(新高考)高考數(shù)學一輪復習考點復習講義第39講《空間點、直線、平面之間的位置關系》（講）（解析版）

1、第39講 空間點、直線、平面之間的位置關系（講）思維導圖知識梳理1四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2空間直線的位置關系(1)位置關系的分類eq blc(avs4alco1(共面直線blc(avs4alco1(平行,相交),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi))(2)異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成

2、的角(或夾角)；范圍：eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)(3)定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補3空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)空間中直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面內(nèi)a有無數(shù)個公共點直線在平面外直線a與平面平行a沒有公共點直線a與平面斜交aA有且只有一個公共點直線a與平面垂直a(2)空間中兩個平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行沒有公共點兩平面相交斜交l有一條公共直線垂直且a題型歸納題型1 平面的基本性質及應用【例1-1】（2020春海安市校級月考）如圖，空間四邊形 SKIPIF 1

3、 0 中， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分別是 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分別在 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 （1）求證： SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點共面；（2）設 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 交于點 SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點共線【分析】（1）推導出 SKIPIF

4、1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 ，由此能證明 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點共面（2）由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，推導出 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 由此能證明 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點共線【解答】證明：（1） SKIPIF 1 0 中， SKIPIF

5、1 0 、 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中點， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （平行線公理）， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點共面（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， S

6、KIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點共線【跟蹤訓練1-1】（2020汕頭二模）如圖，在正四棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 為正方形 SKIPIF 1 0 的中心，點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點，點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0

7、 四點共面，且 SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點共面，且 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點不共面，且 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點不共面，且 SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 確定平面 SKIPIF 1 0 即可判斷四點共面，利用勾股定理計算 SKIP

8、IF 1 0 、 SKIPIF 1 0 得出 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 是否相等【解答】解：連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是正方形 SKIPIF 1 0 的中心， SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKI

9、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四點共面取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練1-2】（2019秋樂山

10、期末）如圖所示，正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 與截面 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 點， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 點，求證： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線【分析】欲證 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，只須證它們都在平面 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 的交線上，根據(jù)立體幾何中的公理可知，只要說明 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三

11、點是平面 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 的公共點即可【解答】證明：如圖，因為 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是平面 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 的公共點，又因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 也是平面 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 的公共點， SKIPIF 1 0 是平面

12、SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 交線， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 的交點， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 也是平面 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 的公共點， SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線【名師指導】1證明點或線共面問題的2種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線

13、(或點)在這個平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合2證明點共線問題的2種方法(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上3證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點題型2 空間兩直線位置關系的判定【例2-1】（2020廣元模擬）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 0 中，底面為梯形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點，則 SKIP

14、IF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ，且直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是共面直線B SKIPIF 1 0 ，且直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是異面直線C SKIPIF 1 0 ，且直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是異面直線D SKIPIF 1 0 ，且直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是共面直線【分析】可連接 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)條件即可說明四邊形 SKIPIF 1 0 是平行四邊形，從而得出 SKIPIF 1 0 ，且直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

15、 是共面直線【解答】解：如圖，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四邊形 SKIPIF 1 0 是平行四邊形， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是共面直線故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練2-1】（2020

16、瀘州模擬）正方體 SKIPIF 1 0 ，下列命題中正確的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 相交直線且垂直B SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是異面直線且垂直C SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是相交直線且垂直D SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是異面直線且垂直【分析】分別求出 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角判斷 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1

17、 0 、 SKIPIF 1 0 錯誤；證明 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 垂直判斷 SKIPIF 1 0 正確【解答】解：如圖，連接 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 為正三角形，可得 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是相交直線且成 SKIPIF 1 0 角，故 SKIPIF 1 0 錯誤； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是異面直線且成 SKIPIF 1 0 角，故 SKIPIF 1 0 錯誤； SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是相交直線，所成角為 SKIPIF 1 0 ，其正切值為

18、 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯誤；連接 SKIPIF 1 0 ，可知 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，可知 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是異面直線且垂直，故 SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練2-2】（2019秋吉林期末）如圖，正方體 SKIPIF 1 0 的所有棱中，其所在的直線與直線 SKIPIF 1 0 成異面直線的共有 條【分析】由異面直線的定義可以直接得到結果【解答】解：正方體 SKIPIF 1 0 的共有12條棱中， SKIPIF 1 0 成異面直線的有： SKIPIF 1 0 ， SK

19、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，共6條故答案為：6【跟蹤訓練2-3】（2019秋武邑縣校級期末）在圖中， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 是異面直線的圖形有 （填上所有正確答案的序號）【分析】圖（1）中，直線 SKIPIF 1 0 ，圖（2）中 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，圖（3）中 SKIPIF 1 0 ，圖（4）中，

20、 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 【解答】解析：如題干圖（1）中，直線 SKIPIF 1 0 ；圖（2）中， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點共面，但 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，因此直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 異面；圖（3）中，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因此， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 共面；圖（4）中， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 共面，但 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1

21、0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 異面所以圖（2）、（4）中 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 異面故答案為：（2）、（4）【名師指導】異面直線的判定方法題型3 求異面直線所成的角【例3-1】（2020春赤峰期末）在正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 的中點，則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的正切值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】連結 SKIPIF

22、1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 是異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角（或所成角的補角），再求出異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的正切值【解答】解：在正方體 SKIPIF 1 0 ，中， SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 的中點，連結 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角（或所成角的補角），設正方體 SKIPIF 1 0 的棱長為2

23、，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的正切值為 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春讓胡路區(qū)校級期末）在空間四邊形 SKIPIF 1 0 中，已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 ，則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的大小為 SKIPIF 1 0 SKIPIF

24、1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】取 SKIPIF 1 0 中點 SKIPIF 1 0 ，連結 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 是異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角（或所成角的補角），利用余弦定理能求出異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角【解答】解：取 SKIPIF 1 0 中點 SKIPIF 1 0 ，連結 SKIPIF 1

25、0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角（或所成角的補角）， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所

26、成角為： SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練3-1】（2020春保山期末）如圖所示，三棱柱 SKIPIF 1 0 所有棱長均相等，各側棱與底面垂直， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點，則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】取 SKIPIF 1 0 中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF

27、 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角為 SKIPIF 1 0 ，設三棱柱各棱長為2，求解三角形得答案【解答】解：取 SKIPIF 1 0 中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 0 為平行四邊形，則 SKIPIF

28、 1 0 SKIPIF 1 0 異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角為 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 設三棱柱各棱長為2，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在三角形 SKIPIF 1 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 0 ，即異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練3-2】（2020春玉林期末）在四棱錐 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，四邊形 SKI

29、PIF 1 0 是邊長為2的正方形， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點，則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 推導出 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 為異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的所成角（或補角），由此能求出異面直線

30、SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值【解答】解：如圖，取 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 為異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的所成角（或補角）由題意可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值是 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓練3-3】（2020春尖山區(qū)校級期末）已知三棱錐 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，底面 SKIPIF 1 0 是等腰直