天津市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE PAGE 18天津市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題(每題4分，共32分).1復(fù)數(shù)z滿足，則|z|（）ABCD2已知向量（1，m），（3，2），且（+），則m（）A8B6C6D83“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間0，10內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高現(xiàn)隨機抽取10位嘉祥縣居民，他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是（）A7.5B8C8.5D94在普通高中新課程改革中，某地實施“3+1+2”選課方案該方案中“2”指的是從政治、地理、化

2、學(xué)、生物4門中任選2門作為選考科目，假設(shè)每門科目被選中的可能性相等，那么化學(xué)和生物至多有一門被選中的概率是（）ABCD5為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為：8，則正六棱錐與正六棱柱的高的比值為（）ABCD62021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學(xué)生的審美水平和人文素養(yǎng)，促進學(xué)生全面發(fā)展某學(xué)校高一年級舉辦了班級合唱活動現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，并邀請他們?yōu)榇舜位顒釉u分（單位：分，滿分100分），

3、對評分進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（）Aa0.028B若該學(xué)校有3000名學(xué)生參與了評分，則估計評分超過90分的學(xué)生人數(shù)為600C學(xué)生評分的眾數(shù)的估計值為85D學(xué)生評分的中位數(shù)的估計值為837ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的個數(shù)是（）若AB，則sinAsinB；若A30，b4，a3，則ABC有兩解；若ABC為鈍角三角形，則a2+b2c2；若A60，a2，則ABC面積的最大值為A1個B2個C3個D4個8在ABC中，E為AC上一點，P為BE上任一點，若，則的最小值是（）A9B10C11D12二、填空題：(每小題4分，共24分)9某高校甲

4、、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學(xué)生進行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為 10某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別，p，該同學(xué)站在這三個不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為，則p的值為 11已知某6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為8，現(xiàn)加入2和6兩個新數(shù)據(jù)，此時8個數(shù)據(jù)的方差為 12已知邊長為4的正方形ABCD中，AC與BD交于點E，且F、G分別是線段EC和線段EB的中點，則（+） 13如圖，三棱錐ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點M，N分別是AD，BC的中點，

5、則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是 14如圖三棱錐PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若ABBC2，PBPC，球O是三棱錐PABC的外接球，則球O的表面積是 三.解答題：(本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)15在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知（1）求角C的值；（2）若，b2a，求ABC的面積S16如圖，在四棱錐PABCD中，底面四邊形ABCD滿足ABAD，BCAD，AD2BC，且M為PA的中點（1）求證：BM平面PCD；（2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求證：平面BDM平面PAB17天

6、津市某中學(xué)高三年級有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測試，用簡單隨機抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求第四個小矩形的高，并估計本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)和這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分（2）已知樣本中成績在140，150內(nèi)的學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從成績在這個分數(shù)段的學(xué)生中隨機抽取2人做學(xué)習(xí)交流，寫出這個試驗的樣本空間；（用恰當(dāng)?shù)姆柋磉_）設(shè)事件A：“選取的兩人中至少有一名女生”，寫出事件A的樣本點，并求事件A發(fā)生的概率18如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1ACBC2，ACB90，D，E分別是A1B1，CC1的中

7、點（）求證：C1D平面A1BE；（）求直線AB與平面A1BE所成角的正弦值；（）在棱CC1上是否存在一點P，使得平面PAB與平面A1BE所成二面角為60？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由參考答案一、選擇題(每題4分，共32分).1復(fù)數(shù)z滿足，則|z|（）ABCD【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運算求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)模長公式求解解：，復(fù)數(shù)，故選：B2已知向量（1，m），（3，2），且（+），則m（）A8B6C6D8【分析】求出向量+的坐標，根據(jù)向量垂直的充要條件，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解得答案解：向量（1，m），（3，2），+（4，m2），又（+），122（m2）0，解得：m8，故選：D3“

8、幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間0，10內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高現(xiàn)隨機抽取10位嘉祥縣居民，他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是（）A7.5B8C8.5D9【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，即可求出該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)解：因為1080%8，所以數(shù)據(jù)3，4，5，5，6，7，7，8，9，10的80%分位數(shù)是（8+9）8.5故選：C4在普通高中新課程改革中，某地實施“3+1+2”選課方案該方案中“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門中任選2門作為選考科目，假設(shè)每門科目被選中的可能性相等，

9、那么化學(xué)和生物至多有一門被選中的概率是（）ABCD【分析】采用列舉法將從4門學(xué)科中任選2門得到所有可能的情況列舉出來，再確定其中滿足化學(xué)和生物至少有一門被選中的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式即可得到結(jié)果解：從4門學(xué)科中任選2門共有：政治+地理、政治+化學(xué)、政治+生物、地理+化學(xué)、地理+生物、化學(xué)+生物，共6種情況，其中滿足化學(xué)和生物至少有一門被選中的有5種情況，所以其概率為故選：D5為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為：

