高考中數(shù)列試題的應(yīng)對(duì)策略

PAGEPAGE20高考中數(shù)列試題的應(yīng)對(duì)策略數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位，是高考數(shù)學(xué)的主要考察內(nèi)容之一，試題難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度適中的小綜合題，也有綜合性較強(qiáng)對(duì)能力要求較高的難題。大多數(shù)是一道選擇或填空題，一道解答題。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問(wèn)題的能力，試題經(jīng)常是綜合題，把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。應(yīng)用問(wèn)題有時(shí)也要用到數(shù)列的知識(shí)。數(shù)列試題形形態(tài)多變變，時(shí)常常有新穎穎的試題題入卷，學(xué)學(xué)生時(shí)常常感覺(jué)難難以把握握。為了了在高考考中取得得好成績(jī)績(jī)，必須須復(fù)習(xí)、掌掌握好數(shù)數(shù)列這一一板塊及及其相關(guān)關(guān)的知識(shí)識(shí)技能，了了解近幾幾年來(lái)高高考中數(shù)數(shù)列試題題的能力力考察特特點(diǎn)，掌掌握相關(guān)關(guān)的應(yīng)對(duì)對(duì)策略，以以培養(yǎng)提提高解決決數(shù)列問(wèn)問(wèn)題的能能力。第一講：數(shù)數(shù)列基礎(chǔ)礎(chǔ)知識(shí)的的梳理數(shù)列是按一一定順序序排列好好的一列列數(shù)。它它可以理理解為以以正整數(shù)數(shù)集（或或它的有有限子集集）為定定義域的的函數(shù)。運(yùn)運(yùn)用函數(shù)數(shù)的觀念念分析和和解決有有關(guān)數(shù)列列問(wèn)題，是是一條基基本思路路。遞推推是數(shù)列列特有的的表示法法，它更更能反映映數(shù)列的的特征。等差數(shù)列和和等比數(shù)數(shù)列是兩兩個(gè)基本本的數(shù)列列，除了了要熟練練掌握這這兩個(gè)數(shù)數(shù)列的通通項(xiàng)公式式和求和和公式外外，還要要掌握以以下基本本性質(zhì)：：在等差數(shù)列列中{aan}中，aan=am+(nn-m))d或dd=(nn,m∈∈N+);若mm+n==p+qq,則aan+am=ap+aq(mm,n,,p,qq∈N+).在等比數(shù)列列中{aan}中，aan=amqn-mm,((n,mm∈N+);若mm+n==p+qq,則aanam=apaq(mm,n,,p,qq∈N+).對(duì)于非等差差等比的的數(shù)列，要要用轉(zhuǎn)化化的思想想，轉(zhuǎn)化化成和等等差、等等比有關(guān)關(guān)的數(shù)列列。一、典型題題的技巧巧解法1、求通項(xiàng)項(xiàng)公式（1）觀察察法。（2）由遞遞推公式式求通項(xiàng)項(xiàng)。對(duì)于由遞推推公式所所確定的的數(shù)列的的求解，通通?？赏ㄍㄟ^(guò)對(duì)遞遞推公式式的變換換轉(zhuǎn)化成成等差數(shù)數(shù)列或等等比數(shù)列列問(wèn)題。遞推式為aan+11=an+d及an+11=qaan（d，q為常數(shù)數(shù)）【例1】

已知知{an}滿足an+11=an+2，而而且a1=1。求求an。解

∵aan+11-an=2為常常數(shù)∴∴{an}是首項(xiàng)項(xiàng)為1，公差差為2的等差差數(shù)列∴an=11+2（n-11）即an=2nn-1遞推式為aan+11=an+f（n）解：由已知知可知令n=1，2，…，（n--1），代代入得（n-1）個(gè)等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）說(shuō)明

只只要和ff（1）+f（2）+…+f（n-11）是可可求的，就就可以由由an+11=an+f（n）以n==1，2，…，（n--1）代代入，可可得n--1個(gè)等等式累加加而求aan。遞推式為aan+11=paan+q（p，q為常數(shù)數(shù)）【例4】{{an}中，a1=1，對(duì)對(duì)于n＞1（n∈N）有an=3aan-1+22，求an。解法一：由已知知遞推式式得an+11=3aan+2，an=3aan-11+2。兩式相減：：an+11-an=3（an-an--1）因此數(shù)列{{an++1-aan}是公比比為3的等比比數(shù)列，其其首項(xiàng)為為a2-a1=（3×1+22）-1==4∴an+11-an=4·3n-11∵an+11=3aan+2

