高中數(shù)學(xué)人教A版高中 不等式基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：基本不等式授課教師：四川省巴中中學(xué) 李衛(wèi)教 材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科 書人教A版數(shù)學(xué)必修5一、教材分析 1、教學(xué)內(nèi)容 基本不等式是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（A版）必修5第三章第四節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明與簡單應(yīng)用。本節(jié)計(jì)劃三課時(shí)，這是第一課時(shí)。 2、本節(jié)教材的地位和作用 “基本不等式” 是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“不等式的性質(zhì)”、“不等式的解法”及“線性規(guī)劃“的基礎(chǔ)上對不等式的進(jìn)一步研究,在學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)中起著重要的基礎(chǔ)作用；其次本節(jié)知識具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點(diǎn)，可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識靈活解

2、決實(shí)際問題的能力，是學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的好素材；同時(shí)本節(jié)知識在形成過程中滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。二、學(xué)情分析有利因素:學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了完全平方公式、圓、初步認(rèn)識了不等式，同時(shí)在本章前三節(jié)中已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，前期的知識儲備為本節(jié)課提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。不利因素:由于高一學(xué)生的認(rèn)知能力有限，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，這一階段的學(xué)生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀察，分析，總結(jié)有一定的困難。三、目標(biāo)分析（1）教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)：推導(dǎo)并準(zhǔn)確表達(dá)基本不等式，理解基本不等式等號成立的條件及幾

3、何解釋；會用基本不等式解決簡單的最值問題。2.過程與方法目標(biāo)：通過實(shí)例的分析和提煉,培養(yǎng)學(xué)生觀察分析和解決問題的能力；引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入理解基本不等式，滲透數(shù)形結(jié)合的思想；通過師生間的合作交流，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯思維能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精神。（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程。難點(diǎn):基本不等式幾何意義的挖掘,掌握基本不等式等號成立的條件。解決方法:采用對比分析、師生板演來突出基本不等式的證明

4、過程；采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種不同的方式強(qiáng)調(diào)基本不等式等號成立的條件），通過幾何畫板、多媒體展示強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想，突破難點(diǎn)。四、教法學(xué)法教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、問題探究法學(xué)習(xí)方法：自主探究、合作交流教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：以培養(yǎng)學(xué)生探究精神為出發(fā)點(diǎn)，著眼于知識的形成和發(fā)展，著眼于學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，多媒體輔助教學(xué)有利于增強(qiáng)課堂教學(xué)的生動性與直觀性，有利于增大教學(xué)信息量，提高教學(xué)效益。五、教學(xué)過程確定依據(jù) 為了完成教學(xué)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)了如下教學(xué)流程：創(chuàng)設(shè)情景，幾何引入代數(shù)證明，得出結(jié)論幾何證明，相見益彰應(yīng)用舉例，鞏固提高歸納小結(jié)，反思提高布置作業(yè)，課后延拓 具體教學(xué)過程

5、如下：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景幾何引入創(chuàng)設(shè)情景幾何引入創(chuàng)設(shè)情景幾何引入創(chuàng)設(shè)情景幾何引入創(chuàng)設(shè)情景：向?qū)W生展示2023年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，指出該會標(biāo)就是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客，同時(shí)也充分展示了中國古代數(shù)學(xué)對世界所做出的重大貢獻(xiàn)。在這里簡要介紹一下弦圖：早在1300多年以前，這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖中的面積關(guān)系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一。 探究1：探究會標(biāo)圖形中的相等關(guān)系和不等關(guān)系將會標(biāo)抽象成圖一： 圖一 圖二問1:你能從圖一中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？學(xué)生自主探究，有如下

6、情形: = 1 * GB3 四個(gè)直角三角形全等 = 2 * GB3 大正方形面積大于小正方形面積 = 3 * GB3 大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間一個(gè)小正方形的面積 = 4 * GB3 四個(gè)直角三角形的面積小于大正方形的面積問 2：如：圖二若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b（ab）應(yīng)怎樣表示上述不等關(guān)系?1.正方形ABCD的面積S= ;2.四個(gè)三角形面積之和= ;與的大小關(guān)系是： ;形:S 數(shù):問3：它們有相等情況嗎？何時(shí)相等？（幾何畫板直觀演示）學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有，反知，也成立。這種情況稱為“當(dāng)且僅當(dāng)”。綜

7、上：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。（1）以實(shí)例和數(shù)學(xué)背景引入課題，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（2）運(yùn)用此圖標(biāo)能較容易的觀察出面積之間的關(guān)系，引入重要不等式很直觀。（3）學(xué)生在傾聽的基礎(chǔ)上，會回顧舊知：趙爽利用弦圖證明了勾股定理這一歷史事件，因此在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出：通過會標(biāo)圖形對弦圖再研究，引發(fā)思考：還有什么玄機(jī)呢？激發(fā)學(xué)生求知欲。利用會標(biāo)中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式，同時(shí)又要讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程。將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識，抽象出不等式。從運(yùn)動變化的角度體會面積相等的情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，抽象不等式中的相等關(guān)系，逐步完善結(jié)論，從“形” 上理解不等式取

