人教版B版高中數(shù)學(xué)選修3-1(B版)新奇的非歐幾何世界課件

1、新奇的非歐幾何世界新奇的非歐幾何世界知識(shí)梳理Non-Euclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。非歐幾何知識(shí)梳理Non-Euclidean geometry 非歐幾知識(shí)梳理自從歐幾里得提出第五公設(shè)（同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交以來(lái)），一些數(shù)學(xué)家在思考第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能

2、依靠前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。 羅巴切夫斯基幾何得來(lái)的背景 知識(shí)梳理自從歐幾里得提出第五公設(shè)（同一平面內(nèi)一條直線和另外兩知識(shí)梳理到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，應(yīng)用反證法，得出了兩個(gè)重要的結(jié)論：羅巴切夫斯基幾何的背景知識(shí)梳理到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在知識(shí)梳理第一，第五公設(shè)不能被證明。 第二，在新的公理體系中展開(kāi)的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無(wú)矛盾的新的定理，并形成了新的理論 。即羅氏定理，這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。 知識(shí)梳理第一，第五公設(shè)不能被證

3、明。 知識(shí)梳理羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來(lái)代替，其他公理基本相同。羅巴切夫斯基定理知識(shí)梳理羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)和歐幾里得幾何不同的地方僅知識(shí)梳理因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。知識(shí)梳理因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如知識(shí)梳理羅巴切夫斯基定理歐式幾何： 1、同一直線的垂線和斜線相交。 2、垂直于同一直線的兩條直線互相平行。 3、

4、存在相似的多邊形。 4、過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。 知識(shí)梳理羅巴切夫斯基定理歐式幾何： 知識(shí)梳理羅氏幾何： 1、同一直線的垂線和斜線不一定相交。 2、垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。 3、不存在相似的多邊形。 4、過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。 知識(shí)梳理羅氏幾何： 知識(shí)梳理最先認(rèn)識(shí)到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐式幾何一樣正確的新幾何學(xué)的是高斯。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開(kāi)發(fā)表自己的研究成果，只是在書(shū)信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。非歐

5、幾何的誕生知識(shí)梳理最先認(rèn)識(shí)到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空C.F. Gauss是 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。他有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，并被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一 。高斯的生平人物簡(jiǎn)介C.F. Gauss是 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、高斯從小表現(xiàn)出了很高的數(shù)學(xué)天賦，據(jù)載他9歲時(shí)，用很短的時(shí)間計(jì)算出了小學(xué)老師布置的任務(wù)：對(duì)自然數(shù)從1到100的求和。但是據(jù)更為精細(xì)的數(shù)學(xué)史書(shū)記載，高斯所解的并不止1加到100那么簡(jiǎn)單，而是81297+81495+.+100899（公差198，項(xiàng)數(shù)100）的一個(gè)等差數(shù)列。 人物簡(jiǎn)介高斯從小表現(xiàn)出了很高的數(shù)學(xué)天賦，據(jù)載他9歲時(shí)

6、，用很短的時(shí)間計(jì)在他19歲時(shí)，第一個(gè)成功地用尺規(guī)（沒(méi)有刻度）構(gòu)造出了規(guī)則的17角形。24歲時(shí)之花了幾個(gè)星期，用他的最小二乘法得到了谷神星的橢圓軌道，計(jì)算出了谷神星的運(yùn)行軌跡。從此高斯名揚(yáng)天下。人物簡(jiǎn)介在他19歲時(shí)，第一個(gè)成功地用尺規(guī)（沒(méi)有刻度）構(gòu)造出了規(guī)則的1晚年的高斯，幾乎每天到哥延根大學(xué)守舊派成立的文學(xué)會(huì)(高斯是會(huì)員)附屬的閱覽室尋覓各種數(shù)據(jù)。如果某個(gè)學(xué)生正在看的報(bào)是他所尋找的，高斯會(huì)一直瞪著他直到對(duì)方遞過(guò)來(lái)這份報(bào)紙。他因而被學(xué)生戲稱為“閱覽室之霸”。人物簡(jiǎn)介晚年的高斯，幾乎每天到哥延根大學(xué)守舊派成立的文學(xué)會(huì)(高斯是會(huì)據(jù)說(shuō)這一習(xí)慣對(duì)他從事投資活動(dòng)(主要是買(mǎi)債券，包括德國(guó)以外發(fā)行的債券)大有

7、裨益，他身后留下的財(cái)產(chǎn)幾乎等于其年薪的200倍，說(shuō)明他是個(gè)理財(cái)?shù)暮檬帧?人物簡(jiǎn)介據(jù)說(shuō)這一習(xí)慣對(duì)他從事投資活動(dòng)(主要是買(mǎi)債券，包括德國(guó)以外發(fā)行人物簡(jiǎn)介1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上，宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文：幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要。羅巴切夫斯基人物簡(jiǎn)介1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)這篇首創(chuàng)性論文的問(wèn)世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學(xué)家的冷漠和反對(duì)。在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒(méi)能遇到他的公開(kāi)支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國(guó)的高斯也不肯公開(kāi)支持他的工作。

8、 人物簡(jiǎn)介這篇首創(chuàng)性論文的問(wèn)世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制。家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結(jié)核醫(yī)治無(wú)效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來(lái)越多病，眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見(jiàn)了。人物簡(jiǎn)介晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒(méi)停止對(duì)非歐幾何的研究。他的最后一部巨著論幾何學(xué)，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學(xué)生完成的。 人物簡(jiǎn)介在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒(méi)停止對(duì)非歐幾何的研究。他幾乎在羅巴切

9、夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待。鮑耶雅諾什非歐定理人物簡(jiǎn)介幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶雅他的父親數(shù)學(xué)家鮑耶法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。 人物簡(jiǎn)介他的父親數(shù)學(xué)家鮑耶法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞黎曼，德國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家 。黎曼可以說(shuō)是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對(duì)

10、已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。黎曼人物簡(jiǎn)介黎曼，德國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家 。黎曼可以說(shuō)是最先理解非歐幾何全但他的理論仍難被同時(shí)代人理解。據(jù)說(shuō)他在哥延根大學(xué)的演講只有年邁的高斯聽(tīng)得懂。1846年，按照父親的意愿，黎曼進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)。在此期間他去聽(tīng)了一些數(shù)學(xué)講座，包括高斯關(guān)于最小二乘法的講座。在得到父親的允許后，他改學(xué)數(shù)學(xué)。1847年春，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門(mén)下。兩年后他回到哥廷根。后開(kāi)創(chuàng)了黎曼積分。人物簡(jiǎn)介但他的理論仍難被同時(shí)代人理解。據(jù)說(shuō)他在哥延根大學(xué)的演講只有年黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇

11、論文論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。知識(shí)梳理黎曼幾何 黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。知識(shí)梳理黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛(ài)因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。 知識(shí)梳理近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。 知識(shí)梳理此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米、德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因和法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊等人先后在歐幾里得空間中