(新高考)高考數(shù)學一輪復(fù)習考點復(fù)習講義第55講《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》（講）（解析版）

1、第55講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理思維導圖知識梳理1分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法2分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法題型歸納題型1 分類加法計數(shù)原理【例1-1】滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A14B13C12 D10【解析】選B當a0時，關(guān)于x的方程為2xb0，此時有序數(shù)對(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2

2、)均滿足要求；當a0時，44ab0，ab1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個故選B.【例1-2】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_【解析】按十位數(shù)字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，則共有8765432136個兩位數(shù)【答案】36【跟蹤訓練1-1】如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過一點)【解析】分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；

3、第二類，中間過一個點，有ABO和ACO 2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有ABCO和ACBO 2種不同的走法由分類加法計數(shù)原理可得共有1225種不同的走法【答案】5【跟蹤訓練1-2】若橢圓eq f(x2,m)eq f(y2,n)1的焦點在y軸上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，則這樣的橢圓的個數(shù)為_【解析】當m1時，n2,3,4,5,6,7，共6個；當m2時，n3,4,5,6,7，共5個；當m3時，n4,5,6,7，共4個；當m4時，n5,6,7，共3個；當m5時，n6,7，共2個故共有6543220個滿足條件的橢圓【答案】20【跟蹤訓練1-3】如果一個三位正整數(shù)如

4、“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為_【解析】若a22，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個若a23，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有236(個)若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412(個)，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972(個)所以所有凸數(shù)有26122030425672240(個)【答案】240【名師指導】分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一

5、種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.題型2 分步乘法計數(shù)原理【例2-1】(1)已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的點，則P可表示坐標平面上第二象限的點的個數(shù)為()A6B12C24 D36(2)有6名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_種不同的報名方法(3)(2019鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)中國詩詞大會(第三季)亮點頗多，在“人生自有詩意”的主題下，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味若沁園春長沙、蜀道難

6、、敕勒歌、游子吟、關(guān)山月、清平樂六盤山排在后六場，且蜀道難排在游子吟的前面，沁園春長沙與清平樂六盤山不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有_種(用數(shù)字作答)【解析】(1)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a0，所以有2種方法由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是326.(2)每項限報一個，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有654120(種)(3)分兩步完成：蜀道難、敕勒歌、游子吟、關(guān)山月進行全排有Aeq oal(4,4)種，若蜀道難排在游子吟的前面，則有eq

7、f(1,2)Aeq oal(4,4)種；沁園春長沙與清平樂六盤山插入已經(jīng)排列好的四首詩詞形成的前4個空位(不含最后一個空位)中，插入法有Aeq oal(2,4)種由分步乘法計數(shù)原理，知滿足條件的排法有eq f(1,2)Aeq oal(4,4)Aeq oal(2,4)144(種)【答案】(1)A(2)120(3)144【跟蹤訓練2-1】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18C12 D9【解析】選B從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有63

8、18(條)，故選B.【跟蹤訓練2-2】如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點脫落，整個電路就會不通現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有_種【解析】因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26163種可能情況【答案】63【名師指導】利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事(2)分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨

9、立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成題型3 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3-1】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(用數(shù)字作答)【解析】當組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Ceq oal(3,5)Ceq oal(1,4)Aeq oal(4,4)960.當組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Aeq oal(4,5)120.故符合題意的四位數(shù)一共有9601201 080(個)【答案】1 080【例3-2】如圖，圖案共分9個區(qū)域，有6種不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂1種顏色的涂料，其中2

10、和9同色，3和6同色，4和7同色，5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法有()A360 種 B720 種C780 種 D840 種【解析】首先從6種不同顏色的涂料中選出4種分別涂2和9、3和6、4和7、5和8八塊，共有Aeq oal(4,6)種涂法，然后根據(jù)條件可知只需從余下的兩種不同顏色的涂料中選一種涂區(qū)域1即可，有2種涂法，所以滿足要求的涂法有2Aeq oal(4,6)720(種)選B.【答案】B【例3-3】(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A48

11、B18C24 D36(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A60 B48C36 D24【解析】(1)第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有21224(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個所以正方體中“正交線面對”共有241236(個)(2)長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6636，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6212，故符合條

12、件的“平行線面組”的個數(shù)是361248.【答案】(1)D(2)B【跟蹤訓練3-1】如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A24 B48C72 D96【解析】選C分兩種情況：A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有43224種涂法A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有432248種涂色故共有244872種涂色方法【跟蹤訓練3-2】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A144個 B120個C96個 D72個【解析】選B由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有243248個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有343272個偶數(shù)故符合條件的偶數(shù)共有4872120(個)【跟蹤訓練3-3】如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公