2023屆河南省頂級名校高三上學期第一次月考試題數(shù)學（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 4 4頁2023屆河南省頂級名校高三上學期第一次月考試題數(shù)學（理）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】B【分析】利用對數(shù)不等式及分式不等式的解法求出集合，結合集合的補集及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以.由，得，所以，所以，故選：B.2已知復數(shù)、，滿足，則（）ABCD【答案】B【分析】先證明復數(shù)模的性質：已知、為復數(shù)，則，利用復數(shù)模的性質可求得結果.【詳解】先證明復數(shù)模的性質：已知、為復數(shù)，則，設，所以，設，則，所以，因為，則，由，故.故選：B.3若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（）A30B60C120D1

2、50【答案】C【分析】先求得的值，根據(jù)數(shù)量積的運算法則求得以及的模，再根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故 ，故 ，由于 ，故，故選：C4執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸出,那么判斷框內(nèi)應填入的條件是()ABCD【答案】B【分析】根據(jù)框圖,進行循環(huán)計算,當時,即可退出,進而求得判斷框內(nèi)應填入的條件.【詳解】當當當當當當故可知判斷框內(nèi)應填入的條件是:故選:B.【點睛】本題考查了根據(jù)輸出結果求判斷框應填入的條件,解題關鍵是掌握根據(jù)框圖計算的方法和對數(shù)運算法則,考查了計算能力和分析能力,屬于基礎題.5生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數(shù)

3、之間的函數(shù)關系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：參考時間軸：A宋B唐C漢D戰(zhàn)國【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)關系，取即可計算得解.【詳解】依題意，當時，而與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關系式為，則有，解得，于是得，當時，于是得：，解得，由得，對應朝代為戰(zhàn)國，所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國.故選：D6紅海行動是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提出了如下要求：重點任務

4、必須排在前三位，且任務、必須排在一起，則這六項任務的不同安排方案共有A240種B188種C156種D120種【答案】D【詳解】當E,F排在前三位時，=24,當E,F排后三位時，=72，當E,F排3，4位時，=24，N=120種，選D.7函數(shù)（且）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）AB1C1D【答案】A【分析】由圖象得的解析式，再由三角函數(shù)的圖象變換可得函數(shù)的解析式，即可求.【詳解】解：由圖象可知，則由，得則點在函數(shù)圖象上，.函數(shù)解析式為將函數(shù)圖象上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位長度，得故故選:A8已

5、知函數(shù)，則（）A在單調(diào)遞增B有兩個零點C曲線在點處切線的斜率為D是偶函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷D，利用函數(shù)的導數(shù)的正負可判斷A，利用導數(shù)的幾何意義可判斷C，根據(jù)函數(shù)值的情況及零點定義可判斷B【詳解】由知函數(shù)的定義域為，當時，當時，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，A錯誤；當時，當時，當時，所以只有一個零點，B錯誤；令，故曲線在點處切線的斜率為，C正確；由函數(shù)的定義域為，不關于原點對稱知，不是偶函數(shù)，D錯誤故選：C9已知A，是拋物線上兩動點，為拋物線的焦點，則下列說法錯誤的是（）A直線過焦點時，最小值為4B直線過焦點且傾斜角為60時（點A在第一象限），C若中點的橫坐標為3，則最大值為8

6、D點A坐標，且直線，斜率之和為0，與拋物線的另一交點為，則直線方程為：【答案】B【分析】對于A，易知當垂直于軸時，取最小值4，故A正確；對于B，聯(lián)立方程求得與，從而得到，故B錯誤；對于C，由可推得當直線過焦點時，最大值為8，故C正確；對于D，利用條件分別求出的坐標，從而求得直線的方程，故D正確【詳解】依題意得，拋物線的焦點為，準線為，對于A，直線過焦點，當垂直于軸時，取最小值，此時，故A正確；對于B，由題可知，直線為，代入，整理得，解得或，所以，即，故B錯誤；對于C，由于A，為兩動點，所以，當且僅當直線過焦點時等號成立，故C正確；對于D，依題意，故，即，同理可得，故直線方程為，故D正確故選：B