∴3an+2--an=4·3n-11即an=2·3n-11-1解法二：上法得得{an++1-aan}是公比比為3的等比比數(shù)列，于于是有：：a2-a11=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an--1=44·3n-22，把n-1個(gè)個(gè)等式累累加得：：∴an=22·3n-11-1解法三：設(shè)設(shè)遞推式式an+1=33an+2，可可以化為為an+11-t==3（an-t），即是an++1=33an-2tt∴2=--2t

∴t=--1，于是得ann+1++1=33（an+1），數(shù)數(shù)列{aan+1}}是公比比為3的等比比數(shù)列，其其首項(xiàng)為為a1+1==2∴an+11=2··3n-11即an=2·3n-11-1④遞推式為為an+11=paan+qn（p，q為常數(shù)數(shù)）由上題的解解法，得得：∴③的方法解解。⑤遞推式為為an+22=paan+11+qaan思路：設(shè)aan+22=paan+11+qaan可以變變形為：：an+22-αan+11=β（an+11-αan），于是{ann+1--αan}是公比比為β的等比比數(shù)列，就就轉(zhuǎn)化為為前面的的類型。求an。個(gè)等式累加加得⑥遞推式為為Sn與an的關(guān)系系式關(guān)系；（22）試用用n表示an。∴∴∴（2）兩邊邊同乘以以2n+11得2n+11an+11=2nan+2則{2nan}是公差差為2的等差差數(shù)列?！?nann=22+（n-11）·2=22n2．?dāng)?shù)列求求和問(wèn)題題的方法法（1）、應(yīng)應(yīng)用公式式法等差、等比比數(shù)列可可直接利利用等差差、等比比數(shù)列的的前n項(xiàng)和公公式求和和，另外外記住以以下公式式對(duì)求和和來(lái)說(shuō)是是有益的的。1＋3＋55＋……＋(2nn-1))=n22【例8】求求數(shù)列11，（3++5），（77+9++10），（113+115+117+119），…前n項(xiàng)的和和。解

本題題實(shí)際是是求各奇奇數(shù)的和和，在數(shù)數(shù)列的前前n項(xiàng)中，共有1+22+…+n=個(gè)奇數(shù)數(shù)，∴最后一個(gè)個(gè)奇數(shù)為為：1+[n((n+11)-11]×2=nn2+n--1因此所求數(shù)數(shù)列的前前n項(xiàng)的和和為（2）、分分解轉(zhuǎn)化化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行行分解、組組合,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為等等差數(shù)列列或等比比數(shù)列求求和?！纠?】求求和S==1·（n2-1）+22·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）解

S==n2（1+22+3++…+n）-（13+23+33+…+n3）（3）、倒倒序相加加法適用于給定定式子中中與首末末兩項(xiàng)之之和具有有典型的的規(guī)律的的數(shù)列，采采取把正正著寫與與倒著寫寫的兩個(gè)個(gè)和式相相加，然然后求和和?！郤n==3n··2n-11（4）、錯(cuò)錯(cuò)位相減減法如果一個(gè)數(shù)數(shù)列是由由一個(gè)等等差數(shù)列列與一個(gè)個(gè)等比數(shù)數(shù)列對(duì)應(yīng)應(yīng)項(xiàng)相乘乘構(gòu)成的的，可把把和式的的兩端同同乘以上上面的等等比數(shù)列列的公比比，然后后錯(cuò)位相相減求和和．【例11】求數(shù)列列1，3x，5x2,…,(2nn-1))xn--1前n項(xiàng)的和和．解

設(shè)SSn=1++3+55x2+…+(22n-11)xnn-1．．

①(2)x==0時(shí)，Sn=1．(3)當(dāng)xx≠0且x≠1時(shí)，在在式①兩邊同同乘以xx得xSn=xx+3xx2+5xx3+…+(22n-11)xnn，