10、8，則正六棱錐與正六棱柱的高的比值為（）ABCD【分析】設(shè)出棱柱的底面邊長，可得棱柱的高，再設(shè)出棱錐的斜高，由已知側(cè)面積的比值求得棱錐斜高與棱柱底面邊長的關(guān)系，再由勾股定理得到棱錐的高與棱柱高的關(guān)系，則答案可求解：設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，正六棱柱的高為2a，再設(shè)正六棱錐的高為H，斜高為h，則正六棱錐的側(cè)面積為，正六棱柱的側(cè)面積為，由已知可得：，得h，又，得Ha，正六棱錐與正六棱柱的高的比值為故選：D62021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學(xué)生的審美水平和人文素養(yǎng)，促進學(xué)生全面發(fā)展某學(xué)校高一年級舉辦了班級合唱活動現(xiàn)從全校學(xué)生

11、中隨機抽取部分學(xué)生，并邀請他們?yōu)榇舜位顒釉u分（單位：分，滿分100分），對評分進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（）Aa0.028B若該學(xué)校有3000名學(xué)生參與了評分，則估計評分超過90分的學(xué)生人數(shù)為600C學(xué)生評分的眾數(shù)的估計值為85D學(xué)生評分的中位數(shù)的估計值為83【分析】對A，由頻率之和為1可得；對B，根據(jù)頻率分布直方圖直接計算；對C，由最高長方形底邊中點對應(yīng)的橫坐標是樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)可得；對D，先判斷出中位數(shù)在80，90）內(nèi)，列出式子可求解：對于A，由頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1，知0.06+0.06+10a+0.4+0.21，解得a0.028，A正確

12、；對于B，由頻率分布直方圖易知，估計參與評分的3000名學(xué)生中，評分超過9（0分）的人數(shù)為3000（0.0210）600，B正確；對于C，由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)的估計值為85，C正確；對于D，前三組頻率之和為（0.006+0.006+0.028）100.4，前四組頻率之和為0.4+0.04100.8，則中位數(shù)在80，90）內(nèi)，設(shè)學(xué)生評分的中位數(shù)的估計值為x，則0.4+（x80）0.040.5，解得x82.5，D錯誤故選：D7ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的個數(shù)是（）若AB，則sinAsinB；若A30，b4，a3，則ABC有兩解；若ABC為鈍角三角形，則a2+

13、b2c2；若A60，a2，則ABC面積的最大值為A1個B2個C3個D4個【分析】利用正弦定理結(jié)合大邊對大角定理可判斷A選項的正誤；利用正弦定理可判斷B選項的正誤；利用余弦定理可判斷C選項的正誤；利用基本不等式、余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可判斷D選項的正誤解：對于A選項，若AB，則ab，由正弦定理可得，所以，sinAsinB，A選項正確；對于B選項，bsinA4sin302，則bsinAab，所以，ABC有兩解，B選項正確；對于C選項，若ABC為鈍角三角形且C為鈍角，則，可得a2+b2c2，C選項錯誤；對于D選項，由余弦定理與基本不等式可得4a2b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbc

14、bc，即bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時，等號成立，所以，D選項正確故選：C8在ABC中，E為AC上一點，P為BE上任一點，若，則的最小值是（）A9B10C11D12【分析】利用向量共線定理可得：m+3n1再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出解：，+，P為BE上任一點，m+3n1（m+3n）3+3+12，當(dāng)且僅當(dāng)m3n時取等號故選：D二、填空題：(每小題4分，共24分)9某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學(xué)生進行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為16【分析】根據(jù)四個專業(yè)各有的人數(shù)，得到本校的總?cè)?/p>

15、數(shù)，根據(jù)要抽取的人數(shù)，得到每個個體被抽到的概率，利用丙專業(yè)的人數(shù)乘以每個個體被抽到的概率，得到丙專業(yè)要抽取的人數(shù)解：高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生本校共有學(xué)生150+150+400+3001000，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學(xué)生進行調(diào)查每個個體被抽到的概率是，丙專業(yè)有400人，要抽取40016故答案為：1610某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別，p，該同學(xué)站在這三個不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為，則p的值為【分析】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A，B，C，恰好投中兩次為事件，發(fā)生，由此利用相互獨立事件

