(k)和(k)用下面公式計算 N=奇數時 N=偶數時 7-737-742022/10/1173上面公式中的kc是小于等于cN/(2)的最大整數。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數。 逼近誤差

17、及其改進措施1.產生誤差的原因從圖7-28可看出，實際的H(ej)與理想的Hd(ej)相比，誤差主要體現在一是通帶和阻帶出現波動，二是過渡帶加寬，與窗函數設計法情況類似，產生誤差的原因可從時域和頻域兩方面進行分析。 從時域分析：如果Hd(ej)有間斷點，那么相應單位取樣響應hd(n)應是無限長的。這樣，由于時域混疊，引起所設計的h(n)和hd(n)有偏差。為此，希望在頻域的采樣點數N加大。N愈大，設計出的濾波器愈逼近待設計的濾波器Hd(ej)。 2022/10/1174從頻域分析 在采樣點=2k，k=0,1,2,N-1,(-2k/N)=1，因此，采樣點處H (ejk) (k=2k/N)與H(k

18、)相等，逼近誤差為0。在采樣點之間，H(ej)由有限項的H(k)(-2k/N)之和形成。其誤差和Hd(ej)特性的平滑程度有關，特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈?。惶匦郧€間斷點處，誤差最大。表現形式為間斷點用傾斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻衰減減小，往往不能滿足技術要求。 2022/10/11752.減小誤差的方法 最直觀的想法是增加采樣點數，即加大N值，由于過渡帶就等于采樣間隔(參看圖7-28)，即 7-76所以加大N，可使過渡帶變窄，但增加要適當，否則會增加濾波器體積與成本。但是，增加N并不會改善濾波器的阻帶衰減特性，因為Hd(ej)是理想矩形, 無論怎樣增多頻率采樣的點數，在通、阻帶

19、交界處，幅值總是從1突變到0，會引起較大的起伏振蕩。 為使逼近誤差更小，和窗口法的平滑截斷一樣，通過在理想頻率響應的不連續(xù)點的邊緣上加一些過渡的抽樣點，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。 2022/10/1176一般過渡帶取一、二、三點抽樣值即可得到滿意結果。如在低通設計中，不加過渡點時，阻帶最小衰減為-20dB，加三個過渡點(最優(yōu)設計)則可達-80dB到-95dB左右。加過渡點的示意如圖7-29所示。 (a) (b) (c)增加過度點，可使阻帶衰減明顯提高，但付出的代價是過渡帶加寬，可通過下式加大N來調整。 圖7-29 理想低通濾波器增加過渡點m=0，1，2，3 7

20、-772022/10/1177頻率采樣法設計線性相位FIR低通濾波器 低通濾波器的設計步驟可參閱7.4.1的基本原理，此外，設計關鍵是 (1)根據阻帶衰減要求，確定過渡點數，并優(yōu)化過渡點值; (2)根據過渡帶要求，確定采樣點數N，由式(7-77) 7-78頻率采樣法的特點 頻率采樣法設計濾波器最大的優(yōu)點是直接從頻率域進行設計，比較直觀，也適合于設計具有任意幅度特性的濾波器。但邊界頻率不易控制。如果增加采樣點數N，對確定邊界頻率有好處，但會增加濾波器的成本。因此，它適合于窄帶濾波器的設計。2022/10/1178例7-6利用頻率采樣法設計線性相位低通濾波器， 要求截止頻率 c=/2rad， 采樣

21、點數N=33，選用 h(n)= h(N1n)情況。 解 用理想低通作為逼近濾波器。因N為奇數，按照(7-73)式 Hg(k)= Hg(33-k)=1， k=0，1，2，8 Hg(k)=0， k=9，10，23，24 (k)= - 32k/33， k=0，1，2，32 其中 ，取kc=8。 理想低通幅度特性采樣情況如圖7-31所示 2022/10/1179圖7-31 例7-6對理想低通進行采樣將采樣得到的H(k)=Hg(k)ej(k)進行IDFT，得到h(n)，計算其頻響，其幅度特性如圖7-32(a)所示。 為加大阻帶衰減，可增加一個過渡點，在k=9處，令Hg(9) = 0.5，結果得到的濾波器

22、幅度特性如圖7-32(b)所示 如果改變Hg(9)=0.3904,其幅度特性如圖7-32(c)所示，阻帶最小衰減可達40dB。因此，這種用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。 2022/10/1180圖7-32 例7-6的幅度特性 (c) (b)(a)2022/10/11817.5 用等波紋逼近法設計FIR濾波器設計 加權切比雪夫等波紋逼近 1.切比雪夫最佳一致逼近準則 設所要求的濾波器的幅度函數為Hd()，用線性相位四種FIR濾波器之一的幅度函數Hg()做逼近函數，設逼近誤差的加權函數為W()，則加權逼近誤差函數定義為 E()= W() Hd()- Hg() 7-79由于不同頻帶中誤差函

23、數Hd()-Hg()的最大值不一樣，故不同頻帶中W()值可以不同，使得在各頻帶上的加權誤差E()要求一致(即最大值一樣)。設計過程中W()為已知函數。 2022/10/1182為設計具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設設計的是h(n)= h(N1n)，N=奇數情況，由表7-2情況1可知 將Hg()代入(7-79)式，則 7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇M+1個系數a(n)，使加權誤差E()的最大值為最小，即 式中A表示所研究的頻帶，這里指通帶或阻帶。 2022/10/1183式(7-80)，是一個由M次多項式，根據上面提出的

24、準則逼近一連續(xù)函數的問題。切比雪夫理論指出這個多項式存在且唯一，并指出構造該多項式的方法是“交錯點組定理”。該定理提出最佳一致逼近的充要條件是E()在A上至少呈現M+2個“交錯”，使得 按照該準則設計的濾波器通帶或組帶具有等波動性質 2.利用最佳一致逼近準則設計線性相位FIR濾波器 2022/10/1184設希望設計的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為 圖7-36低通濾波器的最佳逼近 式中p為通帶截止頻率，s為阻帶截止頻率，如圖7-36所示，1為通帶波紋峰值，2為阻帶波紋峰值。設單位脈沖響應長度為N。如果知道了A上的M+2個交錯點頻率：0，1，,M+1，按照(7-80)式，并根據交錯點組

25、準則，可寫出 2022/10/1185將式(7-81)寫成矩陣形式 7-817-822022/10/1186解上式，可以惟一地求出a(n)，n=0，1，2，M，以及加權誤差最大絕對值。由a(n)可以求出濾波器的h(n)。但實際上這些交錯點組的頻率0,1,M是不知道的，且直接求解(7-82)式也是比較困難的。數值分析中的雷米茲(Remez)算法靠一次次迭代求得一組交錯點組頻率，而且每一次迭代的過程中避免直接求解(7-82)式。 (1)在頻域等間隔取M+2個頻率0，1，M+1作為交錯點組的初始值。按下式計算值 7-832022/10/1187式中 7-84一般初始值i并不是最佳的極值頻率，也不是最優(yōu)估計誤差，它是相對于初始值產生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg()，即 7-85式中 k=