數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)57張課件

1、第六章 樣本及抽樣分布 10/12/20221數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)第六章 樣本及抽樣分布 關(guān)鍵詞總體、樣本、樣本觀察值、統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、樣本k階矩卡方分布、t分布、F分布分位點(diǎn)10/12/20222數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)關(guān)鍵詞總體、樣本、樣本觀察值、統(tǒng)計(jì)量10/10/20222數(shù)基本要求1、了解總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量的概念。2、了解樣本均值、樣本方差、樣本k階矩的定義3、熟練掌握統(tǒng)計(jì)的三大分布卡方分布、t分布、F分布的定義和性質(zhì)4、會(huì)利用三大分布的定義求相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的分布和進(jìn)行概率的計(jì)算5、熟練掌握正態(tài)總體樣本均值、樣本方差的分布及性質(zhì)10/12/20223數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)基本要求1、了解總體、樣本、統(tǒng)計(jì)

2、量的概念。10/10/20定義1 為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本， 是 的函數(shù)，若g連續(xù)且不含任何未知參數(shù)，則稱是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。10/12/20224數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)定義1 為來(lái)自總體 幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息10/12/20225數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差它反映了總體均值它反映了總樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩 k=1,2,它反映了總體k 階矩的信息它反映了總體k 階中心矩的信息10/12/20226數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩 k=1,2,它反映了總體k 注：一般地，當(dāng)X的k 階矩 存在 ， 時(shí)，10/12/20227數(shù)

3、理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)注：一般地，10/10/20227數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 統(tǒng)計(jì)三大分布記為分布1、定義: 設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布.分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布.10/12/20228數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 統(tǒng)計(jì)三大分布記為分布1、定義: 設(shè) 分布的密度函數(shù)為來(lái)定義.其中伽瑪函數(shù) 通過(guò)積分 c2 分布10/12/20229數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)分布的密度函數(shù)為來(lái)定義.其中伽瑪函數(shù) 通過(guò)積其圖形為 10/12/202210數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)其圖形為 10/10/202210數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)綠色(n=1),紅色(n=5),藍(lán)色(n=15)10/12/2

4、02211數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)綠色(n=1),紅色(n=5),藍(lán)色(n=15)10/10/由 分布的定義，不難得到：1. 設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布則2. 設(shè) 且X1,X2相互獨(dú)立，則這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性.10/12/202212數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)由 分布的定義，不難得到：1. 設(shè) 則 E(X)=n, D(X)=2n3.若證明：10/12/202213數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)則 E(X)=n, D(X)=2n3.若證明：10/10/定義2 稱滿足條件的點(diǎn) 為 分位點(diǎn)。當(dāng)n充分大時(shí)， 10/12/202214數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)定義2 稱滿足條件10/10/202214數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)記為Tt(n). 定義: 設(shè)X

5、N(0,1) , Y , 且X與Y相互獨(dú)立，則稱變量所服從的分布為自由度為 n的 t 分布.2、t 分布10/12/202215數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)記為Tt(n). 定義: 設(shè)XN(0,1) , Y 具有自由度為n的t分布的隨機(jī)變量T的數(shù)學(xué)期望和方差為: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 對(duì)n 2 當(dāng)n充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形. t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對(duì)稱，且10/12/202216數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)具有自由度為n的t分布的隨機(jī)變量T的數(shù)學(xué)期望和方差為:當(dāng)n充其圖形為綠色(n=50),紅色(n=10),藍(lán)色(n=1)10/12/202217數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)其圖形

6、為綠色(n=50),紅色(n=10),藍(lán)色(n=1)1例 3 設(shè) 是取自正態(tài)總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且 則 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 服從 分布，其自由度是10/12/202218數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)例 3 設(shè) 3、F分布定義: 設(shè) X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1及 n2 的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作 FF(n1,n2) .10/12/202219數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)3、F分布定義: 設(shè) 即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.X的數(shù)學(xué)期望為:若n2210/12/202220數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.X的數(shù)學(xué)期望為:若n10/12/202221數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)

7、習(xí)10/10/202221數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)性質(zhì)1 若， 則稱滿足條件的點(diǎn) 為F分布的 分位點(diǎn)。10/12/202222數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)性質(zhì)1 若，稱滿足條件10/10/202222數(shù)理統(tǒng)計(jì)總性質(zhì)2 證明：10/12/202223數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)性質(zhì)2 證明：10/10/202223數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)又所以10/12/202224數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)又所以10/10/202224數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 定理 1 (樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有幾個(gè)重要的抽樣分布定理10/12/202225數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 定理 1 (樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,Xn是取自n取不同值時(shí)樣本均值 的分布10/

