廣東省揭陽市五云中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

1、廣東省揭陽市五云中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 一次選拔運動員，測得7名選手的身高（單位cm）分布莖葉圖如圖，記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，那么x的值為（）A5B6C7D8參考答案：D【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖【分析】求這7組數(shù)的平均數(shù)，列出方程，即可解題【解答】解：解得x=8故選D2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，則當時，應(yīng)當在時對應(yīng)的等式的左邊加上（ ）A. B. C. D. 參考答案：C【分析】由數(shù)學(xué)歸納法可知時，左端，

2、當時，即可得到答案.【詳解】由題意，用數(shù)學(xué)歸納法法證明等式時，假設(shè)時，左端，當時，所以由到時需要添加的項數(shù)是，故選C.【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，著重考查了理解與觀察能力，以及推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3. 已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若ABC的面積S=，則角C的大小是( )A90B60C45D30參考答案：C【考點】余弦定理的應(yīng)用 【專題】計算題；函數(shù)思想；解三角形【分析】直接利用三角形的面積以及余弦定理求解即可【解答】解：a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，ABC的面積S=，可得=，可得sinC=cosC，C=45故選：C【點評】本

3、題考查余弦定理以及三角形的面積的求法，考查計算能力4. 判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為（）（1），；（2），；（3），；（4），；（5），。 A（1），（2）B（2），（3）C（4）D（3），（5）參考答案：C5. 如圖在正方體AC1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是（）ABCD參考答案：B【考點】直線與平面所成的角【分析】設(shè)正方體的棱長等于1，建立空間直角坐標系，得出D、B、C1、A1各點的坐標，從而得出、的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出=（1，1，1）是平面A1BD的一個法向量，利用向量的夾角公式算出cos，的值，即得直線BC1與平面A1BD所成角的正

4、弦值，最后利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值【解答】解：分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系設(shè)正方體的棱長等于1，可得D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），=（1，0，1），=（1，0，1），=（1，1，0）設(shè)=（x，y，z）是平面A1BD的一個法向量，則，取x=1，得y=z=1平面A1BD的一個法向量為=（1，1，1）設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為，則sin=|cos，|=cos=，即直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是故選：B【點評】本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查

5、了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題6. 線段在平面內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系是A、 B、 C、由線段的長短而定 D、以上都不對參考答案：A略7. 如圖，已知平面=l，A、B是l上的兩個點，C、D在平面內(nèi)，且DA，CB，AD=4，AB=6，BC=8，在平面上有一個動點P，使得APD=BPC，則PABCD體積的最大值是（）AB16C48D144參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】計算題【分析】本題需要借助直二面角的相關(guān)知識研究三角形的幾何特征，由題設(shè)條件知兩個直角三角形PAD與PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PDAB，垂足為D，令A(yù)D=

6、t，將四棱錐的體積用t表示出來，由二次函數(shù)求最值可得出正確選項【解答】解：由題意平面平面，A、B是平面與平面的交線上的兩個定點，DA?，CB?，且DA，CB，PAD與PBC是直角三角形，又APD=BPC，PADPBC，又AD=4，BC=8，PB=2PA作PMAB，垂足為M，則PM，令A(yù)M=tR，在兩個RtPAM與RtPBM中，PM是公共邊及PB=2PA，PA2t2=4PA2（6t）2 ，解得PA2=124tPM=，即四棱錐的高為，底面為直角梯形，S=36四棱錐PABCD的體積V=12=48，即四棱錐PABCD體積的最大值為48，故選C【點評】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解答本題，關(guān)鍵

7、是將由題設(shè)條件得出三角形的性質(zhì)、：兩鄰邊的值有2倍的關(guān)系，第三邊長度為6，引入一個變量，從而利用函數(shù)的最值來研究體積的最值，是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解的思想，屬中檔題8. 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）Ay=sinx By=x3 Cy=ex D參考答案：D略9. 空間四邊形ABCD的對角線AC=10，BD=6，M、N分別為AB、CD的中點，MN=7，則異面直線AC和BD所成的角等于（）A30B60C90D120參考答案：B【考點】異面直線及其所成的角【分析】由題意畫出圖形，得到異面直線AC和BD所成的角（或補角），由余弦定理求解得答案【解答】解：如圖，取AD中點G，連接MG，NG，AC=10，B

