2019-2020年度人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《解一元二次方程》教學(xué)設(shè)計(jì)-優(yōu)質(zhì)課教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1課時(shí)直接開平方法教學(xué)內(nèi)容運(yùn)用直接開平方法,即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.教學(xué)目標(biāo)理解一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,并能應(yīng)用它解決一些具體問題.提出問題,列出缺一次項(xiàng)的一元2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn):運(yùn)用開平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程,領(lǐng)會降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.難點(diǎn):通過根據(jù)平方根的意

2、義解形如x2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n(n0)的方程.教學(xué)過程一、教師導(dǎo)學(xué)學(xué)生活動(dòng):請同學(xué)們完成下列各題問題1.填空(1)x2-8x+=(x-)2;(2)9x2+12x+=(3x+)2;(3)x2+px+=(x+)2.問題2.如圖,在ABC中,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始,沿AB邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始,沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng),如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā),幾秒后PBQ的面積等于8cm2?老師點(diǎn)評:問題1:根據(jù)完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)( QUOTE )2 QUOTE .問題2:設(shè)x秒后PBQ

3、的面積等于8cm2則PB=x,BQ=2x依題意,得: QUOTE x2x=8x2=8根據(jù)平方根的意義,得x=2 QUOTE 即x1=2 QUOTE ,x2=-2 QUOTE 可以驗(yàn)證,2 QUOTE 和-2 QUOTE 都是方程 QUOTE x2x=8的兩根,但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值.所以2 QUOTE 秒后PBQ的面積等于8cm2.二、合作與探究上面我們已經(jīng)講了x2=8,根據(jù)平方根的意義,直接開平方得x=2 QUOTE ,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢?(學(xué)生分組討論)老師點(diǎn)評:回答是肯定的,把2t+1變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+1=2 QUOTE 即2

4、t1+1=2 QUOTE ,2t2+1=-2 QUOTE 方程的兩根為t1= QUOTE - QUOTE ,t2=- QUOTE - QUOTE 【例1】解方程:x2+4x+4=1分析:很清楚,x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式,那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.解:由已知,得:(x+2)2=1直接開平方,得:x+2=1即x1+2=1,x2+2=-1所以,方程的兩根x1=-1,x2=-3【例2】市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面積增長率.分析:設(shè)每年人均住房面積增長率人均住房面積就應(yīng)該是10+10 x=10(1+x);二年后人均住房面積就應(yīng)該是1

5、0(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解:設(shè)每年人均住房面積增長率為x,則:10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接開平方,得1+x=1.2即1+x1=1.2,1+x2=-1.2所以,方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的,因此,x2=-2.2應(yīng)舍去.所以,每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問:解一元二次方程,它們的共同特點(diǎn)是什么?共同特點(diǎn):把一個(gè)一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,即“降次轉(zhuǎn)化思想”.三、鞏固練習(xí)教材P6練習(xí).四、能力展示某公司一月份營業(yè)額為2萬元,第一季度總營業(yè)額為6.62萬

6、元,求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少?五、總結(jié)提升本節(jié)課應(yīng)掌握:由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p0),那么x= QUOTE 轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么mx+n= QUOTE ,達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.六、布置作業(yè)教材P16習(xí)題21.21、2.第2課時(shí)配方法教學(xué)內(nèi)容通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.教學(xué)目標(biāo)理解通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程,并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn):講清“直接降次有困難,如x2+6x-16=0的一元二

7、次方程的解題步驟”.難點(diǎn):不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.教學(xué)過程一、教師導(dǎo)學(xué)(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們解下列方程(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9老師點(diǎn)評:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p0)的形式,那么可得x= QUOTE 或mx+n= QUOTE (p0).如:4x2+16x+16=(2x+4)2二、合作與探究列出下面問題的方程并回答:(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢?問題:如圖,在長為32m的矩形地面上,修筑同樣寬的兩條平行且與另

8、一條相互垂直的道路,余下的六個(gè)相同的部分作為耕地,要使得耕地的面積為500m2,道路的寬為多少?解:設(shè)道路的寬為x,則可列方程:(20-x)(32-2x)=500整理,得:x2-36x+70=0(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是:前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后一個(gè)不具有.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程【例1】解方程:x2-36x+70=0.老師點(diǎn)評:x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18= QUOTE ,x1-18= QUOTE 或x2-18=- QUO

