(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第35講《等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》達(dá)標(biāo)檢測(cè)(解析版)

1、第35講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）A組應(yīng)知應(yīng)會(huì)1（春宣城期末）已知三個(gè)數(shù)4，x，16成等比數(shù)列，則x（）A8B8C4D4【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)直接求解【解答】解：三個(gè)數(shù)4，x，16成等比數(shù)列，x241664，解得x8故選：A2（春梅州期末）已知等比數(shù)列an，a10，a30是方程x210 x+160的兩實(shí)根，則a20等于（）A4B4C8D8【分析】根據(jù)題意，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a10a30（a10）216，a10+a30100，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析a200，據(jù)此分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，an為等比數(shù)列，若a10，a30是方程x210 x+160的兩實(shí)根，則有a10

2、a30（a20）216，a10+a30100，則a10，a30都為正數(shù)，必有a200則a204；故選：A3（春內(nèi)江期末）已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n3，若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m（）A9B12C15D18【分析】由題意可得a6【解答】解：由an2n3，若a3，a6，am成等比數(shù)列，則a62=解可得，m15，故選：C4（春廈門(mén)期末）在等比數(shù)列an中，a22，a3a564則a5A4B8C16D64【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，由此能求出結(jié)果【解答】解：在等比數(shù)列an中，a22，a3a564a1q=2a1qa5+a故選：C5（春河南期末）已知等比數(shù)列an滿足a1a6a3，且a4

3、+a5=32，則aA18B14C4【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1a6a3，且a4+a5=32，可得：a12q5a1q2，a1q3（1+【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1a6a3，且a4+a5=3a12q5a1q2，a1q3（1+q）解得a18，q=1故選：D6（春五華區(qū)校級(jí)期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a3=a4a2，若a1+a2+a3A32B48C64D128【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程求出a11，q2，由此能求出a8【解答】解：由a3=a4a2又因?yàn)閍1+a2+a37，得1+q+q27，所以q2，故a8故選：D7（春宣城期末）在前n項(xiàng)和為Sn的等比數(shù)列an中，a3

4、a4a58，S14129S7，則a1（）A2B12C14【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q1，由a3a4a58，S14129S7，可得：a43=8，即a42a1q3，a1【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q1，a3a4a58，S14129S7，a43=8，即a42a1q3則a1=14，故選：C8（春天心區(qū)校級(jí)期末）孫子算經(jīng)是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于四五世紀(jì)其卷中算籌分?jǐn)?shù)之法里有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織通五尺問(wèn)：日織幾何？”意思是有一女子擅長(zhǎng)織布，每天織布都比前一天多1倍，5天共織了5尺布現(xiàn)請(qǐng)問(wèn)該女子第3天織了多少布？（）A1尺B43尺C531尺D【分析】由已知結(jié)合等比

5、數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可直接求解【解答】解：由題意可知，每天織布的數(shù)量是以2為公比的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，則a1(125)a3=5故選：D9（2019廈門(mén)二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=13，當(dāng)n2時(shí)，an，Sn1，Sn成等比數(shù)列，若SmA9B11C19D21【分析】因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，an，Sn1，Sn成等比數(shù)列，所以(Sn1)2=anSn，即(Sn1)2=(SnS【解答】解：依題意，因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，an，Sn1，Sn成等比數(shù)列，所以(S即(Sn即1S所以1Sn1成等差數(shù)列，所以1Sn1=若Sm1921，即解得m10，所以m的最大值為9故選：A10（多選）（春思明區(qū)校級(jí)月考）設(shè)an為等

6、比數(shù)列，給出四個(gè)數(shù)列：2an；an2；2anABCD【分析】由題意可得，anan1【解答】解：由題意可得，anan12anan2a2alog故選：AB11（多選）（春鼓樓區(qū)校級(jí)期末）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，并且滿足條件a11，a6a71，a6A0q1B0a6a81CSn的最大值為S7DTn的最大值為T(mén)6【分析】由條件a11，a6a71，a61a710，可得：1【解答】解：由條件a11，a6a71，a6可得：1a6，0a71a7a6=q（0，1），a6a8=a72（0，1），Sn則下列結(jié)論正確的是ABD故選：ABD12（春楊浦區(qū)校級(jí)期末）1和4的等比中項(xiàng)為 【

7、分析】由題意利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得結(jié)果【解答】解：1和4的等比中項(xiàng)為(1)(4)=故答案為：213（春黔南州期末）在等比數(shù)列an中，a13，a481，則an的公比q 【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式直接求解【解答】解：在等比數(shù)列an中，a13，a481，a4=a1解得q3an的公比q3故答案為：314（春新鄉(xiāng)期末）在等比數(shù)列an中，a21，a1016，則a6 【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q8=a10a2【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列an中，a21，a1016，則q8=a變形可得q44，則a6a2q44；故答案為：415（春湖北期末）已知公比不為1的等比數(shù)列an滿足a5a7+a