7、.10在三棱錐中，平面ABC，與的外接圓圓心分別為，若三棱錐的外接球的表面積為，設，則的最大值是（）ABCD【答案】B【分析】由題可得，然后利用球的性質可得，進而可得，再利用基本不等式即求.【詳解】平面ABC，則為直角三角形，其外心為PB的中點，的外心，又，設三棱錐的外接球的為，連接，則平面ABC，又三棱錐的外接球的表面積為，即，由可得，當且僅當時取等號.的最大值是.故選：B.11蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的，從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構成，菱形的一個角度是，這樣的設計含有深刻的數(shù)學原理.我著名數(shù)學家華羅庚曾專門研究蜂巢的結構，著有

8、談談與蜂房結構有關的數(shù)學問題一書.用數(shù)學的眼光去看蜂巢的結構，如圖，在六棱柱的三個頂點處分別用平面，平面，平面截掉三個相等的三棱錐，平面，平面，平面交于點，就形成了蜂巢的結構.如圖，設平面與正六邊形底面所成的二面角的大小為，則（）ABCD【答案】C【分析】利用的面積與的面積比可求的值.【詳解】解：先證明一個結論：如圖，在平面內(nèi)的射影為 ，的平面角為 , ，則. 證明：如圖，在平面內(nèi)作，垂足為，連接，因為在平面內(nèi)的射影為，故，因為，故，因為，故平面.因為平面，故，所以為二面角的平面角，所以=.在直角三角形中，.由題設中的第二圖可得：.設正六邊形的邊長為，則，如圖，在中，取的中點為，連接，則，且，

9、故，故，故.故選：C.【點睛】12已知函數(shù)則下列說法正確的是（）當時，；若不等式至少有3個正整數(shù)解，則；過點作函數(shù)圖象的切線有且只有一條；設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是ABCD【答案】A【分析】對于，根據(jù)題意求出函數(shù)在上解析式，即可判斷，對于，利用參變量分離法可得，令，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結合已知條件可求出的取值范圍，對于，切點，則切點，得，化簡后構造函數(shù)可求出，從而可求出切線方程，對于，由題意可得，設，利用導數(shù)可得其在上是增函數(shù)，所以得對任意的恒成立，再由的單調(diào)性可得結果.【詳解】對于，當，正確；對于，當時，由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為不等式至少有3個正整

10、數(shù)解，所以不等式的解集中至少含有元素1，2，3，所以，所以錯誤，對于，設切點，則，即，設，當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，最多只有一個根，又，由得切線方程是，故正確；對于，由題意設，則，于是在上是增函數(shù)，即對任意的恒成立，因此只需當時，由，在上為增函數(shù)，即的最大值是e，正確故選：A【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關鍵是根據(jù)題意構造函數(shù)，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，考查數(shù)學計算能力和分析問題的能力，屬于難題.二、填空題13的展開式中的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】-4480【分析】，把三項式轉化成二項式，

11、利用二項式定理求解.【詳解】解：，其展開式的通項為，令，則，的通項為，令的系數(shù)為.所以的展開式中的系數(shù)是.故答案為：-448014過點作圓的兩條切線，切點分別為 、，則直線的方程為_【答案】【分析】由題知、，進而求解方程即可.【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：15已知函數(shù)有兩個不同的極值點、，且，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【分析】由可得，分析可知函數(shù)在上有兩個不等的零點，利用二次函數(shù)的零點分布可得出關于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】

12、函數(shù)的定義域為，且，令可得，設，其中，則函數(shù)在上有兩個不等的零點，所以，解得.故答案為：.16定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”若“黃金橢圓”：兩個焦點分別為，為橢圓上的異于頂點的任意一點，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，則_【答案】【分析】可利用和的面積比先求出，進一步再求出.【詳解】因為，三點共線，故可先求，再求出.如圖，連接，設到軸距離為，到軸距離為，則設內(nèi)切圓的半徑為，則，不妨設，則，.故答案為：.三、解答題17已知數(shù)列滿足(1)記，寫出，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前2022項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的定義求得，求出，由等比數(shù)列通項公式可得結論；（2）由得，然