8、D=6，M、N分別為AB、CD的中點，NG=5，MG=3，又MN=7，cosMGN=，cosMGN=120，則異面直線AC和BD所成的角等于60故選：B10. 若a是1+2b與1-2b的等比中項，則的最大值為 （ ）A. B. C. D.參考答案：B略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第10行從左向右的第3個數(shù)為參考答案：48【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；8B：數(shù)列的應(yīng)用【分析】先找到數(shù)的分布規(guī)律，求出第n1行結(jié)束的時候一共出現(xiàn)的數(shù)的個數(shù)，再求第n行從左向右的第3個數(shù)，代入n=10可得【解答】解：由排列的規(guī)律可得，

9、第n1行結(jié)束的時候共排了1+2+3+（n1）=個數(shù)，第n行從左向右的第3個數(shù)為+3=，把n=10代入可得第10行從左向右的第3個數(shù)為48故答案為：4812. 已知正數(shù)a,b滿足ab=a+b+5，則ab的取值范圍是_.參考答案：，+）略13. 如圖，四邊形ABCD中，ABC=C=120，AB=4，BC=CD=2，則該四邊形的面積是參考答案：【考點】HP：正弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求BD，進而利用三角形面積公式可求SABD和SBCD，從而求得四邊形的面積【解答】解：ABC=C=120，AB=4，BC=CD=2，在BCD中，BD=2，SABD=AB?BD?sin=4，SBCD=，四邊形的面

10、積S=SABD+SBCD=4=5故答案為：14. 已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是_ 參考答案：15. 已知橢圓=1（ab0）的左、右焦點分別為F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），若橢圓上存在一點P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【專題】計算題；壓軸題【分析】由“”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到在PF1F2中運用由正弦定理得：兩者結(jié)合起來，可得到，再由焦點半徑公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（aex0）解出x0，由橢圓的范圍，建立關(guān)于離心率的不等式求解要注意橢圓離心率的范圍【解答】解：在PF

11、1F2中，由正弦定理得：則由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|設(shè)點（x0，y0）由焦點半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=aex0則a（a+ex0）=c（aex0）解得：由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0a則，整理得e2+2e10，解得：或，又e（0，1），故橢圓的離心率：，故答案為：【點評】本題主要考查橢圓的定義，性質(zhì)及焦點三角形的應(yīng)用，特別是離心率應(yīng)是橢圓考查的一個亮點，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍16. 下列正確命題有“”是“=30”的充分不必要條件如果命題“（p或q）”為假命題，則 p，q中至多有一個為真命題設(shè)a0，b1，若a+b=2，則+的最小值為

12、3+2函數(shù)f（x）=3ax+12a在（1，1）上存在x0，使f（x0）=0，則a的取值范圍是參考答案：【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用【分析】根據(jù)充要條件的定義，可判斷；根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可判斷；根據(jù)基本不等式，可判斷；根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即零點存在定理，可判斷【解答】解：“”時，“=30”不一定成立，“=30”時“”一定成立，故“”是“=30”的必要不充分條件，故錯誤；如果命題“?（p或q）”為假命題，則命題“p或q”為真命題，則p，q中可能全為真命題，故錯誤；a0，b1，若a+b=2，則b10，a+（b1）=1，則+=（+）a+（b1）=3+3+2=3+2，即+的最小值為3+

13、2，故正確；若函數(shù)f（x）=3ax+12a在（1，1）上存在x0，使f（x0）=0，則f（1）?f（1）0，即（3a+12a）（a+1）0，解得，故正確，故正確的命題有：，故答案為：17. 函數(shù)的定義域是 參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. (本小題滿分12分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且與的等差中項為.（1）求cosA 的值；（2）若ABC的面積是，求的值.參考答案：解：（1）是與的等差中項，2分由正弦定理得，4分即,.6分（2），在ABC中，8分由面積公式得，10分bc=8，故.12分19. （12分）如圖,已知點是橢圓的右頂點,若點在橢圓上,且滿足.(其中為坐標原點)（）求橢圓的方程;（）若直線與橢圓交于兩點,當時,求面積的最大值. 參考答案：解：（）因為點在橢圓上，所以 （）設(shè)，設(shè)直線，由，得：則點到直線的距離當且僅當所以當時，面積的最大值為.略20. （本小題滿分12分） 已知a0,b0，求證：參考答案：法1：a0,