②①-②，得得(1-x))Sn=1++2x++2x22+2xx3+…+2xxn-11-(22n-11)xnn．(5)裂項(xiàng)項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式式整理成成兩項(xiàng)((式多項(xiàng)項(xiàng))差的形形式，然然后前后后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方方法：3)注：在消項(xiàng)項(xiàng)時(shí)一定定注意消消去了哪哪些項(xiàng)，還還剩下哪哪些項(xiàng)，一一般地剩剩下的正正項(xiàng)與負(fù)負(fù)項(xiàng)一樣樣多。在掌握握常見(jiàn)題題型的解解法的同同時(shí)，也也要注重重?cái)?shù)學(xué)思思想在解解決數(shù)列列問(wèn)題時(shí)時(shí)的應(yīng)用用。二、常用數(shù)數(shù)學(xué)思想想方法1．函數(shù)思思想運(yùn)用數(shù)列中中的通項(xiàng)項(xiàng)公式的的特點(diǎn)把把數(shù)列問(wèn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化化為函數(shù)數(shù)問(wèn)題解解決?！纠?3】

等差差數(shù)列{{an}的首項(xiàng)項(xiàng)a1＞0，前n項(xiàng)的和和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問(wèn)n為何值值時(shí)Sn最大？？此函數(shù)以nn為自變變量的二二次函數(shù)數(shù)?！遖1＞00

SSl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函函數(shù)的圖圖像開口口向下∵f（ll）=f（k）2．方程思思想【例14】

（19996·全國(guó)）設(shè)設(shè)等比數(shù)數(shù)列{aan}前n項(xiàng)和為為Sn，若S3+S6=2SS9，求數(shù)數(shù)列的公公比q。分析

本本題考查查等比數(shù)數(shù)列的基基礎(chǔ)知識(shí)識(shí)及推理理能力。解

∵依依題意可可知q≠1?！呷绻鹮==1，則則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此此應(yīng)推出出a1=0與等等比數(shù)列列不符?！遯≠1整理得

q3（2q6-q3-1）=0

∵q≠0此題還可以以作如下下思考：：S6=S33+q3S3=（1+qq3）S3S9=S33+q3S6=S3（1+qq3+q6）∴由S3++S6=2SS9可得2+q3==2（1+qq3+q6），2qq6+q3=03．換元思思想【例15】