8、4a818，則a6 【分析】由題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得a6的值【解答】解：公比不為1的等比數(shù)列an滿足a5a7+a4a8182a6求得a63，故答案為：316（春閔行區(qū)校級(jí)期末）已知等比數(shù)列an的公比為q2，則a1+a【分析】等比數(shù)列an的公比為q2，則根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：等比數(shù)列an的公比為q2，ana1故答案為：1417（武漢模擬）一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有療效；而低于500mg病人就有危險(xiǎn)現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò) 小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥

9、，才能保持療效（附：lg20.3010，1g30.4771，精確到0.1h）【分析】先設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)題意列出不等式，整理得指數(shù)不等式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系、換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及條件進(jìn)行求解【解答】解：設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥x小時(shí)后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，依題意，可得5002500（120%）x1500整理，得 0.20.8x0.6，log0.80.6xlog0.80.2，log0.80.6=lg0.6log0.80.2=lg0.2解得：2.3x7.2，應(yīng)在用藥2.3小時(shí)后及7.2小時(shí)前再向病人的血液補(bǔ)充藥故答案為：2.318（春靜安區(qū)期末）在實(shí)數(shù)1和81

10、之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=log3Tn(nN【分析】由題意，設(shè)這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為bn，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求Tn（b1bn+2）n+29n+2【解答】解：由題意，設(shè)這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為bn，則b11，bn+281，且b1bn+2b2bn+1b3bn，所以Tn（b1bn+2）n+2從而anlog3Tnlog39n+22（n+2）故答案為：2（n+2）19（春宣城期末）已知數(shù)列an是公比為q（q2）的正項(xiàng)等比數(shù)列，bn（q1）2an，對(duì)于任意的nN*，都存在mN*，使得bnam，則q的值為 【分析】由bnam，可

11、得（q1）2anam，可得mn+2logq（q1）由對(duì)于任意的nN*，都存在mN*，使得bnam，可得2logq（q1）必為整數(shù)，又q2，即可得出【解答】解：由bnam，（q1）2anam，（q1）2qmn，mn2logq(q1)2，可得mn對(duì)于任意的nN*，都存在mN*，使得bnam，2logq（q1）必為整數(shù)，又q2，1q1q，可得：02logq（q1）2，可得：logq（q1）0或12q11，或q1=q解得q2或q=3+故答案為：2或3+520（2019西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在mN*滿足S2mSm=9，a2mam【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可

12、得出【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q1若存在mN*滿足S2mSm則a1(1q2m)1q=解得m3，q2故答案為：3，221（春湛河區(qū)校級(jí)月考）若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an是一個(gè)“積數(shù)列”，且a11，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)，n的最大值為 【分析】由題意可得 a1a2a320191再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，a1a2019a2a2018a3a2017=a10102=1，由此可得當(dāng)其前【解答】解：若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an是一個(gè)“積數(shù)列”，且a1

13、1，q0aa1a2a3a，a1a2a320191a1a2019a2a2018a3a2017=a則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)，n的最大值為1010，故答案為：101022（春河池期末）在數(shù)列an中，a11，an2an1+n2（n2）（1）證明：數(shù)列an+n為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn【分析】（1）通過(guò)證明an+nan1+(n1)為常數(shù)來(lái)證明數(shù)列an+n為等比數(shù)列，再結(jié)合數(shù)列an+n的首項(xiàng)和公比即可求出an+（2）由（1）知an=2nn，再利用分組求和法即可求出數(shù)列an的前【解答】解：（1）證明：因?yàn)閍n 數(shù)列 an+n 是首項(xiàng)為 a1+12，公比為2的等比數(shù)

14、列，那么an+n=22（2）由（1）知anSn=2(1=223（房山區(qū)二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，_是否存在正整數(shù)k（k1），使得a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由從an+12an0，SnSn1+n（n2），Snn2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答【分析】分別選，根據(jù)各自對(duì)應(yīng)的結(jié)論來(lái)求解k，能解出來(lái)說(shuō)明存在，解不出來(lái)說(shuō)明不存在【解答】解：若選an+12an0，且a22a10；說(shuō)明數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；a11，ak2k1；Sk+2=12k+112若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，則（2k1）21（2k+11）2k+

15、11；左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，即不存在正整數(shù)k（k1），使得a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列；若選SnSn1+n（n2），即SnSn1nann； （n2）且a11適合上式；所以：說(shuō)明an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；ann，Sn=n(1+n)若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，則k21(k+2)(k+2+1)2k25k60k6（即存在正整數(shù)k6，使得a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列；若選Snn2，anSnSn1n2（n1）22n1（n2）；且a11適合上式；若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，則（2k1）21（k+2）23k28k30k3 （k=1即存在正整數(shù)k3，使得a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列

