廣東省廣州市陳嘉庚紀(jì)念中學(xué)(原第三十中學(xué))2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

1、廣東省廣州市陳嘉庚紀(jì)念中學(xué)(原第三十中學(xué))2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線y2=4x上，且動(dòng)圓恒與直線x=1相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)（ ）A. (2,0) B. (1,0) C. (0,1) D.(0,1) 參考答案：B2. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是ABCD參考答案：A略3. 已知點(diǎn)A為半徑為3的球O1上任意一點(diǎn)，BC為半徑為2的球O2的任意一條直徑，若兩球的球心重合，則=（ ）A4B5C6D13參考答案：B略4. 已知函數(shù)的圖象的一條對稱

2、軸為直線 的最小值為A2 B4 C6 D8參考答案：A5. （5分）一束光線自點(diǎn)P（1，1，1）發(fā)出，遇到平面xoy被反射，到達(dá)點(diǎn)Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）ABCD參考答案：D考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式 專題：計(jì)算題分析：求出P關(guān)于平面xoy的對稱點(diǎn)的M坐標(biāo)，然后求出MQ的距離即可解答：解：點(diǎn)P（1，1，1）平面xoy的對稱點(diǎn)的M坐標(biāo)（1，1，1），一束光線自點(diǎn)P（1，1，1）發(fā)出，遇到平面xoy被反射，到達(dá)點(diǎn)Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：=故選D點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的求法，兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力6. 已知，則A B C D 參考答案：A7.

3、 下列滿足“?xR，f（x）+f（x）=0且f（x）0”的函數(shù)是（）Af（x）=xe|x|Bf（x）=x+sinxCf（x）=Df（x）=x2|x|參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】滿足“?xR，f（x）+f（x）=0，且f（x）0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，進(jìn)而得到答案【解答】解：滿足“?xR，f（x）+f（x）=0，且f（x）0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，A中函數(shù)f（x）=xe|x|，滿足f（x）=f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，且f（x）=0恒成立，故在R上為減函數(shù)，B中函數(shù)f（x）=x+sinx，滿足f（x）=f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，但f（x）=1+cos

4、x0，在R上是增函數(shù)，C中函數(shù)f（x）=，滿足f（x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)；D中函數(shù)f（x）=x2|x|，滿足f（x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)，故選：A【點(diǎn)評】本題以全稱命題為載體，考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔8. 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（log2a）+f（a）2f（1），則a的取值范圍是（）AB1，2CD（0，2參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將f（log2a）+f（a）2f（1）化為：f（log2a）f（1），再由f（x）的單調(diào)性列出不等式，根據(jù)

5、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（a）=f（log2a）=f（log2a），則f（log2a）+f（a）2f（1）為：f（log2a）f（1），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間0，+）上單調(diào)遞增，所以|log2a|1，解得a2，則a的取值范圍是，2，故選：A【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題9. 已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2bc，bc=4，則ABC的面積為（）AB1CD2參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理【專題】解三角形【分析】由已知及余弦定理可求cosA，從而可求sinA的

6、值，結(jié)合已知由三角形面積公式即可得解【解答】解：a2=b2+c2bc，由余弦定理可得：cosA=，又0A，可得A=60，sinA=，bc=4，SABC=bcsinA=故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意角范圍的討論，屬于基本知識(shí)的考查10. 在ABC中，若AB2，AC2BC28，則ABC面積的最大值為()A. B2 C. D3參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式；余弦定理；三角形的面積公式.E6,C8【答案解析】C 解析：解：因?yàn)樗杂刹坏仁娇芍獣r(shí)，面積有最大值，所以正確選項(xiàng)為C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)基本不等式和余弦定理可知三邊相等時(shí)有最大值，利用面積公式可直接求出

7、面積.二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知為第二象限角，則參考答案：略12. 已知是遞增的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則 .參考答案：13. 已知，則的值為. 參考答案：14. 已知為銳角，且則= .參考答案：15. 已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則m=_參考答案：116. 若函數(shù)（）的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值為 參考答案：217. 在集合A=中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自曲線與坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為_參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑

8、的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：(1)略(2) (3) 解析：（1）依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AMMC。又因?yàn)镻 A平面ABCD，則PACD，又CDAD，所以CD平面，則CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，則是的中點(diǎn)可得，則設(shè)D到平面ACM的距離為，由即，可求得，設(shè)所求角為，則?？汕蟮肞C=6。因?yàn)锳NNC，由，得PN。所以。故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的。又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為.略19.

9、 （本小題滿分12分）如圖組合體中，三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合一個(gè)點(diǎn). （1）求證:無論點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng),平面平面；（2）當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐與圓柱的體積比參考答案：解：（）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)，ABCD是邊長為2的正方形T且=T為平行四邊形T T的所成角中，BF=,PF=，PB=3TT異面直線PB和DE所成角的余弦為6分（）以D為原點(diǎn)，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=a,可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，則有： 因?yàn)镻D底面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量為， 設(shè)平面PFB的

10、一個(gè)法向量為，則可得 即 令x=1,得，所以. 由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，所以得：， 解得10分因?yàn)镻D是四棱錐P-ABCD的高，所以，其體積為12分略20. （13分） 已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域參考答案：（1）（2）最大值為1,最小值為【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函數(shù)的定義域和值域C4 C5 C6（1）故的單調(diào)增區(qū)間為（2） 當(dāng)時(shí)，的最大值為1,最小值為【思路點(diǎn)撥】（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得，從而得到的值域21

11、. 點(diǎn)A，B分別在射線l1：y=2x（x0），l2：y=2x（x0）上運(yùn)動(dòng)，且SAOB=4（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）求證：中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系 【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）設(shè)M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AOB=2，利用SAOB=4，可得x1?x2=2，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可證明【解答】（1）解：設(shè)M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AOB=2，由y=2x可得，tan=k=2

12、，那么，又因?yàn)?，所以，化簡得x1?x2=2，式因?yàn)镸（x，y）是A（x1，y1）與B（x2，y2）的中點(diǎn)，所以x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1=2x1，y2=2x2，聯(lián)立可得，并代入式，得4x2y2=8，所以中點(diǎn)M的軌跡方程是4x2y2=8，x0（2）證明：設(shè)中點(diǎn)M到射線OA、OB的距離分別為d1、d2，則，那么所以中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值 【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題22. 設(shè)函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在(0,+)上有零點(diǎn)，證明：.參考答案：（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)； （2）.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；（2）采用分離參數(shù)法，得，根據(jù)在上存在零點(diǎn)，可知有解，構(gòu)造，求導(dǎo)，知在上存在唯一零點(diǎn)，即零點(diǎn)k滿足，進(jìn)而求得，再根據(jù)有解，得證【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù) 所以在上增函數(shù)，在上是減函數(shù)（2）證明：由題意可得，當(dāng)時(shí)，有解，即有