16、概率乘法公式能求出結(jié)果解：在甲、乙、丙處投中分別記為事件A，B，C，恰好投中兩次為事件，發(fā)生，故恰好投中兩次的概率：P+（1），解得p故答案為：11已知某6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為8，現(xiàn)加入2和6兩個新數(shù)據(jù)，此時8個數(shù)據(jù)的方差為 7【分析】根據(jù)題意，設(shè)原數(shù)據(jù)為a1，a2，a3，a4，a5，a6，則有，由平均數(shù)、方差的計算公式計算可得答案解：根據(jù)題意，設(shè)原數(shù)據(jù)為a1，a2，a3，a4，a5，a6，則加入2和6兩個新數(shù)據(jù)后，所得8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所得8個數(shù)據(jù)的方差為故選：712已知邊長為4的正方形ABCD中，AC與BD交于點E，且F、G分別是線段EC和線段EB的中點，則（+）16【分析】以AB

17、為所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，根據(jù)向量的坐標運算和向量的數(shù)量積計算即可解：以AB為所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，則A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），E（2，2）F（3，3），G（3，1）（3，1），（2，2），（3，1），+（3，1）+（2，2）（5，1），（+）（5，1）（3，1）16故答案為：1613如圖，三棱錐ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是【分析】連結(jié)ND，取ND 的中點為：E，連結(jié)ME說明異面直線AN，CM所成的角就是EMC通過解三角形，求解即可解：連結(jié)N

18、D，取ND 的中點為：E，連結(jié)ME，則MEAN，異面直線AN，CM所成的角就是EMC，AN2，MEEN，MC2，又ENNC，EC，cosEMC故答案為：14如圖三棱錐PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若ABBC2，PBPC，球O是三棱錐PABC的外接球，則球O的表面積是 【分析】直接利用三棱錐體和球體的關(guān)系，三角形的中心的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用和球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果解：設(shè)該幾何體的外接球的半徑為R，如圖所示：設(shè)點E為PBC的中心，所以PEECEB，利用CE212+（2PE）2，由于PECE，所以PE，故OD，在ABC中，利用勾股定理：，所以B

19、D，所以，故故答案為：三.解答題：(本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)15在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知（1）求角C的值；（2）若，b2a，求ABC的面積S【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，結(jié)合范圍，可求C的值（2）由已知利用余弦定理可得a、b的值，進而利用三角形的面積公式即可求解解：（1）由正弦定理可得：sinA+sinBsinCcosAsinAsinC0，整理得，即，又因為A（0，），則sinA0，所以，即，又因為，所以，解得，（2）由余弦定理可得：c2a2+b22abcosCa2+b2ab，因為c2，b

20、2a，解得a2，所以b4，則三角形ABC的面積16如圖，在四棱錐PABCD中，底面四邊形ABCD滿足ABAD，BCAD，AD2BC，且M為PA的中點（1）求證：BM平面PCD；（2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求證：平面BDM平面PAB【分析】（1）取PD的中點N，連結(jié)MN，CN，推導(dǎo)出四邊形BMNC是平行四邊形，得到BMCN，由此能證明BM平面PCD（2）推導(dǎo)出AB平面PAD，ABDM，DMPA，得到DM平面PAB，由此能證明平面BDM平面PAB【解答】證明：（1）取PD的中點N，連結(jié)MN，CN，M是PA的中點，MN是PAD的中位線，MNAD，MN，BCAD，BCAD，MNBC，四

21、邊形BMNC是平行四邊形，BMCN，BM平面PCD，CN平面PCD，BM平面PCD（2）平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，DM平面PAD，ABDM，DPDA，M為PA的中點，DMPA，PA平面PAB，AB平面PAB，且PAABA，DM平面PAB，DM平面BDM，平面BDM平面PAB17天津市某中學(xué)高三年級有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測試，用簡單隨機抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求第四個小矩形的高，并估計本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)和這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分（2

22、）已知樣本中成績在140，150內(nèi)的學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從成績在這個分數(shù)段的學(xué)生中隨機抽取2人做學(xué)習(xí)交流，寫出這個試驗的樣本空間；（用恰當(dāng)?shù)姆柋磉_）設(shè)事件A：“選取的兩人中至少有一名女生”，寫出事件A的樣本點，并求事件A發(fā)生的概率【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中求頻數(shù)與平均數(shù)的算法計算即可解決此問題；（2）根據(jù)題意可算出成績在140，150的人數(shù)是6，其中2名女生和4名男士，進行編號羅列樣本點進行計算即可解決此問題解：（1）由頻率分布直方圖可知，第四個矩形的高為：0.1（0.010+0.020+0.030+0.012）0.028，成績不低于1（20分）的頻率為：（0.030+0.028+0.012）100.7，所以高三年級不低于1（20分）的人數(shù)為：0.71000700人平均分126.2；（2）由頻率分布直方圖知，成績在140，150的人數(shù)是6，記女生為A，B，男生為c，d，e，f，從這6人中抽取2人的情況有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種其中至少有一名女生的情況有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9種，故至少有一名女生的概率18如圖，在三棱柱ABCA1B1