13、后用并項求和法結合等比數(shù)列前項和公式計算【詳解】(1)，又(2)，則18如圖，圓臺下底面圓的直徑為， 是圓上異于的點，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，.(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)線線垂直從而證明線面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【詳解】(1)為圓臺下底面圓的直徑，是圓上異于的點，故又，又，平面平面(2)取的中點，連接，則，由(1)可知，平面，又 以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，平面，四邊形為矩形，平面的一個法向量為.設平面的一條法向量為，由得令，則，平面的

14、一個法向量為則平面與平面的夾角的余弦值為平面和平面夾角的余弦值為19根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來人口結構，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育醫(yī)療福利的增加等）.若希望增大，如何調(diào)控的值？是否存在的值使得，請說明理由.【答案】(1)，；(2)增加p的取值；不存在，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)條件概率計算方法求出，再根據(jù)即可計算求值；(2)根據(jù)分布列

15、的概率和為1得到與p的關系，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，求出其f(p)單調(diào)性，從而可判斷=的單調(diào)性，從而得到結果；根據(jù)分布列概率和為1及列出關于p的方程，判斷方程是否有解即可【詳解】(1)由題意得：，所以，由全概率公式，得，又，則；(2)由，得，記，則，記，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減因此增加p的取值，會減小，增大，即增大假設存在p使，又，將上述兩式相乘，得，化簡得，設，則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為，不存在使得20設為雙曲線的左右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于兩點，當直線垂直于軸時，為等腰直角三角形.(1)求雙曲線的離心率；(2)已知，若直線分別交直線于兩點，當直線的傾

16、斜角變化時，以為直徑的圓是否過定點，若過定點求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】(1)2(2)以為直徑的圓過定點或【分析】（1）當直線垂直于軸時，為等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出離心率；（2）直線的斜率存在時，設出直線，與雙曲線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，求出直線，得到，同理得到，求出以為直徑的圓的圓心和半徑，得到以為直徑的圓的方程，求出定點坐標，再驗證當直線的斜率不存在時，是否滿足.【詳解】(1)由已知得：，將代入中，當直線垂直于軸時，為等腰直角三角形，此時，即，整理得：，因為，所以，方程兩邊同除以得：，解得：或（舍去），所以雙曲線的離心率為2(2)因為，所以，解得：

17、，故，所以雙曲線方程為，當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，與雙曲線聯(lián)立得：，設，則，因為直線過右焦點且與雙曲線的右支交于兩點，所以，解得：，直線，則，同理可求得：，則，其中，所以則以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為：，整理得：，所以以為直徑的圓過定點，當直線的斜率不存在時，此時不妨設，此時直線，點P坐標為，同理可得：，.以為直徑的圓的方程為，點，在此圓上，綜上：以為直徑的圓過定點，.【點睛】直線過定點問題或圓過定點問題，通常要設出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再表達出直線方程或圓的方程，結合方程特點，求出所過的定點坐標.21已知是自然對數(shù)的底數(shù)，

18、函數(shù)，直線為曲線的切線，.(1)求的值；(2)判斷的零點個數(shù)；定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)零點個數(shù)為1個； 【分析】（1）求出的導數(shù)，設出切點，可得斜率，由切線方程可得參數(shù)方程即可求得答案；（2）利用零點的性質判斷出零點的范圍，然后利用的導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出零點個數(shù)；先求出的交點設為，并求出的具體范圍，然后利用新定義求最小值并求得的解析，然后利用恒成立的判斷分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】(1)解：由題意得：設切線的且點位，則可得：，又可得 ： 又因為直線為曲線的切線故可知 由解得：(2) 由小問（1）可知： ，故必然存在零點，且又因為，當時，當時，令 故故在上是減函數(shù)綜上分析，只有一個零點，且 由的導數(shù)為當時，遞增，當時，遞減；對的導數(shù)在時，遞增；設的交點為，由（2）中可知當時，由題意得：在時恒成立，即有；在上最值為故當時，由題意得：在時恒成立，即有令，則可得函數(shù)在遞增，在上遞減，即可知在處取得極小值，且為最小值；綜上所述：，即.22在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為(1)寫出的直角坐標方程；(2)若與有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）利用進行代換即可得到直線的直角坐標方程；（2）先