9、TE ,x134,x22.可以驗(yàn)證x134,x22都是原方程的根,但x34不合題意,所以道路的寬應(yīng)為2.【例2】解下列關(guān)于x的方程2x2-4x-1=0解:x2-2x- QUOTE =0 x2-2x= QUOTE x2-2x+12= QUOTE +1(x-1)2= QUOTE x-1= QUOTE 即x1-1= QUOTE ,x2-1=- QUOTE x1=1+ QUOTE ,x2=1- QUOTE 可以驗(yàn)證:x1=1+ QUOTE ,x2=1- QUOTE 都是方程的根.像上面的解題方法,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫配方法.三、鞏固練習(xí)教材P9練習(xí)12.(1)、(2).四、能

10、力展示如圖,在RtACB中,AC=8m,BC=6m,點(diǎn)P、Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng),它們的速度都是1m/s,幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半.五、總結(jié)提升本節(jié)課應(yīng)掌握:配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.六、布置作業(yè)教材P17習(xí)題21.23.21.2.2公式法第1課時(shí)一元二次方程根的判別式教學(xué)內(nèi)容一元二次方程根的判別式,即=b2-4ac.教學(xué)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的情況;2.會根據(jù)方程的根的情況確定方程中一個(gè)字母系數(shù)的取值范圍.教學(xué)重難點(diǎn)1.運(yùn)用判別式求出符合題意的字母的取值范圍;2.運(yùn)用判別式判別一元二次方程根的情況.教學(xué)過程

11、一、教師導(dǎo)學(xué)對于一元二次方程ax20(a0)的根的判別式,我們知道=b2-4ac.當(dāng)0時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根,此結(jié)論反之也成立.如果說方程有實(shí)數(shù)根,切記此時(shí)b2-4ac0,切勿丟掉等號.二、合作探究了解了上述判別規(guī)律,我們來進(jìn)行以下探究:探究一:不解一元二次方程,判斷根的情況【例1】不解方程,判斷x2-2x+3=0的根的情況.解:=b2-4ac=4-413=-80,即-12k+10,k QUOTE .k0,即0.所以無論m取何值,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.說明:此類題目要先把方式,再計(jì)算出,如果不能直接判斷情況,就利有配方法把配成含有完

12、全平方的形式,根據(jù)完全平方的非負(fù)性,判斷的情況,從而證明出方程根的情況.三、鞏固練習(xí)1.不解方程,判別方程 QUOTE x2-4x+8=0的根的情況;2.關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判別式為1,求m的值及該方程的根;3.已知m為非負(fù)整數(shù),且關(guān)于x的方程(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求m的值.四、總結(jié)提升本節(jié)課應(yīng)掌握:一元二次方程根的判別式的定義及其運(yùn)用,為后面學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程打好基礎(chǔ).五、布置作業(yè)教材P17習(xí)題21.24、12、13第2課時(shí)公式法教學(xué)內(nèi)容1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程;2.公式法的概念;3.利用公式法解

13、一元二次方程.教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能:理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,了解公式法的概念,會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.2.過程與方法:復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一方法的解題過程,引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推導(dǎo)公式,并應(yīng)用公式法解一元二次方程.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn):求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.難點(diǎn):一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).教學(xué)過程一、教師導(dǎo)學(xué)(學(xué)生活動(dòng))用配方法解下列方程(1)6x2-7x+1=0(2)4x2-3x=52老師點(diǎn)評:(1)移項(xiàng),得:6x2-7x=-1;二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得:x2- QUOTE x=- QUOTE ;配方,得:x2- QUOTE x+( QUOTE )2

14、=- QUOTE +( QUOTE )2;(x- QUOTE )2= QUOTE ;x- QUOTE = QUOTE ;x1= QUOTE + QUOTE = QUOTE =1;x2=- QUOTE + QUOTE = QUOTE = QUOTE .(2)略總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評).(1)移項(xiàng);(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1;(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方;(4)原方程變形為(x+m)2=n的形式;(5)如果右邊是非負(fù)數(shù),就可以直接開平方求出方程的解,如果右邊是負(fù)數(shù),則一元二次方程無解.二、合作與探究如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),

15、你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根,請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.問題:已知ax2+bx+c=0(a0)且b2-4ac0,試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1= QUOTE ,x2= QUOTE 分析:因?yàn)榍懊嫦禂?shù)是具體數(shù)字方程已做得很多,我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字,根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.解:移項(xiàng),得:ax2+bx=-c二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2+ QUOTE x=- QUOTE ;配方,得:x2+ QUOTE x+( QUOTE )2=- QUOTE +( QUOTE )2;即(x+ QUOTE )2= QUOTE ;b2-4ac0且4a20; QUOTE 0;直接開平方,得:

