第16講 四邊形綜合問題-2022中考數(shù)學(xué)巔峰沖刺（解析版）

1、PAGE212022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺專題16四邊形綜合問題【難點突破】著眼思路，方法點撥,疑難突破；解題要領(lǐng)：利用平行四邊形的性質(zhì)求角度時，常常運用平行線的性質(zhì)和平行四邊形對角相等進行等角的轉(zhuǎn)化；利用平行四邊形的性質(zhì)求線段的長度或圖形面積時，一是運用平行四邊形對邊相等，對角線互相平分進行等線段轉(zhuǎn)化，二是運用勾股定理或相似三角形或三角函數(shù)求解解題要領(lǐng)：初步判斷已知或可直接獲得判定平行四邊形的邊或角的相等，再分析出需要的另外條件；防止陷阱：“一組對邊平行，而另一組對邊相等”不是正確的判定方法解題要領(lǐng)：判定四邊形是矩形，一般先判定是平行四邊形，然后再判定是矩形；矩形的內(nèi)角是直角和對角線相等，

2、相對于平行四邊形來說是矩形特殊的性質(zhì)；利用矩形的性質(zhì)計算或證明時，常常運用勾股定理，銳角三角函數(shù)或相似三角形求解解題要領(lǐng)：判定四邊形是菱形，一般先判定是平行四邊形，然后再判定是菱形；菱形的鄰邊相等和對角線垂直，相對于平行四邊形來說是菱形特殊的性質(zhì)；利用菱形的性質(zhì)計算或證明時，常常運用勾股定理，銳角三角函數(shù)或相似三角形求解；求線段和的最小值時，往往運用菱形的軸對稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求線段的長度解題要領(lǐng)：判定四邊形是正方形，一般先判定是平行四邊形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定這個四邊形是正方形；正方形是最特殊的四邊形，在正方形的計算或證明時，要特別注意線段或角的等量轉(zhuǎn)化【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測，關(guān)注素養(yǎng)

3、，提煉主題；【原創(chuàng)1】如圖所示，在菱形ABCD中，BAD=120，AB=3，M,N分別從B,C兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點C，D移動，連接MN在移動的過程中，MN的最小值為（）ABCD【解析】連接AM,AC,AN,ABCD,BAD=120B=60又四邊形ABCD是菱形，AB=BC,ABC為正三角形，故AB=AC在ABM和ACN中，=60ABMACNBAM=CAN,AM=ANMAN=MACCAN=MACBAM=60故AMN為正三角形AM=MN當(dāng)AM最短時，即AMBC時，在RtAMB中，B=60，AM=，故MN的最小值為，故選D?！驹瓌?chuàng)2】如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，E是BC邊的

4、中點，點，如圖，作ME，由是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DEAM于點E，BFAM于點F，連接BE（1）求證：AE=BF；（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求EBF的正弦值【分析】（1）通過證明ABFDEA得到BF=AE；（2）設(shè)AE=，則BF=，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于ABE的面積與ADE的面積之和得到2=24，解方程求出得到AE=BF=6，則EF=2=4，然后利用勾股定理計算出BE，最后利用正弦的定義求解【解答】（1）證明：四邊形ABCD為正方形，BA=AD，BAD=90，DEAM于點E，BFAM于點F，AFB=90，DEA=90，ABFBAF=

5、90，EADBAF=90，ABF=EAD，在ABF和DEA中，ABFDEA（AAS），BF=AE；（2）解：設(shè)AE=，則BF=，DE=AF=2，四邊形ABED的面積為24，2=24，解得1=6，2=8（舍去），EF=2=4，在RtBEF中，BE=2，sinEBF=【例題3】（2022泰安）如圖，ABC中，D是AB上一點，DEAC于點E，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)GBC于點G，與DE交于點H，若FG=AF，AG平分CAB，連接GE，CD（1）求證：ECGGHD；（2）小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=ACEC請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論（3）若B=30，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由【分析】（1）依

6、據(jù)條件得出C=DHG=90，CGE=GED，依據(jù)F是AD的中點，F(xiàn)GAE，即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進而得到GE=GD，CGE=GDE，利用AAS即可判定ECGGHD；（2）過點G作G2AC2AC12AD于M，交BC于N則有四邊形AE，四邊形CF，S1M，由題意可得：C1NO=A1MO=90，1=2=3，則A1OMOC1N，OA=5，OC=3，OA1=5，A1M=3OM=4，設(shè)NO=3，則NC1=4，OC1=3，則（3）2（4）2=9，解得：=（負(fù)數(shù)舍去），則NO=，NC1=，故點C的對應(yīng)點C1的坐標(biāo)為：（，）故選：A，如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的

7、中點H，連接GH若BC=EF=2，CD=CE=1，則GH=（）A1BCD【分析】延長GH交AD于點、N，ND軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項中的結(jié)論錯誤的是（）AONCOAMB四邊形DAMN與OMN面積相等CON=MND若MON=45，MN=2，則點C的坐標(biāo)為（0，1）【解答】解：點M、N都在y=的圖象上，SONC=SOAM=，即OCNC=OAAM四邊形ABCO為正方形，OC=OA，OCN=OAM=90，NC=AM，OCNOAM，A正確；SOND=SOAM=，而SONDS四邊形DAMN=SOAMSOMN，四邊形DAMN與MON面積相等，B正確；OCNOAM，ON=OM的值不能確定

