專(zhuān)題21 圓錐曲線(xiàn)的綜合運(yùn)用-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)重難點(diǎn)專(zhuān)題突破（全國(guó)通用）（解析版）

1、專(zhuān)題21 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用一、單選題1已知F是拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，則三角形OAB面積的最小值為（ ）ABCD2【解析】由得，設(shè)由已知直線(xiàn)的斜率存在設(shè)為，所以直線(xiàn)，聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，三角形面積的最小值為，故選：D2直線(xiàn)過(guò)橢圓的中心與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為E，直線(xiàn)NE與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)P，則的值為（ ）AB1CD【解析】設(shè)，則，所以，即，所以，所以，即，所以，即.故選：B.3設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）ABCD【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點(diǎn)，在中可得：，當(dāng)且僅當(dāng)、三

2、點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，在中可得：，當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，由得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.4橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為4B橢圓C上不存在點(diǎn)P，使得C橢圓C的離心率為DP為橢圓C上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q的最大距離為3【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓定義，可得，因此的周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，則，且又，所以，因此，解得，故B錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所?，即，所以離心率，故C錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，則點(diǎn)P到圓的圓心的距離為因?yàn)?，所以，故D正確故選：D5過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)于

3、C交于A，B兩點(diǎn)則取得最小值時(shí)，（ ）ABCD【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，又由題意得直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)其為，則其方程為.由，得，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以.故選：A.6已知A，B是雙曲線(xiàn)實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是雙曲線(xiàn)上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則的最小值為（ ）AB1CD【解析】由題設(shè)可設(shè)，則，故，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為2，故，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.7已知斜率不為0的直線(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且交橢圓于，兩點(diǎn)，軸上的點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍為（ ）A，B，C，D，【解析】很明顯點(diǎn)為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸的交點(diǎn)

4、，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，可得，因此，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，則，因此，所以，故選：B8設(shè)A，B分別是雙曲線(xiàn)x2-=1的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過(guò)P的直線(xiàn)PA，PB與雙曲線(xiàn)分別交于點(diǎn)M，N，直線(xiàn)MN交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)Q的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于S，T兩點(diǎn)，且=2，則BST的面積為（ ）ABCD【解析】雙曲線(xiàn)x2-=1的左、右頂點(diǎn)分別為A(-1，0)，B(1，0)，又P，直線(xiàn)PA的方程為x=-1，PB的方程為x=-+1，聯(lián)立可得y2-=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-1可得x=，即有M，聯(lián)立可得y2-y=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-+1，可得x=，即N設(shè)Q(s，

5、0)，由M，N，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，可得kMN=kQN，即有=，將M，N的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得=，解得s=2，即Q(2，0)，設(shè)過(guò)Q的直線(xiàn)方程為x=my+2，聯(lián)立得(3m2-1)y2+12my+9=0，設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，=144m2-36(3m2-1)0恒成立，又=2，y1=-2y2，-2=，解得m2=，可得SBST=|BQ|y1-y2|=|y1-y2|=3=故選：A二、多選題9已知橢圓：上有一點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A若，則；B若，則滿(mǎn)足題意的點(diǎn)有四個(gè)；C橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為20；D若為鈍角三角形，則；【解析】橢圓：

6、，設(shè)，則，若，則，所以不存在，故A錯(cuò)誤；若，則，可得，故滿(mǎn)足題意的點(diǎn)有四個(gè)，故B正確；設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為，則橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為其中，由得，橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的范圍為，即，故C正確；由上知不可能為鈍角，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)是鈍角，先考慮臨界情況，當(dāng)為直角時(shí)，易得，此時(shí)，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，所以，故D正確.故選：BCD10過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn).若的最小值為，則（ ）A拋物線(xiàn)的方程為B的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的最小值為3CD當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，為的一個(gè)四等分點(diǎn)【解析】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，所以的方程為：，由 可得，此時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，由可得：，所以，