8、等的條件。代數(shù)證明得出結(jié)論幾何證明相見益彰思考：上述結(jié)論是在幾何圖形中得到的，那么對于一般的實(shí)數(shù)，它還成立嗎？學(xué)生能夠很容易地利用作差比較法進(jìn)行證明，在證明的過程中實(shí)際上就說明了a,b的任意性，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)論一般化：重要不等式：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a,b，有，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立。探究2：你能寫出重要不等式的一些變式嗎？（分組討論，合作交流，教師巡視，搜集變式，全班展示，再引導(dǎo)學(xué)生完善結(jié)果，獲得成果）主要有如下成果：指出：特別地，如果a0,b0,我們用、分別代替a、b ，可得通常我們把上式寫作:基本不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號幾何平均數(shù) 算數(shù)平均數(shù) 代數(shù)意義：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不

9、小于它們的幾何平均數(shù)。問1：我們從幾何圖形中的面積關(guān)系以及代換方式獲得了基本不等式，能否利用不等式的性質(zhì)，直接推導(dǎo)這個(gè)不等式呢？ 分析法（教師板書）指出：上述過程叫做分析法。問2：還有其它證明方法嗎？（學(xué)生上臺板書）比較法、綜合法歸納總結(jié)：分析法（執(zhí)果索因）綜合法（執(zhí)因索果）探究3：基本不等式的幾何解釋在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a, BC=b過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD你能利用這個(gè)圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎？(小組討論，合作交流、幾何畫板演示)成果展示:OD= ； CD= ；形:OD CD 數(shù)：強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合，即ab時(shí)，等號成立.形

10、成結(jié)論：幾何意義：半弦不大于半徑或直角三角形斜邊的高不大于斜邊的中線。從 代數(shù)結(jié)構(gòu)上理解不等式：兩個(gè)正數(shù)和與積兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系。讓學(xué)生經(jīng)歷猜測，判斷，進(jìn)而再從“數(shù)”的邏輯方面給出證明的過程，既能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，也為后面基本不等式的證明作了鋪墊，數(shù)與形的統(tǒng)一加深學(xué)生對不等式取等條件的深刻理解，有效地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。對重要不等式進(jìn)行變式，自然地感受基本不等式的來源，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。從代換的角度認(rèn)識基本不等式從證明的角度認(rèn)識基本不等式，體會分析法的證明思路，加大探究基本不等式的力度。類比思想，感受不同方法證明不等式，突出重點(diǎn)。對比體會分析法，綜合法之

11、間的聯(lián)系與區(qū)別，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)。借助初中階段學(xué)生熟知的平面幾何圖形，探究不等式的幾何解釋，深化公式的理解，進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式成立的條件以及“當(dāng)且僅當(dāng)”等號成立的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，突破基本不等式幾何意義挖掘這一難點(diǎn)。從代數(shù)結(jié)構(gòu)上認(rèn)識基本不等式，為基本不等式的簡單應(yīng)用作出鋪墊。應(yīng)用舉例鞏固提高練習(xí)：變：若，求的最小值。 ；例1：（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，問這個(gè)矩形長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短？（2）一段長為36的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形長、寬各為多少時(shí)面積最大？（讓學(xué)生找出兩個(gè)問題的區(qū)別與聯(lián)系，并利用基本不等式給出答案，最后引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般類比、歸納概括出一般性結(jié)論）

12、思考：能否推廣得到求解最大值，最小值的一般性結(jié)論？結(jié)論：已知則：；幫助學(xué)生熟悉公式、深化對公式的理解，初步感受利用基本不等式求最值的思想；培養(yǎng)學(xué)生一題多解的意識，發(fā)散思維。培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型利用基本不等式求最值,會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，并用相關(guān)知識解決問題的能力, 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，構(gòu)建自己的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括的能力。 歸納小結(jié)反思提高總結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容及思想方法：本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？數(shù)無形時(shí)少直觀1.兩個(gè)不等式：數(shù)無形時(shí)少直觀形無數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合千般好數(shù)形分離萬事非形結(jié)合千般好 2.兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值兩個(gè)正

13、數(shù)和為定值，積有最大值（2）本節(jié)課你能感受到哪些數(shù)學(xué)思想和方法？數(shù)形結(jié)合、分類討論、換元、抽象概括、類比歸納等數(shù)學(xué)思想幫助學(xué)生明確本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容、要點(diǎn)；整理、歸納所學(xué)知識，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識體系，有利于知識的正向遷移。以數(shù)學(xué)家華羅庚的名言作小結(jié)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識，突顯了重點(diǎn)。布置作業(yè)課后延拓作業(yè)：；2、選做：（1）（2）3、探究：我們已經(jīng)知道了 的大小關(guān)系，那么它們與 的大小關(guān)系如何？先猜猜，再試著證證，想想能否也用幾何圖形對它加以解釋！必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，熟練公式應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生基礎(chǔ)知識，技能的形成；選做題是學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，先自我嘗試，為下課時(shí)作鋪墊；探究題是供學(xué)有余力的學(xué)生拓展自主發(fā)展的空間，使不同層次的學(xué)生都能有所發(fā)展，都可以獲得成功的喜悅。六、板書設(shè)計(jì)：一、結(jié)論：（1）重要不等式（2）基本不等式注：適用條件：取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)：二、不等式的證明 （分析法）三、例題解析結(jié)論：練習(xí)：教學(xué)反思：本節(jié)課通過6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)過程教學(xué)。從實(shí)際的問題情境出發(fā)，以基本不等式的幾何背景為著手點(diǎn)，以3個(gè)探究活動為主線，在證明不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出幾何解釋，從形到數(shù)發(fā)現(xiàn)基本不等式，再從數(shù)到形印證基本不等式，從而深化學(xué)生對基本不等式的理解