2021年上海市高三數(shù)學(xué)競賽試題

1、2018年上海市高三數(shù)學(xué)競賽試題2018年上海市高三數(shù)學(xué)競賽試題【說明】解答本試卷不得使用計(jì)算器-填空題TOC o 1-5 h zI+集合t(巧y)丨*#wloo,且心yeZ的元我個(gè)數(shù)J&設(shè)函數(shù)只小是RtR的函數(shù)滿足對一切工巨&都有/(幻+#(2t)21/M的解析式=_*22已知橢圓4=l(a60)TFaa為橢圓的右議點(diǎn)川B為過中心O的弦，則A目F面積的最大值為A誥僅kJ丄_L丄丄丄戎果rj127JIT13T15T-的非空于集為你4，仏記集合人中的所有元素的積為已(單元數(shù)集的兀素積是這個(gè)元素本身),i=lf2,，岀，則+Pi十Pz=5,已知一個(gè)等腰三角形的底邊獲為矢則它的一條底角的角平分線長的

2、取值范圍是&設(shè)實(shí)數(shù)J隊(duì)滿足/+X+J二1,/?nc=0.求證：I4UBUC1J-(lAI+i/?I+ICl)；舉例說明(】)中的等號可能成立這里示有限集合X的元素個(gè)數(shù)-求不定方程x+y+2+;=25的滿足兀2jots=計(jì)伍，且0401與O役外切（=1,2,，2017）,則a=_二、解元9.已知三個(gè)有限集合A,B,C滿足AQ一、填空題1.317丄7，1;X-11,X=1ba/2-I)27965(2,32.T(I*42./(%)=3.4.5.6.7.二、解答題9.解：(1)由容斥原理及Anbnc=0,得IMUBUCI=141+131+1Cl-I4QBI-IBQCI-TOC o 1-5 h zICA

3、Al.因?yàn)?力a)qqC)=4nnc=0,以及力nz?C4,ancca,所以lAOBI+IAnCIIAI,同理可得IAaBl+1BQClWl31,IBGCl+1CQAlWlCl,由、可得lAnBi+ixnci+iBnci組數(shù)與不定方程x+y+z+w=25的滿足xy的正整數(shù)解組數(shù)一樣多所以，滿足題意的正整數(shù)解的組數(shù)為型嚴(yán)=946.11.解：令九二a+6+c+d,則a2+b2+c2+d2+ab+acad+be+bd+cd+a+b+c+d=(a+6+c+d)2+(a+1)2+(6+1)2+(c+I)2+(d+l)2-2M*(a+6+c+*(a+1)+(6+1)+(c+1)+(d+l)?-2=*/+*

4、(%+4)*-2y(l41+1Bl+1Cl),于是,由、可得I力UBUCIM*(l41+IBl+1Cl)(2)等號成立的條件是、中的等號同時(shí)成立例如：4=|1,2(,B=|2,3|,C=|3,1|.10.解：不定方程x+y-z+w=25的正整數(shù)解的組數(shù)為C：=2024.不定方程x+y+z+w=25的滿足x=y的正整數(shù)解的組數(shù)就是2%+z+m;=25的正整數(shù)解的組數(shù).對于不定方程2x+z+w=25,因?yàn)閦+wM2,所以1當(dāng)=i(lWiWll)時(shí),z+w=25-2i的正整數(shù)解的組數(shù)為24-2i,故加+z+仞二25的正整數(shù)解的組數(shù)為IlIIX(24-2i)=11x24-20=132.若(,%,zo,

5、w0)是不定方程x+y+z+紉二25的滿足久vy的正整數(shù)解，則(,兀0，Zo，w0)是不定方程+y+z+W=25的滿足兀y的正整數(shù)解，反之亦然.故不定方程x+y+z+w=25的滿足工的正整數(shù)解的以下尋求毗、力與如、Jui的關(guān)系.為直觀起見，將對人，耳，G,$所染的顏色分別寫在矩陣(；中a,b,c,d的位置上.(1)對于使為X型的任意一種7；的染法，由對稱性,不妨設(shè)S*上的染色為?).若將S紐中的B如染為y色，則仏|、C如不能染a.y色，故只能染色，進(jìn)而6“不能染0、y色，于是得到S“的一種X型染色(a地，若將S綽中的久染為0色，于是得到S“的一種X型染色(a當(dāng)a=6=c=rf=-當(dāng)a=6=c=

6、rf=-時(shí)，等號成立.12.解：對=1,2,，設(shè)4百-k,約，B“k),Cg-k),Dk,-fc),并記S/t=Bk,Ck,Dk|,Tk=|OUSUs2UUS*,特別地，有7；=T.在對T按要求染色的前提下，考慮：的4個(gè)點(diǎn)中所含的顏色數(shù)加*.若=3,則稱S*是“X型”的，此時(shí)正方形AkBkCkDk有一組相對頂點(diǎn)異色，另一組相對頂點(diǎn)染有剩下的那種顏色;若叫=2,則稱S&是“丫型”的，此時(shí)正方形BkCkDk的每對相對頂點(diǎn)同色;顯然不可能為.設(shè)人的染色方式數(shù)為4,其中使S&是X型、Y型的染色方式數(shù)分別為心、以，這樣有由于對片染色時(shí),。、4,的顏色有3x2=6種選擇，以下&、0只能染剩下的那種顏色，進(jìn)

7、而G只能染與州一樣的顏色,這表明Xi=0,/I=6.r；其余情況下只有一種丫型染色ay(:；)這表明，力對如、畑的貢獻(xiàn)分別為仙、3力綜合(1)、(2)得,勺+|=4xk+4yk,小=2比+3yv由、知，衍=24,y2=18,從而tj=心+/i=6,l2=x2+y2=42.又由得，h.i=+力+1=6色+7力=7“-叫=7耳-4如(M2).y型染色y3;具余情況下*均只能染a色，此時(shí)得的兩種龍型染色利兩種F型染色這表明，叭對孤卄、人氣的貢獻(xiàn)分別為4忑、(2)對于使菽為卩型的任意一種耳的染法，由對稱性*不妨設(shè)上的染色為在對比+i的染色屮，若垓+“】中存在了色，則血“、G“必為停色,從而得到兩種X型類似地，若九心C如中存在y