16、24（海南）已知公比大于1的等比數(shù)列an滿足a2+a420，a38（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求a1a2a2a3+（1）n1anan+1【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組a2+a4=20a3=a（2）根據(jù)條件，可知a1a2，a2a3，（1）n1anan+1，是以23為首項(xiàng)，22為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式，即可得出答案【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q1），則a2q1，a1an（2）a1a2a2a3+（1）n1anan+12325+2729+（1）n122n+1，=225（淄博一模）等差數(shù)列an(nN)中，a1，第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1

17、）請(qǐng)選擇一個(gè)可能的a1，a2，a3組合，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）記（1）中您選擇的an的前n項(xiàng)和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，若有，請(qǐng)求出k的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）由題意利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式（2）由題意利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求出k的值，從而得出結(jié)論【解答】解：（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：a18，a212，a316，此時(shí)等差數(shù)列an，a18，d4，所以其通項(xiàng)公式為an8+（n1）44n+4a12，a24，a36，此時(shí)等差數(shù)列an，a12，d2，所以其通項(xiàng)公式為an2n（2）若選擇，Sn=n(8+4n+4)

18、2=2n2則Sk+2若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，則ak即（4k+4）28（2k2+14k+20），整理，得5k9，此方程無(wú)正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)k，使a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列若選擇，Sn=n(2+2n)2=n2則Sk+2若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，則ak即（2k）22（k2+5k+6），整理得k25k60，因?yàn)閗為正整數(shù)，所以，k6故存在正整數(shù)k6，使a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列26（天津）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11，a55（a4a3），b54（b4b3）（）求an和bn的通項(xiàng)公式；（）記an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：SnSn+2Sn+12（nN*）；（

19、）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)cn=(3an2)b【分析】（）分別根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；（）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和作差法即可比較大小，則課證明；（）分類討論，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出前2n項(xiàng)和【解答】解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a11，a55（a4a3），則1+4d5d，可得d1，an1+n1n，b11，b54（b4b3），q44（q3q2），解得q2，bn2n1；（）證明：法一：由（）可得Sn=n(n+1)SnSn+2=14n（n+1）（n+2）（n+3），（Sn+1）2=14（n+1）2（SnSn+2Sn+12=12（n+1）（SnS

20、n+2Sn+12（nN*）；法二：數(shù)列an為等差數(shù)列，且ann，Sn=n(n+1)2，Sn+2=(n+2)(n+3)2，SSnSnSn+2Sn+12（nN*）；（），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cn=(3當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn=a對(duì)任意的正整數(shù)n，有k=1n c2k1=k=1n 和k=1n c2k=k=1由14可得14k=1n c得34k=1n ck=1n c2k因此k=12n c2k=k=1n c2k1+數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和4nB組強(qiáng)基必備1（春駐馬店期末）若數(shù)列an滿足1an+13an=0(nN+)，則稱an為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知數(shù)列1bn為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1+b2+A18B16C32D36【分析】根據(jù)題意

21、，由“夢(mèng)想數(shù)列”的定義可得“夢(mèng)想數(shù)列”為公比為13的等比數(shù)列，進(jìn)而可得若數(shù)列1bn為“夢(mèng)想數(shù)列”，則【解答】解：根據(jù)題意，夢(mèng)想數(shù)列an滿足1an+13an=0(nN+)，即an若數(shù)列1bn為“夢(mèng)想數(shù)列”，則1bn=31bn+1，變形可得bn若b1+b2+b32，則b3+b4+b59（b1+b2+b3）18；故選：A2（北京）已知an是無(wú)窮數(shù)列給出兩個(gè)性質(zhì)：對(duì)于an中任意兩項(xiàng)ai，aj（ij），在an中都存在一項(xiàng)am，使得ai2a對(duì)于an中任意一項(xiàng)an（n3），在an中都存在兩項(xiàng)ak，al（kl），使得an=a（）若ann（n1，2，），判斷數(shù)列an是否滿足性質(zhì)，說(shuō)明理由；（）若an2n1（n1，2，），判斷數(shù)列an是否同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，說(shuō)明理由；（）若an是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，證明：an為等比數(shù)列【分析】（）由a32a（）對(duì)于任意的i和j，滿足ai2aj=22ij1，2ijN*，必存在m2ij，可得滿足性質(zhì)；對(duì)于任意的n，欲滿足an2n1=ak2al=22kl1，n（）先用反證法證明數(shù)列必然恒正或恒負(fù)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明an也是等比數(shù)列，即可【解答】解：（）不滿足，理由：a32a2=92N*，不存在一項(xiàng)（）數(shù)列an同