第三章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)頻域分析

1、3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準則系統(tǒng)因果性指的是系統(tǒng)沖激響應為因果信號，因果性是系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的充要條件。佩利（Paley）和維納（Wiener）證明了系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的必要條件是：對于平方可積的系統(tǒng)函數(shù) 而言，系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的必要條件是 3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準則如果系統(tǒng)幅度函數(shù)不滿足此必要條件，則系統(tǒng)一定是物理不可實現(xiàn)的。顯然，如果系統(tǒng)幅度函數(shù)在某個頻帶內(nèi)恒為零，即 ，則由于 使得 違反了佩利-維納準則，這樣系統(tǒng)一定是物理不可實現(xiàn)的。這表明所有理想低通、理想高通、理想帶通和理想帶阻等理想濾波器都

2、是物理不可實現(xiàn)的。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準則研究高斯濾波器的非因果性。高斯濾波器的幅度函數(shù)為 用佩利-維納準則檢驗之，有 這證明了高斯濾波器一定是非因果的，事實上其沖激響應也是一個高斯函數(shù)，所以系統(tǒng)是非因果的。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系1.系統(tǒng)因果性的必要條件佩利-維納準則眾所周知，有理函數(shù)僅有可數(shù)個孤立零點，因此它一定滿足佩利-維納準則由于滿足佩利-維納準則的幅度函數(shù)可對應于無限多個相位函數(shù)，由此組成的系統(tǒng)函數(shù)不一定是因果的只有滿足了下一小節(jié)所述的希爾伯特關系的系統(tǒng)函數(shù)才是因果的這表明，佩利-維納準則是必要條件，而不是充分條件

3、。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系2.時域因果性與頻域希爾伯特性的對應關系因果系統(tǒng)的沖激響應滿足稱因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)具有希爾伯特性，即它的實部和虛部構(gòu)成一個希爾伯特變換對幅度函數(shù)滿足佩利-維納準則的系統(tǒng)，當其實部和虛部構(gòu)成一個希爾伯特變換對時，系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的。 3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關系可逆的因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)?？梢宰C明，最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅度函數(shù)與相位函數(shù)構(gòu)成一個希爾伯特變換對，即3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關系這是因為最小相位系統(tǒng)的對數(shù)譜一定有因果的稱之為復倒譜（complex cepst

4、rum） 的時域特性，即復倒譜是因果的連續(xù)時間信號（反之亦然），而對數(shù)譜的實部和虛部分別為對數(shù)幅度譜和相位譜，因此根據(jù)時域因果性與頻域希爾伯特性的對應關系，就有上述結(jié)論。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關系該結(jié)論的證明涉及第4章討論的系統(tǒng)零極點的概念，這兒只給出啟發(fā)式的理解：由于 使得 ，這樣 因果要求 因果，從而要求 及 因果。實際上， 因果只是 因果的必要條件，并非充分條件。因為因果信號可以是非最小相位的。只有穩(wěn)定、可逆的因果信號才是最小相位信號。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系3.最小相位系統(tǒng)的希爾伯特關系從幅度傳遞函數(shù)求解對應的可逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)

5、的步驟是：首先，計算對數(shù)幅度譜的逆FT，得到稱之為倒譜的；然后， 計算對應的復倒譜 ，使它滿足因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：系統(tǒng)沖激響應的復倒譜是因果的；再傅里葉變換之，得到對應的因果穩(wěn)定且可逆的系統(tǒng)的對數(shù)傳遞函數(shù) ；最后取指數(shù)變換，就得到系統(tǒng)函數(shù) 。如果需要系統(tǒng)的沖激響應，再取逆FT即可。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系4.解析信號的時域希爾伯特關系解析信號是有單邊譜的復信號，不可能是實函數(shù)根據(jù)傅里葉變換的對偶性，由時域因果性和頻域希爾伯特性的對應關系，很易得知，單邊譜信號（即有因果頻譜的信號）的實部和虛部構(gòu)成一個希爾伯特變換對，即，如果， 3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系5.希爾伯特濾波器沖激響應 的濾波器稱為希爾伯特濾波器，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ，它是理想90度相移器，使輸入信號的所有頻率分量都滯后使用希爾伯特濾波器可以用來從一個具有雙邊譜的實信號得到其相應的具有單邊譜的解析信號的虛部，從而實現(xiàn)實信號到解析信號的轉(zhuǎn)換。由于解析信號占有的頻帶僅為普通實信號占有的頻帶的一半，在通信中得到了重要的應用：單邊帶通信。例3-26給出了利用希爾伯特濾波器結(jié)合復正弦調(diào)制實現(xiàn)單邊帶調(diào)制的原理框圖。3-6 系統(tǒng)因果性與希爾伯特性的對應關系5.希爾伯特濾波器需要說明的是，理想希爾伯特濾波器是無限帶寬的實際上，僅要求它在其輸入