(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第12講《函數(shù)與方程》（解析版）

1、第12講 函數(shù)與方程思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是f(x)0的根我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理3二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc(a0) 的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2

2、，0)(x1，0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)題型歸納題型1 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【例1-1】（2020春浙江期中）函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)所在區(qū)間是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由函數(shù)的解析式可得 SKIPIF 1 0 （1）， SKIPIF 1 0 （2）的符號(hào)，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)所在的區(qū)間【解答】解：由于函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

3、0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)， SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020廣東學(xué)業(yè)考試）函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)所在區(qū)間為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】判斷 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 遞增，求得 SKIPIF 1 0 ，

4、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）的值由零點(diǎn)存在定理即可判斷【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù) SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 時(shí)函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，且有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 存在零點(diǎn)故選： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，

5、則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷題型2 求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例2-1】（2020春渝中區(qū)校級(jí)期末）函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A0B1C2D3【分析】條件等價(jià)于函數(shù) SKIPIF 1 0 與函數(shù) SKIPIF 1 0 圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，則條件等價(jià)于函數(shù) SKIPIF 1 0 與函數(shù) SKIPIF 1 0 圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出兩函數(shù)圖象如下：如圖，兩函數(shù)無交點(diǎn)，故選： SKIP

6、IF 1 0 【例2-2】（2020武昌區(qū)模擬）函數(shù) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D8個(gè)【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用零點(diǎn)判斷定理轉(zhuǎn)化推出零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解答】解：函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是偶函數(shù)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1

7、0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春海淀區(qū)校級(jí)期末）函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 【分析】條件等價(jià)于 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于 S

8、KIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖：由圖可得只有1個(gè)交點(diǎn)，故答案為：1【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春杭州期末）已知 SKIPIF 1 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 0 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 【分析】作出函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：作出函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象如下：由圖可得，函數(shù) SKIPIF 1 0 只有一個(gè)零點(diǎn)，故答案為：1【名師指導(dǎo)】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的

9、圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型3 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【例3-1】（2020迎澤區(qū)校級(jí)模擬）已知以4為周期的函數(shù) SKIPIF 1 0 滿足，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，若方程 SKIPIF 1 0 恰有5個(gè)根，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)條件函數(shù)是周期為4的函數(shù)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合直

10、線和曲線的相切問題，即可得到結(jié)論【解答】解：依題意，函數(shù) SKIPIF 1 0 的周期為4，方程 SKIPIF 1 0 恰有5個(gè)根，等價(jià)為函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 0 有5個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)圖象如下：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，當(dāng)直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 ，相切時(shí)，即方程 SKIPIF 1 0 有唯一解，化簡得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；當(dāng)直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 相切時(shí)

11、，即方程 SKIPIF 1 0 有唯一解，化簡得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；由圖可知，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020宜昌模擬）若函數(shù) SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKI

12、PIF 1 0 【分析】依題意， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有且僅有一個(gè)解，設(shè) SKIPIF 1 0 ，求導(dǎo)可知函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，故 SKIPIF 1 0 （1）， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，由此求得 SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解：依題意， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上有且僅有一個(gè)解，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKI

13、PIF 1 0 時(shí)取等號(hào)）可知，當(dāng) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 0 單調(diào)遞增， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-3】（20203月份模擬）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 是定義域?yàn)?SKIPIF 1 0 的偶函數(shù)，且滿足 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則函數(shù) SKIPIF

14、 1 0 所有零點(diǎn)的和為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A3B4C5D6【分析】由 SKIPIF 1 0 為偶函數(shù)，且滿足 SKIPIF 1 0 ，可得函數(shù) SKIPIF 1 0 為最小正周期為2，對(duì)稱軸 SKIPIF 1 0 ，畫出函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象，又有題意可得 SKIPIF 1 0 關(guān)于 SKIPIF 1 0 對(duì)稱，且有 SKIPIF 1 0 的范圍可得 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 （5）， SKIPIF 1 0 （3）的取值范圍，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的交點(diǎn)情況，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 0 的零

15、點(diǎn)情況【解答】解：函數(shù) SKIPIF 1 0 是定義域?yàn)?SKIPIF 1 0 的偶函數(shù)，且滿足 SKIPIF 1 0 ，可得對(duì)稱軸 SKIPIF 1 0 ，所以可得周期 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 也是關(guān)于 SKIPIF 1 0 對(duì)稱，令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，在同一坐標(biāo)系中在作 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的圖象如圖所示：因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （5） SKIPIF 1 0

16、 ，與 SKIPIF 1 0 無交點(diǎn)， SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 有3個(gè)交點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 有3對(duì)關(guān)于 SKIPIF 1 0 對(duì)稱的點(diǎn)，所以所以交點(diǎn)之和為 SKIPIF 1 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 0 所有零點(diǎn)的和為6，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020江蘇模擬）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 是最小正周期為2的偶函數(shù)，且

17、當(dāng) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 若函數(shù) SKIPIF 1 0 恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】做出 SKIPIF 1 0 的函數(shù)圖象，令 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，列不等式組求出 SKIPIF 1 0 的范圍【解答】解： SKIPIF 1 0 有3個(gè)零點(diǎn)， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，作出 SKIPIF 1 0 得函數(shù)圖象如圖所示：若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF

18、 1 0 的函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的函數(shù)圖象有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020贛州模擬）關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上有三個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) S

19、KIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】由題意畫出圖形，可知當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線與曲線相切時(shí)的直線的斜率，結(jié)合 SKIPIF 1 0 時(shí)直線在曲線上方求解【解答】解：關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上有三個(gè)不相等的實(shí)根，即 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上有三個(gè)不相等的實(shí)根，也就是函數(shù) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，設(shè)直線 SKIPIF 1 0