雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

1、 PAGE 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)一、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).1雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離差的絕對值是常數(shù)(大于零，小于F1F2)的點的軌跡叫雙曲線。兩定點F1、F2是焦點，兩焦點間的距離F1F2是焦距，用2c表示，常數(shù)用2表示。(1)若MF1-MF2=2時，曲線只表示焦點F2所對應(yīng)的一支雙曲線.(2)若MF1-MF2=-2時，曲線只表示焦點F1所對應(yīng)的一支雙曲線.(3)若2=2c時，動點的軌跡不再是雙曲線，而是以F1、F2為端點向外的兩條射線.(4)若22c時，動點的軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：-=1(0,b0)表示焦點在x軸上的雙曲線； -=1(0,b0

2、)表示焦點在y軸上的雙曲線.判定焦點在哪條坐標(biāo)軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系數(shù)的符號，焦點在系數(shù)正的那條軸上.3.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖 象關(guān)系范 圍頂 點對 稱 性關(guān)于軸成軸對稱、關(guān)于原點成中心對稱漸 近 線離 心 率焦 點等軸雙曲線：x2-y22(0),它的漸近線方程為yx,離心率e.4.直線與雙曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與雙曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定。（1）通常消去方程組中變量(或)得到關(guān)于變量(或)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：直線與雙曲線相交于兩個點；直線與雙曲線相交于一個點； 直線與雙曲

3、線無交點（2）若得到關(guān)于(或)的一元二次方程，則直線與雙曲線相交于一個點，此時直線平行于雙曲線的一條漸近線(3)直線被雙曲線截得的弦長或，其中 是直線的斜率，是直線與雙曲線的兩個交點，的坐標(biāo)，且，可由韋達(dá)定理整體給出二、例題選講例1、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的實軸與虛軸相等，一個焦點到一條漸近線的距離為eq r(2)，則雙曲線方程為()Ax2y21 Bx2y22 Cx2y2eq r(2) Dx2y2eq f(1,2)解析：由題意，設(shè)雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,a2)1(a0)，則ceq r(2)a，漸近線yx，eq f(|r(2)a|,r(2)eq r(2)，a2

4、2.雙曲線方程為x2y22. 答案：B例2、根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)過點，離心率(2)、是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線上一點，雙曲線離心率為且，解：(1)依題意，雙曲線的實軸可能在軸上，也可能在軸上，分別討論如下如雙曲線的實軸在軸上，設(shè)為所求 由，得由點在雙曲線上，得， 又，由、得，若雙曲線的實軸在軸上，設(shè)為所求 同理有，解之，得（不合，舍去）雙曲線的實軸只能在軸上，所求雙曲線方程為 (2)設(shè)雙曲線方程為，因，而，由雙曲線的定義，得由余弦，得，又，得，所求雙曲線的方程為三、鞏固測試題1到兩定點、的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡 （ D ）A橢圓B線段C雙曲線D兩條射線2

5、方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ D ） AB C D或3 雙曲線的焦距是（ C ）A4BC8D與有關(guān)4若，雙曲線與雙曲線有（ D ）A相同的虛軸B相同的實軸C相同的漸近線D 相同的焦點5過雙曲線左焦點F1的弦AB長為6，則（F2為右焦點）的周長是（ A ）A28 B22C14D126雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,12)1的焦點到漸近線的距離為 ()A2eq r(3) B2 C.eq r(3) D1解析：雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,12)1的焦點為(4,0)或(4,0)漸近線方程為yeq r(3)x或yeq r(3)x.由雙曲線的對稱性可知，任一焦點到任一漸近線的距離

6、相等，deq f(|4r(3)0|,r(31)2eq r(3).7以橢圓的焦點為頂點，橢圓的頂點為焦點的曲線的方程為（ ）A A B C D8過點P(4,4)且與雙曲線eq f(x2,16)eq f(y2,9)1只有一個交點的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條解析：如圖所示，滿足條件的直線共有3條9經(jīng)過兩點的雙曲線的方程為 （ ）CA B C D10已知雙曲線的離心率為，焦點是，則雙曲線方程為（ ）A B C D11已知P是雙曲線上的一點，是雙曲線的兩個焦點，且 則的面積為 （ ）D A B C D12雙曲線的實軸長等于 ，虛軸長等于 ，頂點坐標(biāo)為 ， 焦點坐標(biāo)為 ，漸近線方程為 ，離

7、心率等于 13直線與雙曲線相交于兩點，則=_ 12 14過點且被點M平分的雙曲線的弦所在直線方程為 。 1315雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則 。 雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍， m0，且雙曲線方程為， m=。16已知雙曲線的離心率eeq f(r(5),2)，且與橢圓eq f(x2,13)eq f(y2,3)1有共同的焦點，求該雙曲線的方程解：在橢圓中，焦點坐標(biāo)為(eq r(10)，0)，ceq r(10)，又eeq f(c,a)eq f(r(10),a)eq f(r(5),2)，a28，b22.雙曲線方程為eq f(x2,8)eq f(y2,2)1.17已知、是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線

8、上且滿足，求的面積解：為雙曲線上的一個點且、為焦點,，在中，18已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為 ,設(shè)點. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程； 18.(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點P在橢圓上,得, 線段PA中點M的軌跡方程是.19已知橢圓C的焦點F1（，0）和F2（，0），長軸長6，設(shè)直線交 橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo)。解:由已知條件得橢圓的焦點在x軸上,其中c=,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是: .聯(lián)立方程組,消去y得, .設(shè)A(),B(),AB線段的中點為M()那么: ,=所以=+2=.也就是說線段AB中點坐標(biāo)為(-,).20求兩條漸近線為且截直線所得弦長為的雙曲線方程。解:設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=.聯(lián)立方程組得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB，且A(),B()，那么： 那么：|AB|=解得: =4,所以，所求雙曲線方程是：21中心在原點，焦點在軸上的一個橢圓與一雙曲線有共同的焦點，且，橢圓的半長軸與雙