8、12/202226數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)n取不同值時(shí)樣本均值 的分布10/10/20222 定理 2 (樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有10/12/202227數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 定理 2 (樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,Xn是取自n取不同值時(shí) 的分布10/12/202228數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)n取不同值時(shí) 的分布10/1 定理 3 設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有10/12/202229數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 定理 3 設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體的 定理 4 (兩總體樣本均值差的分布) 分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X

9、1,X2,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,是樣本10/12/202230數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 定理 4 (兩總體樣本均值差的分布) 分別是這兩個(gè)樣本的 定理 5 (兩總體樣本方差比的分布) 分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1, X2,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,是樣本10/12/202231數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 定理 5 (兩總體樣本方差比的分布) 分別是這兩個(gè)樣本的第七章 參數(shù)估計(jì) 10/12/202232數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)第七章 參數(shù)估計(jì) 關(guān)鍵詞矩估計(jì)量、最大似然估計(jì)量、似然函數(shù)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)偏性、

10、有效性、相合性置信度、置信區(qū)間10/12/202233數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)關(guān)鍵詞矩估計(jì)量、最大似然估計(jì)量、似然函數(shù)10/10/2022基本要求1、掌握點(diǎn)估計(jì)、最大似然估計(jì)的概念。2、能夠熟練求出樣本值的矩估計(jì)量、最大似然估計(jì)量3、熟練掌握區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求正態(tài)總體的均值、方差的區(qū)間估計(jì)4、了解估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)，并能夠判斷所求估計(jì)量符合哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)5、會(huì)求單側(cè)置信區(qū)間10/12/202234數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)基本要求1、掌握點(diǎn)估計(jì)、最大似然估計(jì)的概念。10/10/2記總體k階矩為樣本k階矩為矩估計(jì)法用相應(yīng)的樣本矩去估計(jì)總體矩的估計(jì)方法記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為10/12/202235數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)記

11、總體k階矩為樣本k階矩為矩估計(jì)法記總體k階中心矩為樣本k階 設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù) 都是這k個(gè)參數(shù)的函數(shù),記為：,那么它的前k階矩一般i=1,2,k從這k個(gè)方程中解出j=1,2,k那么用諸 的估計(jì)量 Ai分別代替上式中的諸 , 即可得諸 的矩估計(jì)量 ：j=1,2,k10/12/202236數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù) (4) 在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中, 用樣本值代入 就得參數(shù)的極大似然估計(jì)值 .求極大似然估計(jì)(MLE)的一般步驟是：(1) 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù) (或聯(lián)合密度);(2) 把樣本聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度)中自變 量看成已知常數(shù),而把參數(shù) 看

12、作自變量, 得到似然函數(shù)L( );(3) 求似然函數(shù)L( ) 的最大值點(diǎn)(常常轉(zhuǎn)化 為求ln L( )的最大值點(diǎn)) ，即 的MLE;10/12/202237數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) (4) 在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中, 用樣本值代入求極大似然估計(jì) 估計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值 . 我們希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值附近擺動(dòng)，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值. 這就導(dǎo)致無(wú)偏性這個(gè)標(biāo)準(zhǔn) . 1無(wú)偏性則稱 為 的無(wú)偏估計(jì) .設(shè)是未知參數(shù) 的估計(jì)量，若3 、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)10/12/202238數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 估計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的3有效性D( ) D( )則稱 較 有效 .

13、都是參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量，若有設(shè)和10/12/202239數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)3有效性D( )4.032210/12/202250數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)即“ ”是一個(gè)小概率事件 .拒絕域 W: |t |4.0322故不能拒絕H0 .第四步：是否落入拒絕域，從而作出決策，是接受H0還是拒絕H0| t |=2.9974.0322故不能拒絕H0 .假設(shè)檢驗(yàn)會(huì)不會(huì)犯錯(cuò)誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生 .不是一定不發(fā)生兩類錯(cuò)誤10/12/202252數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)假設(shè)檢驗(yàn)會(huì)不會(huì)犯錯(cuò)誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入拒絕域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯(cuò)誤 . （棄真）第一類錯(cuò)誤 如果H0不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值未落入拒絕域，從而沒(méi)有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯(cuò)誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯(cuò)誤 . （取偽）第二類錯(cuò)誤請(qǐng)看下表10/12/202253數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入拒絕域，從而作出否定H0的 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0