九年級(jí)同步第4講：相似三角形的判定（一） - 教師版

1、相似相似三角形的判定（一）內(nèi)容分析內(nèi)容分析相似三角形的判定是九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第三節(jié)的內(nèi)容，本講主要講解相似三角形的定義、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重點(diǎn)是根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用這兩種判定定理，以及這兩者之間的相互結(jié)合知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊模塊一：相似三角形判定定理1知識(shí)精講知識(shí)精講1、相似三角形的定義 如果一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且它們各有的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形DABCE 如圖，是的中位線，那么在與中， ， ，；由相似三角形的定義，可知這兩個(gè)三角形相似用符號(hào)來表示，記作，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；符號(hào)“”讀作

2、“相似于”DABCE 用符號(hào)表示兩個(gè)相似三角形時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母分別寫在三角形記號(hào)“”后相應(yīng)的位置上根據(jù)相似三角形的定義，可以得出：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比（或相似系數(shù)）（2）如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形也相似2、相似三角形的預(yù)備定理 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似 如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則3、相似三角形判定定理1 如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似 可簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似

3、如圖，在與中，如果、，那么AABCA1B1C1 常見模型如下：例題解析例題解析【例1】根據(jù)下列條件判定與是否相似，并說明理由；如果相似，那么用符號(hào)表示出來（1），；（2），【難度】【答案】（1）相似，；（2）相似，【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得，又，根據(jù)相似三角形判定定理1，確立對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可判定；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得，又，根據(jù)相似三角形判定定理1，確立對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可判定【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情況下，可根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解【例2】如圖，是平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)圖中有哪幾對(duì)相似三角形？ ABCABCDEF【答案】，【解析】由，可得：，根據(jù)

4、相似三角形預(yù)備定理，可得：，進(jìn)而可得：，即這三個(gè)三角形兩兩相似【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時(shí)考查相似三角形的傳遞性【例3】如圖，那么圖中相似的三角形有哪幾對(duì)？ABCABCDE123【答案】，【解析】根據(jù)，同時(shí)有公共角必相等，根據(jù)相似三角形判定定理1，可得，；同時(shí)由，可得：，進(jìn)而，又，根據(jù)相似三角形判定定理1，可得：【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，同時(shí)要注意根據(jù)題目條件推出一些其它角相等的條件，注意不要遺漏【例4】如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且ABCDEABCDE【難度】【答案】略【解析】證明：，即【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定義，各邊對(duì)應(yīng)成比例，先判定再應(yīng)用即可得出結(jié)

5、論ABDC【例5】如圖，在中，于點(diǎn)，且，ABDC求的值【難度】【答案】【解析】，即， 又，可得 又， ，設(shè)，則，代入可得： 【總結(jié)】考查基本模型的建立，直角三角形斜邊上的高線分出的兩個(gè)三角形與原三角形兩兩相似，稱作“子母三角形”，是一種常用的數(shù)學(xué)模型ABCDE【例6】如圖，中，是中點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，ABCDE則相似于【難度】【答案】【解析】，即， 又，即， 又為斜邊中點(diǎn)， ，由， 【總結(jié)】對(duì)于相等有公共角的兩角，可推出相等，同時(shí)注意直角三角形斜邊中線的應(yīng)用把直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形【例7】如圖，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)ABCABCDE【答案】【解析】， 根據(jù)面積法，可知，解得 又，可得 ，代入可得：

6、 ， 代入得：【總結(jié)】考查對(duì)于“子母三角形”的認(rèn)識(shí)，初步建立可將相似三角形中可將對(duì)應(yīng)邊之比轉(zhuǎn)化為 同一三角形中邊長(zhǎng)比的思想，實(shí)際上這個(gè)這個(gè)圖形中包含5個(gè)直角三角形，全部都是兩 兩相似【例8】如圖，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若與相似，求的值A(chǔ)BCABCDE【答案】或2【解析】（1）時(shí)，則應(yīng)有 由，可得：；（2）時(shí)，則應(yīng)有 由，代入得：， 解得：【總結(jié)】解決三角形相似問題時(shí)，一定要注意確立好對(duì)應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進(jìn)行分類討論【例9】如圖，是等邊三角形，求證ABCABCDE【答案】略【解析】證明：是等邊三角形， ， 又， ， 即【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)和相關(guān)相似三角形判定定理1，先判定

