第八章平面解析幾何第八章平面解析幾何 課后限時(shí)自測(cè)50

1、課后限時(shí)自測(cè)（五十）A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、填空題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq f(r(2),2).過(guò)F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，那么橢圓C的方程為_(kāi)解析設(shè)橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由eeq f(r(2),2)知eq f(c,a)eq f(r(2),2)，故eq f(b2,a2)eq f(1,2).由于ABF2的周長(zhǎng)為|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28.橢圓C的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,8)1.答案eq

2、 f(x2,16)eq f(y2,8)12(2013四川高考改編)從橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是_解析設(shè)P(c，y0)代入橢圓方程求得y0，從而求得kOP，由kOPkAB及eeq f(c,a)可得離心率e.由題意設(shè)P(c，y0)，將P(c，y0)代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得eq f(c2,a2)eq f(yoal(2,0),b2)1，則yeq oal(2,0)b2eq blc(rc)(avs4a

3、lco1(1f(c2,a2)b2eq f(a2c2,a2)eq f(b4,a2).y0eq f(b2,a)或y0eq f(b2,a)(舍去)，Peq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，kOPeq f(b2,ac).A(a,0)，B(0，b)，kABeq f(b0,0a)eq f(b,a).又ABOP，kABkOP，eq f(b,a)eq f(b2,ac)，bc.eeq f(c,a)eq f(c,r(b2c2)eq f(c,r(2c2)eq f(r(2),2).答案eq f(r(2),2)3(2014遼寧高考)已知橢圓C：eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，點(diǎn)M與C

4、的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_.解析橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1中，a3.如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為D，則|DF1|DF2|2a6.D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點(diǎn)，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.答案124(2014南京調(diào)研)圖853如圖853，已知過(guò)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左頂點(diǎn)A(a,0)作直線l交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若AOP是等腰三角形，且eq o(PQ,sup10()2eq o(QA,sup10()，則

5、橢圓的離心率為_(kāi)解析AOP為等腰三角形，OAOP，故A(a,0)，P(0，a)，又eq o(PQ,sup10()2eq o(QA,sup10()，Qeq blc(rc)(avs4alco1(f(2a,3)，f(a,3)，由Q在橢圓上得eq f(4,9)eq f(a2,9b2)1，解得eq f(b2,a2)eq f(1,5).eeq r(1f(b2,a2)eq r(1f(1,5)eq f(2r(5),5).答案eq f(2r(5),5)5(2014南京質(zhì)檢)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為eq f(1,2)，且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C：x2y22x150的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析由x2y22x1

6、50，知r42aa2.又eeq f(c,a)eq f(1,2)，c1，則b2a2c23.因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.答案eq f(x2,4)eq f(y2,3)16(2013遼寧高考改編)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABFeq f(4,5)，則橢圓C的離心率為_(kāi)解析在ABF中，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF，|AF|21006412836，|AF|6，從而|AB|2|AF|2|B

7、F|2，則AFBF.c|OF|eq f(1,2)|AB|5，利用橢圓的對(duì)稱性，設(shè)F為右焦點(diǎn)，則|BF|AF|6，2a|BF|BF|14，a7.因此橢圓的離心率eeq f(c,a)eq f(5,7).答案eq f(5,7)7已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且eq o(PF1,sup10()eq o(PF2,sup10().若PF1F2的面積為9，則b_.解析由定義，|PF1|PF2|2a，且eq o(PF1,sup10()eq o(PF2,sup10()，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF

8、2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b2.SPF1F2eq f(1,2)|PF1|PF2|eq f(1,2)2b29，因此b3.答案38(2013大綱全國(guó)卷改編)已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為_(kāi)解析依題意，設(shè)橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)過(guò)點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長(zhǎng)|AB|3，點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)必在橢圓上，eq f(1,a2)eq f(9,4b

9、2)1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.答案eq f(x2,4)eq f(y2,3)1二、解答題9(2014鎮(zhèn)江質(zhì)檢)已知橢圓C1：eq f(x2,4)y21，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，eq o(OB,sup10()2eq o(OA,sup10()，求直線AB的方程解(1)設(shè)橢圓C2的方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,4)1(a2)，其離心率為eq f(r(3),2)，故eq f(r(a24),a)eq

10、 f(r(3),2)，解得a4.故橢圓C2的方程為eq f(y2,16)eq f(x2,4)1.(2)法一：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由eq o(OB,sup10()2eq o(OA,sup10()及(1)知，O、A、B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A、B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入eq f(x2,4)y21中，得(14k2)x24，所以xeq oal(2,A)eq f(4,14k2).將ykx代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中，得(4k2)x216，所以xeq oal(2,B)eq f(16,4k2).又由eq o(OB,sup10()

11、2eq o(OA,sup10()，得xeq oal(2,B)4xeq oal(2,A)，即eq f(16,4k2)eq f(16,14k2)，解得k1.故直線AB的方程為yx或yx.法二：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由eq o(OB,sup10()2eq o(OA,sup10()及(1)知，O、A、B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A、B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入eq f(x2,4)y21中，得(14k2)x24，所以xeq oal(2,A)eq f(4,14k2).由eq o(OB,sup10()2eq o(OA,sup10()，得xeq oal(2,B

12、)eq f(16,14k2)，yeq oal(2,B)eq f(16k2,14k2).將xeq oal(2,B)，yeq oal(2,B)代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中，得eq f(4k2,14k2)1，即4k214k2，解得k1.故直線AB的方程為yx或yx.10(2014安徽高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周長(zhǎng)為16，求|AF2|；(2)若cosAF2Beq f(3,5)，求橢圓E的離心率解(1)由|AF1|3|

13、F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)設(shè)|F1B|k，則k0且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2eq f(6,5)(2a3k)(2ak)，化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0.而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F

14、1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ceq f(r(2),2)a，所以橢圓E的離心率eeq f(c,a)eq f(r(2),2).B級(jí)能力提升練一、填空題1(2014安徽高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2eq f(y2,b2)1(0bb0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為eq f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)ceq r(a2b2)及題設(shè)知Meq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，eq f(b2,f(a,2c)eq f(3,4)，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得eq f(c,a)eq f(1,2)，eq f(c,a)2(舍去)故C的離心率為eq f(1,2).(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故eq f(