16、x+ QUOTE = QUOTE ;即x= QUOTE ;x1= QUOTE ,x2= QUOTE 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程時(shí),可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當(dāng)b2-4ac0時(shí),將a、b、c代入式子x= QUOTE 就得到方程的根.(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.【例】用公式法解下列方程.(x-2)(3x-5)=1分析:用公式法解一元二次方程,首先應(yīng)把它化為一般形式,然后代入公式即可.解

17、:將方程化為一般形式3x2-11x+9=0;a=3,b=-11,c=9;b2-4ac=(-11)2-439=130;x= QUOTE = QUOTE ;x1= QUOTE ,x2= QUOTE 三、鞏固練習(xí)教材P12練習(xí)1.(1)、(3)、(5)四、能力展示某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+1) QUOTE +(m-2)x-1=0提出了下列問題.(1)若使方程為一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程為一元一次方程,m是否存在?若存在,請求出.你能解決這個(gè)問題嗎?五、總結(jié)提升本節(jié)課應(yīng)掌握:(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程;(2)公式法的概念;(3)應(yīng)用公式法解一元二次

18、方程;(4)初步了解一元二次方程根的情況.六、布置作業(yè)教材P17習(xí)題21.25.21.2.3因式分解法教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能:學(xué)會用因式分解的方法解某些一元二次方程,因式分解的具體方法有:提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等.2.過程與方法:通過對因式分解法的學(xué)習(xí),進(jìn)一步掌握一元二次方程的解法,更深理解“降次”的基本思想.教學(xué)重難點(diǎn)熟練用因式分解的方法解有關(guān)的一元二次方程教學(xué)過程一、教師導(dǎo)學(xué)問題:根據(jù)物理把一個(gè)物體從地面以10m/s的速度豎直上拋,那么經(jīng)過xs物體離地面的高度(單位:m)為10 x-4.9x2.你能根據(jù)此規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎?(精確到0.01s)?二、合作與

19、探究上面的問題可s落回地面,這時(shí)它離地面的高度為0,即10 x-4.9x2=0.除配方法或公式法以外,今天我們選擇一種更簡單的方法解此方程.分析:方程左邊因式分解,得x(10-4.9x)=0.于是得x=0或10-4.9x=0,x1=0,x2= QUOTE 2.04.即0s時(shí)物體被拋出,2.04s時(shí)落回地面.可以發(fā)現(xiàn),上述解法中,不是,而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次,這種解法叫做因式分解法.【例】解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x- QUOTE =x2-2x+ QUOTE 解:(1)因式分解,得(x-2)

20、(x+1)=0;x-2=0或x+1=0;x1=2,x2=-1(2)移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得4x2-1=0;因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0;2x+1=0或2x-1=0;x1=- QUOTE ,x2= QUOTE 三、鞏固練習(xí)教材P14練習(xí)1、2.四、能力展示1.因式分解法解下列方程:(1)x2+2x=-1;(2)(y-2)2=3(2-y).2.已知(a2+b2)2-3(a2+b2)-4=0,求a2+b2的值.五、總結(jié)提升本節(jié)課應(yīng)掌握:熟練用因式分解法解某些一元二次方程.六、作業(yè)布置教材P17習(xí)題21.2621.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)內(nèi)容由一元二次方程的求根公式推導(dǎo)一元二次方

21、程根與系數(shù)的關(guān)系,并用根與系數(shù)的關(guān)系求方程另一根及字母系數(shù)的值及一些代數(shù)式的值等運(yùn)用教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能:會用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系,并利用它不解方程,解決一些與方程的根有關(guān)的問題.2.過程與方法:不解方程,直接用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的另一根,及有關(guān)x1、x2的對稱式的代數(shù)式的值.教學(xué)重難點(diǎn)熟練用求根公式,不解方程而直接解決與方程的根有關(guān)的問題.教學(xué)過程一、教師導(dǎo)學(xué)問題:方程x2+x-6=01=,x2=,x1+x2=,x1x2=.方程x2+px+q=0(p2-4q0)的兩個(gè)根x1=,x2=,x1+x2=,x1x2=.二、合作與探究由上面的問題可知,x1,x1x2=q,設(shè)方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0),兩根為x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=.分析:x1= QUOTE ,x2= QUOTE