7、再應(yīng)用【例10】正方形中，是中點(diǎn)，于點(diǎn)，厘米，求的長(zhǎng)【難度】【答案】【解析】四邊形是正方形， ， 又， ， ， 是中點(diǎn)， 由勾股定理可得：， 代入可得：【總結(jié)】考查正方形背景下的直角三角形相似，實(shí)際上由直角和平行很容易得到相等的角，根據(jù)相似三角形判定定理1可證相似【例11】如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)ABCDEFOABCDEFO【難度】【答案】略【解析】證明：，又，【總結(jié)】考查利用“子母三角形”基礎(chǔ)模型證明角相等，根據(jù)同角的余角相等，證明角相等， 再利用相似三角形判定定理1即可證明【例12】如圖，在中，是內(nèi)一點(diǎn)，且求證：ABCABCP【答案】略【解析】證明：， 即 ，

8、， 【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理1，需要根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化【例13】如圖，在梯形中，/，且，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)（1）求證：；ABCDEFM（ABCDEFM【難度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）證明：，是的中點(diǎn)，又/，四邊形是平行四邊形，（2）解：，為中點(diǎn)，代入可得：【總結(jié)】考查相似三角形的預(yù)備定理，同時(shí)與三角形一邊平行線性質(zhì)定理結(jié)合運(yùn)用ABCDEFG【例14】如圖，在中，/，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，且ABCDEFG（1）求證：；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1）/， ， ，（2），即 ，即 【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，根據(jù)題目所求進(jìn)行相應(yīng)比例線段

9、的轉(zhuǎn)化【例15】如圖，已知、均為等邊三角形，、分別在邊、上，請(qǐng)找出一個(gè)與相似的三角形，并加以證明【難度】ABCDEFABCDEFGH【解析】、是等邊三角形， ， ， 同理可證得：【總結(jié)】考查“一線三等角”模型的建立，根據(jù)外角可證相似【例16】如圖，矩形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)ABCDEABCDEFO【難度】【答案】略【解析】證明：四邊形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，根據(jù)題目所給條件綜合分析【例17】如圖，中，是中線，是上一點(diǎn)，過作/，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)ABCDEABCDEFP【難度】【答案】略【解析】證明：連結(jié) ，是底邊中線，

10、 ， /， ， 【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，在有同角的情況下，再找出一個(gè)容易證明相等的角即可【例18】如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，且，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn) （1）求證：；ABCDEF（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域ABCDEF【難度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）證明：， ， ， ， ，即（2）， 又， ， 即，整理得：【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，往往由一對(duì)相似三角形性質(zhì)可推出其它相似的三角形，注意性質(zhì)與判定的轉(zhuǎn)換應(yīng)用模塊二：相似模塊二：相似三角形判定定理2知識(shí)精講知識(shí)精講1、相似三角形判定定理2 如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角

11、相等，那么這兩個(gè)三角形相似 可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似 如圖，在與中，那么AABCA1B1C1例題解析例題解析ABCDO【例19】如圖，四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，ABCDO求證：與是相似三角形【難度】【答案】略【解析】證明：，與是相似三角形【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等ABCD【例20】如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，且ABCD求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，根據(jù)題目條件進(jìn)行比例變形，對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等【例21】如圖，在與中，ABCDE求證：ABCDE【難度】【答案】略【解析】證明：，即，【總結(jié)】有公共角的兩

12、角，加上或減去公共部分，仍相等，根據(jù)判定定理2，可判定相似【例22】下列說法一定正確的是（）（A）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一角相等的兩個(gè)三角形相似（B）對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似（C）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似【難度】【答案】C【解析】根據(jù)判定定理2可知A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)判定定理1可知B錯(cuò)誤，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理可知只有直線與底邊平行時(shí)才相似【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理掌握情況和相關(guān)條件【例23】在和中，由下列條件不能推出的是（）（A），（B），（C），（D），【難度】【答案】A【解析】C選項(xiàng)根據(jù)相似三角形判定定理2可