8、，MON的值不能確定，ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，ONMN，C錯誤；作NEOM于E點，如圖所示：MON=45，ONE為等腰直角三角形，NE=OE，設(shè)NE=，則ON=，OM=，EM=（1）在RtNEM中，MN=2MN2=NE2EM2，即22=2（1）2，2=2，ON2=（）2=42vCN=AM，CB=AB，BN=BM，BMN為等腰直角三角形，BN=MN=，設(shè)正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a在RtOCN中，OC2CN2=ON2，a2（a）2=42，解得a1=1，a2=1（舍去），OC=1，C點坐標(biāo)為（0，1），D正確故選C二、填空題：6如圖所示，在正方形ABCD中，

9、以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，連接CE、BD交于點G，連接AG，那么AGD的底數(shù)是度【分析】根據(jù)已知可求得BEC的度數(shù)，根據(jù)三角形外角定理可求得AGD的度數(shù)【解答】解：四邊形ABCD是正方形，ABBCADCD，ABC90，ADGCDG，ABD45，GDGD，ADGCDG，AGDCGD，CGDEGB，AGDEGB，ABE是等邊三角形，ABBE，ABE60，BEBC，EBC150，BECECB15，BGE180BECEBAGD60故答案為607如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，ADC=120，點E、F同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（

10、到點B為止），點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒DEF為等邊三角形，則t的值為【解析】延長AB至M，使BM=AE，連接FM，證出DAE和EMF，得到BMF是等邊三角形，再利用菱形的邊長為4求出時間t的值【解答】解：延長AB至M，使BM=AE，連接FM，四邊形ABCD是菱形，ADC=120AB=AD，A=60，BM=AE，AD=ME，DEF為等邊三角形，DEA=DFE=60，DE=EF=FD，MEFDEA120，ADEDEA=180A=120，MEF=ADE，在DAE和EMF中，DAE和EMF（SAS），AE=MF，M=A=60，又BM=AE，BMF是等邊三角形，BF=AE

11、，AE=t，CF=2t，BF=CFBF=2tt=3t，BF=4，3t=4，t=故答案為：8如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A的位置，若OB，tanBOC，則點A的坐標(biāo)為【分析】如圖，作輔助線；根據(jù)題意首先求出AB、BC的長度；借助面積公式求出AD、OD的長度，即可解決問題【解答】解：如圖，過點A作AD軸與點D；設(shè)AD，OD；四邊形ABCO為矩形，OABOCB90；四邊形ABAD為梯形；設(shè)ABOC，BCAO；OB，tanBOC，解得：2，1；由題意得：AOAO1；ABOABO；由勾股定理得：221，由面

12、積公式得：；聯(lián)立并解得：，故答案為（，）9如圖，矩形ABCD中，AB4，AD6，點E為AD中點，點和N，連接MN（1）求證：ABMNDA；（2）連接BD，當(dāng)BAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明【分析】（1）由正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，可證得ABMADN135，又由MAN45，可證得BAMAND45DAN，即可證得ABMNDA；（2）證出四邊形BMND是平行四邊形，再證出BDN90，繼而求得答案【解答】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABCADCBAD90，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，ABMADN135，MAN45，BAMAND45

13、DAN，ABMNDA；（2）解：當(dāng)BAM時，四邊形BMND為矩形；理由如下：BAM，EBM45，AMB，BAMAMB，ABBM，同理ADDN，ABAD，BMDN，四邊形ABCD是正方形ABDADB45，BDNDBM90BDNDBM180，BMDN四邊形BMND為平行四邊形，BDN90，四邊形BMND為矩形13問題情境在四邊形ABCD中，BABC，DCAC，過點D作DEAB交BC的延長線于點E，M是邊AD的中點，連接MB，ME特例探究1如圖1，當(dāng)ABC90時，線段MB與ME的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；2如圖2，當(dāng)ABC120時，試探究線段MB與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展延伸3如圖3，當(dāng)A

14、BC時，請直接用含的式子表示線段MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系解：1MBME，MBME2MEeqr3MB證明如下：連接CM，如解圖所示DCAC，M是邊AD的中點，MCMAMDBABC，BM垂直平分ACABC120，BABC，MBEeqf1,2ABC60，BACBCA30，DCE60ABDE，ABEDEC180，DEC60，DCEDEC60，CDE是等邊三角形，ECEDMCMD，EM垂直平分CD，EM平分DEC，MECeqf1,2DEC30，MBEMEB90，即BME90在RtBME中，MEB30，MEeqr3MB3MEMBtaneqf,214如圖1，在矩形ABCD中，過點B作BNMBN的形狀，并說明

15、理由；（3）如圖2，連接AC，分別交，由題意可知：D，=A=A，即AB=MB，B，又易證四邊形BN是菱形；（3）由于=，可設(shè)DAE，AM=AB=，EF=AFAE=AC=AC，=15如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF，點M是線段BF中點，射線EM與BC交于點H，連接CM（1）請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45，此時點F恰好落在線段CD上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；（3）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90，此時點E、G恰好分別落在線段AD、CD上，如圖3，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由【解答】解：（1）如圖1，結(jié)論：CM=EM，CMEM理由：ADEF，ADBC，BCEF，EFM=HBM在FME和BMH中，F(xiàn)MEBMH，HM=EM，EF=BHCD=BC，CE=CH1HCE=90，HM=EM，CM=ME，CMEM（2如圖2，連接AE，四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，F(xiàn)DE=45，CBD=45，點B、E、D在同一條直線上BCF=90，BEF=90，M為