已知知a，b，c是不為為1的正數(shù)數(shù)，x，y，z∈R+，且且求證：a，b，c順次成成等比數(shù)數(shù)列。證明

依依題意令令ax=by=cz=k∴x=1oogak，y=llogbbk，z=llogcck∴b2=aac∴a，b，c成等比比數(shù)列（a，b，c均不為0）掌握了數(shù)列列的基本本知識(shí)，特特別是等等差、等等比數(shù)列列的定義義、通項(xiàng)項(xiàng)公式、求求和公式式及性質(zhì)質(zhì)，掌握握了典型型題型的的解法和和數(shù)學(xué)思思想法的的應(yīng)用，就就有可能能在高考考中順利利地解決決數(shù)列問(wèn)問(wèn)題。第二講：高高考數(shù)列列試題的的考查特特點(diǎn)及應(yīng)應(yīng)對(duì)策略略《考試說(shuō)明明》縱觀近幾年年全國(guó)各各地高考考試題，發(fā)發(fā)現(xiàn)高考考數(shù)列試試題具有有貼近基基礎(chǔ)、模模式多變變、綜合合性強(qiáng)等等特點(diǎn)，據(jù)據(jù)此，我我們應(yīng)采采取夯實(shí)實(shí)基礎(chǔ)、抓抓住特征征，掌握握聯(lián)系等等策略，以以便于在在高考中中取得好好成績(jī)。試題貼近基基礎(chǔ)，注注重理解解能力和和推理運(yùn)運(yùn)算能力力的考查查。以數(shù)列為背背景或依依托的試試題，雖雖然有易易有難，但但通常是是緊貼著著數(shù)列基基礎(chǔ)知識(shí)識(shí)（如有有序性、等等差、等等比、通通項(xiàng)、求求和等相相關(guān)的概概念和性性質(zhì)），把把考察理理解能力力和推理理運(yùn)算能能力作為為基本的的要求。對(duì)策：對(duì)數(shù)數(shù)列相關(guān)關(guān)概念、性性質(zhì)和公公式的透透徹理解解及其恰恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)運(yùn)用，是是解答好好數(shù)列試試題的首首要條件件和基礎(chǔ)礎(chǔ)，是正正確理解解題意的的前提。對(duì)對(duì)題設(shè)和和求解目目標(biāo)有了了正確認(rèn)認(rèn)識(shí)，才才能進(jìn)一一步列出出有效算算式，進(jìn)進(jìn)行推演演，獲得得正確答答案。例1：（220022江蘇卷卷）據(jù)20022年3月月5日九九屆人大大五次會(huì)會(huì)議《政政府工作作報(bào)告》::“20001年國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)總值達(dá)達(dá)到9559333億元,,比上年年增長(zhǎng)77.3%%.”如果“十五”期間((20001年～～20005年))每年的的國(guó)內(nèi)生生產(chǎn)總值值都按此此年增長(zhǎng)長(zhǎng)率增長(zhǎng)長(zhǎng),那么么到“十五”末我國(guó)國(guó)國(guó)內(nèi)年年生產(chǎn)總總值約為為().Ａ.11550000億元Ｂ..12000000億元Ｃ..12770000億元Ｄ..13550000億元例2：（220022年上海海卷）若數(shù)列{ａａn}中,,ａ1=3,,且ａnn+1==ａn2(ｎ是是正整數(shù)數(shù)),則則數(shù)列的的通項(xiàng)ａａn=_____________..試題模式多多變，注注重觀察察分析能能力和數(shù)數(shù)學(xué)思維維能力的的考查。數(shù)列試題的的模式與與形態(tài)多多式多樣樣，不拘拘一格。無(wú)無(wú)論題設(shè)設(shè)的給出出，還是是問(wèn)題的的提法，抑抑或求解解的要求求，都常常常打破破定勢(shì)，注注意靈活活多變，時(shí)時(shí)常有新新穎試題題出現(xiàn)。這這類試題題，往往往能比較較深刻考考察觀察察和分析析問(wèn)題的的能力，對(duì)對(duì)思維的的廣闊性性、靈活活性和深深刻性有有一定要要求。對(duì)策：解答答數(shù)列題題，洞察察并抓住住所討論論的數(shù)列列特征是是關(guān)鍵。審審題時(shí)，務(wù)務(wù)必弄清清試題是是如何描描述給定定的數(shù)列列，涉及及的是一一個(gè)數(shù)列列，還是是存在關(guān)關(guān)聯(lián)的若若干數(shù)列列，力求求在整體體上把握握住數(shù)列列的變化化規(guī)律，明明確求解解的目標(biāo)標(biāo)，理順順好題設(shè)設(shè)的各種種數(shù)量關(guān)關(guān)系，進(jìn)進(jìn)行必要要的整合合、歸納納和轉(zhuǎn)化化，從中中找到解解答的突突破口和和求解的的途徑。具具體的推推演要注注意合乎乎邏輯，說(shuō)說(shuō)理充分分，計(jì)算算準(zhǔn)確。例設(shè){{an}是首首項(xiàng)為11的正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)列，且且(n++1)aan+112–naan2+an++1an=0(n==1,22,3……).則它的通項(xiàng)項(xiàng)公式是是an=____________。（220000年高考考數(shù)學(xué)試試題）解法一、取取特殊值值法：分分別取nn=1,,2,33，由aa1=1,,得到,,進(jìn)而猜測(cè)：：an=,代入入檢驗(yàn)合合適。