13、知，B和D選項(xiàng)中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知頂角相等，即兩腰夾角相等，根據(jù)相似三角形判定定理2可推知【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2的運(yùn)用ABCDE【例24】如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，是外一點(diǎn)，求證：ABCDE【難度】【答案】略【解析】證明：，即，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再應(yīng)用性質(zhì)得出相關(guān)結(jié)論證明相似，進(jìn)行性質(zhì)和判定的相互轉(zhuǎn)化ABCEFG【例25】已知，在中，、是的兩條高，、交于點(diǎn)ABCEFG求證：（1）；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1），即（2），即，又，【總結(jié)】考查“雙高型”模型的建立，該圖中共有8對(duì)相似三角形【例26】如圖，點(diǎn)是的垂心（垂心即三角形三條高

14、所在直線的交點(diǎn)），聯(lián)結(jié)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)求證：【難度】ABCABCDEO【解析】證明：是的垂心，即，【總結(jié)】考查“雙高型”模型的建立，在鈍角三角形中仍成立，該圖中共有8對(duì)相似三角形，注意進(jìn)行相似三角形性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換【例27】如圖，點(diǎn)、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、求證：ABCABCBC【答案】略【解析】證明：，【總結(jié)】考查相似三角形性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換，題目中出現(xiàn)一對(duì)相似三角形往往與之關(guān)聯(lián)的三角形也是一對(duì)相似三角形【例28】如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求證：【難度】【答案】略【解析】證明：延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作 交于點(diǎn)， 四邊形是正方形， 設(shè)，則， ， ， 又， ， ，

15、， 又， 【總結(jié)】考查正方形和相似三角形的性質(zhì)，由對(duì)應(yīng)邊比例關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中邊的比例關(guān)系，推導(dǎo)結(jié)論【例29】如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)在線段上，垂足分別為、ABCDEFG求證：（1）ABCDEFG【難度】【答案】略【解析】證明：（1），是邊上的高，（2），四邊形是矩形，是邊上的高，即有，即，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1與定理2和相似三角形性質(zhì)綜合題，需要根據(jù)題目需求進(jìn)行變形，找準(zhǔn)題目所求結(jié)論，然后根據(jù)性質(zhì)和判定進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換ABCEFGH【例30】如圖，在中，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)、分別在、上，且ABCEFGH求證：（1）；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1）四邊形是正方

16、形，（2）四邊形是正方形，又，由（1）可得，即【總結(jié)】過點(diǎn)D向AB作垂線，也可解答，可視作考查“子母三角形”與正方形性質(zhì)相結(jié)合題型，出現(xiàn)兩兩相似ABCDPH【例31】如圖，是斜邊上的垂直平分線，垂直為點(diǎn)，并交直角邊于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且是與的比例中項(xiàng)ABCDPH求證：（1）；（2）是等腰直角三角形【難度】【答案】略【解析】證明：（1），即（2），即，又是的垂直平分線，即證是等腰直角三角形【總結(jié)】考查三角形中的等比例轉(zhuǎn)化，根據(jù)判定證明相似再根據(jù)相似的性質(zhì)得出結(jié)論再證明相似，先判定再應(yīng)用【例32】如圖，厘米，厘米，動(dòng)點(diǎn)、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動(dòng)到點(diǎn)為止

17、，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動(dòng)到點(diǎn)為止經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后，與相似？ABCABCPQ【答案】或【解析】設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，（1）時(shí)，則有，即，解得：（2）時(shí)，則有，即，解得：【總結(jié)】解決三角形相似問題時(shí)，一定要注意確立好對(duì)應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進(jìn)行分類討論，三角形比例關(guān)系不確定，且有相等夾角時(shí)，實(shí)際上只需要將相應(yīng)比例關(guān)系順序變換一下即可隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】如圖，在中，如果/，/，那么你能找出哪幾對(duì)相似三角形？ABCABCDEF【答案】，【解析】/， /，【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時(shí)建立兩兩相似的概念A(yù)BCD【習(xí)題2】如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，則的長(zhǎng)為ABCD【難度】【答案

