吉林省通鋼一中、集安一中、梅河口五中等聯(lián)誼校2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1從10名男生6名女生中任選3人參加競賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A1190B420C560D33602已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，數(shù)列滿足，且，則（ ）A8B16C32D643若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

2、 ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限4已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A1B3C4D65用四個數(shù)字1,2,3,4能寫成（ ）個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).A6B12C16D206已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù) 的取值范圍是（）ABCD7已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為（ ）A1BC2D8已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，若，則的大小關(guān)系是ABCD9用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應(yīng)取的項是()A1BCD10設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD11在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中,通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論,并且有99%以上的把握認

3、為這個結(jié)論是成立的,則下列說法中正確的是.A100個吸煙者中至少有99人患有肺癌B1個人吸煙,那么這人有99%的概率患有肺癌C在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有12已知集合，則集合（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若，則實數(shù)的值為_.14若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為_15的平方根是_.16若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過焦點，且與拋物線交于兩點、.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；（2

4、）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點.證明：為定值，并求出該定值.18（12分）在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.()求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;()若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的直角坐標(biāo).19（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點在曲線上，求的取值范圍；（2）設(shè)直線l與曲線交于M、N兩點，點Q的直角坐標(biāo)為，求的值.20（12分）證明下列不等式.（1）當(dāng)時，求證：；（2）設(shè)，若，求證：

5、.21（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻.為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104 文科生（人）08106321（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）

6、求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.22（10分）已知不等式的解集為（1）求集合；（2）設(shè)實數(shù)，證明：參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)分類計數(shù)原理和組合的應(yīng)用即可得解.【詳解】要求參賽的3人中既有男生又有女生,分為兩種情況：第一種情況：1名男生2名女生，有 種選法；第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，由分類計算原理可得.

7、故選B.【點睛】本題考查分類計數(shù)原理和組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】先確定為等差數(shù)列，由等差的性質(zhì)得進而求得的通項公式和的通項公式，則可求【詳解】由題意知為等差數(shù)列，因為，所以，因為，所以公差，則，即，故，于是.故選：C【點睛】本題考查等差與等比的通項公式，等差與等比數(shù)列性質(zhì)，熟記公式與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題3、C【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算進行化簡，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論詳解：z=（8+i）i=8i+i2=18i，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1，8），位于第三象限，故選C點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，利用復(fù)數(shù)的運算先化簡是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】令

8、,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時,;時,;時,.結(jié)合圖象,若,有3個解;若,無解;若,有1個解.所以函數(shù)的零點個數(shù)為4個.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點,考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.5、B【解析】根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，屬于排列問題，則一共有種不同的取法.即共有12個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).故選B.【點睛】本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，注意區(qū)分排列、組合、放回式抽取和不放回抽取的不同.6、A【解析】先將函數(shù)有零點，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有實根，構(gòu)造函數(shù)

9、，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，令，則，設(shè)，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；又當(dāng)時，作出函數(shù)圖像如下：因為函數(shù)恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數(shù)的取值范圍是.故選A【點睛】本題主要考查函數(shù)零點以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，通常需要將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點來處理，通過對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于?？碱}型.7、A【解析】首先根據(jù)雙曲線的焦距得到，再求焦點到漸近線的距離即可.【詳解】由題知：，.到直線的距

10、離.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，同時考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.8、D【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單增，;，,因為,且函數(shù)單增，故,即，故選D.9、D【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時，等式的左邊是，應(yīng)選答案D10、C【解析】分別求解出集合和，根據(jù)交集的結(jié)果可確定的范圍.【詳解】， 本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】獨立性檢驗是判斷兩個分類變量是否有關(guān)；吸煙與患肺癌是兩個分類變量，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有以上的把握認為這個結(jié)論是成立的指的