解法二、[[(n++1)aan+11–nan](aan+11+an)=00,∵an+11+an>0,,∴(n++1)aan+11–nan=0,∴(n+11)ann+1==nann=(nn-1))an--1=…=1,,∴an=解法三、，∴∴，由此，得：：，…，將以上各式式連乘，得得：，∴an=例設(shè){aan}是等等比數(shù)列列，Tnn=naa1+(nn-1))a2+…2an--1+aan.已已知T11=1,,T2=4..（1）求求數(shù)列{{an}的首首項(xiàng)和公公比；（22）求數(shù)數(shù)列{TTn}的通項(xiàng)項(xiàng)公式。((20000年高高考數(shù)學(xué)學(xué)試題))解：（1）由由T1=1,,T2=4，可得a1=12a1+aa1q=44a1=1,,q==2.(2)解解法1：：錯(cuò)位相相消法：：∵Tn-qqTn=naa1-a2-a3-…-an-an++1=又a1=11,qq=2，∴∴Tn=--(n++2-22n+11)=22n+11-(nn+2)).解法2：記記Sn為{aan}的前前n項(xiàng)和和，化TTn為Tn=S11+S2+…+Sn,∵Sk===2k-1,,k=00,1,,2,…∴Tn=22+222+…+2n-n==2n++1-((2+nn).數(shù)列為引線線，編制制綜合性性強(qiáng)，內(nèi)內(nèi)涵豐富富的試題題，比較較深入的的考查綜綜合素質(zhì)質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)力。數(shù)列是按一一定順序序排列好好的一列列數(shù)。它它可以理理解為以以正整數(shù)數(shù)集（或或它的有有限子集集）為定定義域的的函數(shù)，能能夠產(chǎn)生生和引發(fā)發(fā)數(shù)列問(wèn)問(wèn)題的背背景材料料及其豐豐富，既既可以是是實(shí)際應(yīng)應(yīng)用，又又可以是是各種數(shù)數(shù)學(xué)研究究對(duì)象（如如函數(shù)、集集合、幾幾何圖形形等等）。同同時(shí)，圍圍繞給定定的數(shù)列列，能夠夠提出許許多的數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題題，這些些問(wèn)題除除數(shù)列自自身各種種性質(zhì)外外，還有有大量的的外延性性的問(wèn)題題，如函函數(shù)、不不等式、方方程、三三角、幾幾何性質(zhì)質(zhì)之類問(wèn)問(wèn)題。這這些現(xiàn)象象反映出出數(shù)列與與其它的的知識(shí)存存在著大大量的內(nèi)內(nèi)在聯(lián)系系，有著著廣泛的的應(yīng)用。對(duì)策：關(guān)注注各知識(shí)識(shí)板塊之之間的橫橫向聯(lián)系系，注重重綜合能能力的培培養(yǎng)。例1、（220033北京春春季試卷卷）例：某城市市20001年末末汽車保保有量為為30萬(wàn)萬(wàn)輛,預(yù)預(yù)計(jì)此后后每年報(bào)報(bào)廢上一一年末汽汽車保有有量的66%,并并且每年年新增汽汽車數(shù)量量相同..為保護(hù)護(hù)城市環(huán)環(huán)境,要要求該城城市汽車車保有量量不超過(guò)過(guò)60萬(wàn)萬(wàn)輛,那那么每年年新增汽汽車數(shù)量量不應(yīng)超超過(guò)多少少輛?（220022年高考考數(shù)學(xué)全全國(guó)卷）解法1：設(shè)設(shè)20001年末末汽車保保有量為為ｂ1萬(wàn)輛,,以后各年末末汽車保保有量依依次為ｂｂ2萬(wàn)輛,,ｂ3萬(wàn)輛,,…,每年新增汽汽車ｘ萬(wàn)萬(wàn)輛,則ｂ1=330,ｂｂ2=ｂ1×0.994+ｘｘ.對(duì)于ｎ>11,有ｂｂn+11=ｂn×0.994+ｘｘ=ｂnn-1××0.9942+(11+094))ｘ,……∴ｂn+11=ｂ1×0.994n+ｘ((1+00.944+…+0..94nn-1))=ｂ11×0.994n+=當(dāng),即ｘ≤≤1.88時(shí),ｂnn+1≤≤ｂn≤…≤≤ｂ1=300.當(dāng),即ｘ>>1.88時(shí),并并且數(shù)列列{ｂnn}逐項(xiàng)項(xiàng)增加,,可以任任意靠近近因此,如果果要求汽汽車保有有量不超超過(guò)600萬(wàn)輛,,即ｂnn≤60((ｎ=11,2,,3,……).則≤60,,即ｘ≤≤3.66(萬(wàn)輛輛).綜上,每年年新增汽汽車不應(yīng)應(yīng)超過(guò)336萬(wàn)萬(wàn)輛.解法2:由由解法11知ｂ1=300,ｂn+1==0.994ｂnn+ｘ,,由此可得，這這說(shuō)明數(shù)數(shù)列{}是等等比數(shù)列列,因而即,…解法3:由由ｂn++1=00.944ｂn+ｘ,,得ｂnn=0..94ｂｂn-11+ｘ,,兩兩式相減減得ｂnn+1--ｂn=0..94((ｂn-ｂn--1)..若ｂ2-ｂｂ1=0,,則ｂnn+1--ｂn=ｂn-ｂn--1=…=0,,即ｂn==ｂn--1=…=ｂ1=300,此時(shí)時(shí)ｘ==30-330×0.994=11.8;;若ｂ2-ｂｂ1≠0,則則數(shù)列{{ｂn++1-ｂｂn}是以以ｂ2-ｂ1=ｘ--1.88為首項(xiàng)項(xiàng),以0.944為公比比的等比比數(shù)列,,從而ｂｂn+11-ｂn=0..94nn·(ｘ--1.88).即有ｂn==ｂ1+(ｂｂ2-ｂ1)+…+(ｂｂn-ｂn--1)=300+0..94··(ｘ--1.88)+00.9442·(ｘ--1.88)+……+0..94nn-1(