18、】2【解析】，代入可得：【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理1并進(jìn)行相似三角形性質(zhì)應(yīng)用【習(xí)題3】根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號(hào)表示出來（1）， ，；（2）， ，；（3）， ，【難度】 【答案】（1）相似，；（2）相似，；（3）不相似【解析】根據(jù)相似三角形判定定理2即可知對(duì)應(yīng)邊成比例，且夾角相等即相似，（1）（2）均 符合題意，但需確立好對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）中相等兩角非夾角，不相似【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2的條件，尤其注意是對(duì)應(yīng)成比例邊的夾角【習(xí)題4】如圖，中，平分，若，則ABCABCDE【答案】3【解析】平分，同時(shí)又，由勾股定理可得：，代入即為：，解得：，3【總結(jié)】考查

19、相似三角形判定定理1和相似三角形的性質(zhì)，注意根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相似關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中邊的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系A(chǔ)BCDOMS【習(xí)題5】如圖，/，圖中共有ABCDOMS【難度】【答案】6【解析】根據(jù)/，由相似三角形預(yù)備定理，可知圖中有6對(duì)相似三角形，分成“”字型和“”字型兩個(gè)類別【總結(jié)】考查相似三角形的一些常見模型，由相似三角形預(yù)備定理可推知，如“”字型和“”字型【習(xí)題6】如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，ABCDE那么ABCDE【難度】【答案】【解析】四邊形是矩形，設(shè)，則，由此可得：，【總結(jié)】考查“子母三角形”基本圖形，同時(shí)考查比例中項(xiàng)比值的求法【習(xí)題7】如圖，是直角三角形，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)

20、線交于點(diǎn)ABCDEABCDEF【難度】【答案】略【解析】證明：，即，是中點(diǎn)，【總結(jié)】考查“子母三角形”基本模型的建立，同時(shí)與直角三角形斜邊中線分直角三角形為兩等腰三角形知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，推出角相等，根據(jù)相似三角形判定定理1可證相似【習(xí)題8】如圖，在中，點(diǎn)在中線上，求證：（1）；（2）ABCABCDE【答案】略【解析】證明：（1），即（2），即，【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性質(zhì)，證明過程中注意公共線段的充分利用，往往可以作為中間量【習(xí)題9】如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，、分別是邊、上的一點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)（1）在不添加字母和線段的情況下，寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對(duì)；

21、ABCEFMG（2）聯(lián)結(jié)ABCEFMG【難度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）例證，證明過程如下； 證明：， ， ，（2）， 又為中點(diǎn)， 由（1）得，即，解得： ，根據(jù)勾股定理得：【總結(jié)】考查“一線三等角”基本模型的建立，由外角可證相似三角形【習(xí)題10】如圖，中，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，（1）求證：；（2）如果點(diǎn)在上，求證：ABCABCDEF【答案】略【解析】證明：（1），又平分，（2），又，又，即【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和2綜合題型，再運(yùn)用相似三角形性質(zhì)進(jìn)行證明課后作業(yè)課后作業(yè)ABCDEP【作業(yè)1】如圖，已知，且交于點(diǎn)，試寫出圖中所有的相似三角ABCDEP【難度】【答案】

22、【解析】根據(jù)垂直和共用一個(gè)角，由相似三角形判定定理1可知這4個(gè)直角三角形兩兩相似，共形成6對(duì)相似三角形【總結(jié)】考查相似三角形中的基本模型，“雙高形”，也可稱作“飛鏢形”，分出的4個(gè)三角形兩兩相似【作業(yè)2】如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)ABCD求證：ABCD【難度】【答案】略【解析】證明：，【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理2，根據(jù)題目條件變形應(yīng)用【作業(yè)3】如圖，中，為上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件下， = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT

23、 ，組合起來能得出：的是（）ABCP（A） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT （B） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT ABCP（C） = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT （D） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 【難度】【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角，可知 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 可判斷相似；由相似三角形判定定理2