11、是得出“吸煙與患肺癌有關(guān)”這個結(jié)論正確的概率超過99，即作出“吸煙與患肺癌有關(guān)”這個結(jié)論犯錯的概率不超過1；不能作為判斷吸煙人群中有多少人患肺癌，以及1個人吸煙，這個人患有肺癌的概率的依據(jù)故選D12、B【解析】由并集的定義求解即可.【詳解】由題,則,故選:B【點睛】本題考查集合的并集運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先求的原函數(shù),再令即可.【詳解】易得的原函數(shù),所以,即,故故答案為：1【點睛】本題主要考查定積分的基本運算,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】分析：中，由在定義域內(nèi)是一個偶函數(shù)，知為奇函數(shù)，由此能求出的取值范圍.詳解：中，在定義域內(nèi)是一個偶

12、函數(shù)，要使函數(shù)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.只有定義域為的子區(qū)間，且定義域關(guān)于0對稱，才是奇函數(shù)，即，.故答案為：.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活應(yīng)用.15、【解析】根據(jù)得解.【詳解】由得解.【點睛】本題考查虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】先由復(fù)數(shù)的除法運算，求出復(fù)數(shù)，進而可得出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以，因此其共軛復(fù)數(shù)為故答案為【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，以及共軛復(fù)數(shù)，熟記運算法則與共軛復(fù)數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線

13、方程為；（2）為定值，證明見解析.【解析】（1）利用拋物線的定義結(jié)合條件，可得出，于是可得出點的坐標(biāo)，然后將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，于此可得出拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，列出韋達定理，計算出線段的中點的坐標(biāo)，由此得出直線的方程，并得出點的坐標(biāo)，計算出和的表達式，可得出，然后利用二倍角公式可計算出為定值，進而證明題中結(jié)論成立.【詳解】（1）由拋物線的定義知，.將點代入，得，得.拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，由，消去得：，則，.設(shè)直線中垂線的方程為：，令，得：，則點，.，故為定值.【點睛】本題考

14、查利用拋物線的定義求拋物線的方程，以及直線與拋物線的綜合問題，常將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理進行計算，解題時要合理假設(shè)直線方程，可簡化計算.18、 () C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程；() |MN|取得最小值,此時M(,).【解析】()利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；() 設(shè)M(cos,sin)，則|MN|的最小值為M到距離最小值，利用三角函數(shù)知識即可求解【詳解】()曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),普通方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，直角坐標(biāo)方程為，即；()設(shè)M(cos,sin)，則|MN|的最小值為M到距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)=2k-(kZ)時,

15、|MN|取得最小值,此時M(,).【點睛】本題考查參數(shù)方程化成普通方程，利用三角函數(shù)知識即可求解，屬于中等題.19、（1）（2）【解析】1根據(jù)條件可得，設(shè)，則然后求出范圍即可；（2）根據(jù)參數(shù)的幾何意義，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系式求出結(jié)果【詳解】1，在曲線上，設(shè)，的取值范圍；2，故曲線的直角坐標(biāo)方程為：直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為為參數(shù)，代入得：設(shè)M，N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，故，異號，【點睛】本題考查了參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬基礎(chǔ)題20、（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）利用分析法進行證明；（2）

16、利用常數(shù)代換法應(yīng)用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以； （2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.點睛：利用分析法證明時應(yīng)注意的問題(1)分析法采用逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時，?？紤]用分析法(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達形式為“要證只需證”或用“”注意用分析法證明時，一定要嚴(yán)格按照格式書寫21、 (1)見解析；(2) （i

17、）文科生3人，理科生7人 （ii）見解析【解析】（1）寫出列聯(lián)表后可計算，根據(jù)預(yù)測值表可得沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）文科生與理科生的比為，據(jù)此可計算出文科生和理科生的人數(shù).（ii）利用超幾何分布可計算的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）依題意填寫列聯(lián)表如下：比較了解不太了解合計理科生422870文科生121830合計5446100計算，沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）抽取的文科生人數(shù)是（人），理科生人數(shù)是（人）.（ii）的可能取值為0,1,2,3，則，.其分布列為 0123 所以.【點睛】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣及超幾何分布，注意在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）對分、三種情況討論，去絕對值，分別解出不等式，可得出不等式