7、所以，對(duì)于A：由以上證明可知：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)的方程為：，由可得：，即，不妨設(shè)，所以，所以，所以為的一個(gè)四等分點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD11已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為是圓上且不在軸上的一點(diǎn)，的面積為，設(shè)的離心率為，則（ ）ABCD【解析】如圖，連接，設(shè)交橢圓于，則，故正確；設(shè)，故錯(cuò)誤；設(shè)，則，又的面積為，即，又，故正確；由，兩式作商可得：，

8、故正確故選：ACD12已知橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為，下列說(shuō)法中正確的有（ ）A若a2，b，且，則B若a2，b，且，則C若a5，m，則D若，且，則【解析】對(duì)于A，若a2，b， ，則，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B：若a2，b，c1， ， ，所以 ， ， ，故 B正確，對(duì)于C，若a5，m ， 因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)共焦點(diǎn)， ，設(shè)，則，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，設(shè)，由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可得，解得，在三角形中，可得，即有，可得，即，當(dāng)時(shí)可得，故D正確故選：BD三、填空題13已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在圓上，則的值是_.【解析】設(shè)點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)，

9、由，得（判別式，點(diǎn)，在圓上，則，故.14雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上，圓O與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一、四象限分別交于P，Q兩點(diǎn)滿(mǎn)足（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積是_【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上，所以，設(shè)線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合雙曲線(xiàn)與圓的對(duì)稱(chēng)性可知為線(xiàn)段的中點(diǎn)，又因?yàn)?，即，且，則，又因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以，又因?yàn)樵趫A上，所以，又因?yàn)?，則，所以，從而，故,故答案為：.15已知橢圓：，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊的中點(diǎn)分別為D、E、M，且三條邊所在直線(xiàn)的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)、的斜率之和為1.則_.【解析】設(shè),因?yàn)?在橢圓上,所以,兩式相減得:,即,同理可得,所以因?yàn)橹本€(xiàn)的

10、斜率之和為1,所以,16設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi).【解析】設(shè)，由橢圓的定義可得，設(shè)，則，所以，即，因?yàn)?，所以，兩式相除可得，令可得，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)即，時(shí)取得最小值，此時(shí)最小為，當(dāng)或即，時(shí)取得最大值，此時(shí)最大為，所以橢圓離心率的取值范圍為四、解答題17已知直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；（2）設(shè)直線(xiàn)和與軸分別相交于點(diǎn)、，為原點(diǎn)證明：為定值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，將代入，解得， 當(dāng)為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，到直線(xiàn)的距離取得最大值， 面積的最大值是（2）證明：設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，從而 設(shè)，則有， 直線(xiàn)的方程為，令，得，從而 直線(xiàn)的

11、方程為，令，得，從而 所以，為定值18已知圓的圓心為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)、，連接、，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)；（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)，對(duì)于軸上的點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡上存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】（1），故，即，故軌跡為橢圓，故，故軌跡方程為：（）.（2）設(shè)，則，即，即，即，設(shè)，.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓的上頂點(diǎn)，以為圓心且過(guò)，的圓與直線(xiàn)相切.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，點(diǎn)在上，.證明：存在點(diǎn)，使得為定值.【解析】（1）由題意，則.又圓與直線(xiàn)相切，則圓的半徑，而圓又過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義可知，所以，所以橢圓的

12、標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）顯然直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，將帶入得：，所以，所以，所以，解得，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)或，根據(jù)題意，在以為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點(diǎn)或，使得為定值.20在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到直線(xiàn)的距離的倍，記的軌跡為曲線(xiàn)（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率大于的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接，交直線(xiàn)于，兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】（1）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)得，所以曲線(xiàn)的方程為.（2）證明：設(shè)，設(shè)直線(xiàn)，且，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，由，解得，由，解得，故點(diǎn)在以為直徑的圓上21已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為（1）

13、求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線(xiàn)，且直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，所以，故橢圓的方程為；（2）由（1）可知，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，所以，故，因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有，即，此時(shí)；當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)，亦有綜上所述，在軸上有在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為22已知的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，該三角形的內(nèi)切圓與邊分別相切于P，Q，S三點(diǎn)，且，設(shè)的頂點(diǎn)A的軌跡為曲線(xiàn)E（1）求E的方程；（2）直線(xiàn)交E于R，