(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納學(xué)案專題05函數(shù)5.3《指數(shù)函數(shù)》（解析版）

專題四《函數(shù)》學(xué)案5.3指數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理.指數(shù)函數(shù)eq\a\vs4\al(1.指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算)(1)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)．②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義①aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．2．指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)．3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，＋∞)圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有y>1在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān)，應(yīng)分a>1與0<a<1來(lái)研究題型一.比較大小1．設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（12）﹣1.5，則y1，y2，y3A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【解答】解：利用冪的運(yùn)算性質(zhì)可得，y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（12）﹣1.5＝21.5再由y＝2x是增函數(shù)，知y1＞y3＞y2．故選：D．2．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：函數(shù)y＝0.6x為減函數(shù)；故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，函數(shù)y＝x0.6在（0，+∞）上為增函數(shù)；故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，故b＜a＜c，故選：C．3．設(shè)a＝（35)25，b=(25)35A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵y=x25∴a＞c又∵y=(25)x在故選：A．4．已知函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x，為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為b＜c＜a．故選：D．題型二.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．已知曲線y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）過(guò)定點(diǎn)（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，則4mA．92 B．9 C．5 D．【解答】解析：∵定點(diǎn)為（1，2）∴m+n＝2∴4當(dāng)且僅當(dāng)mn=4nm，即m=43故選：A．2．已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式（12）a＝（13）①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，其中不可能成立的關(guān)系式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象：f(x)=(12)x，g（滿足等式（12）a＝（13）有①0＜b＜a；②a＜b＜0；⑤a＝b＝0，三個(gè)．而③0＜a＜b；④b＜a＜0；不可能成立．故選：B．3．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結(jié)論中，一定成立的是③．（只填序號(hào)）①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），∴由圖象知，a＜0，c＞0，b符號(hào)不確定，故①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤，由f（a）＞f（c）得|2a﹣1|＞|2c﹣1|，即﹣2a+1＞2c﹣1，得2a+2c＜2，故③正確，當(dāng)a＝﹣2，c=12時(shí)，f（a）=34，f（c）=2?1，滿足f（但2﹣a＝22＝4，2c=2，則2﹣a＜2c．不成立，故④故正確的是③，故答案為：③．4．若函數(shù)f（x）=x2?ax+a(x＜0)(4?2a)xA．[0，2） B．(32，2) 【解答】解：根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)只能是單調(diào)遞減函數(shù)，則滿足??a即a≥03解得32＜故選：B．5．設(shè)函數(shù)f（x）=12x?1，x≥01x，x＜0若f（a）＞1，則實(shí)數(shù)【解答】解：當(dāng)a≥0時(shí)，由12a?1＞1得：當(dāng)a＜0時(shí)，不等式1a綜上滿足f（a）＞1的實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a＞4故答案為a＞46．若實(shí)數(shù)a，b滿足2a+3a＝3b+2b，則下列關(guān)系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a(chǎn)＝b【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，設(shè)f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是遞增函數(shù)，畫(huà)出f（x），g（x）的圖象如下：根據(jù)圖象可知：當(dāng)x＝0，1時(shí)，f（x）＝g（x），0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正確；當(dāng)b＜a＜0時(shí)，因?yàn)閒（x）≤g（x），所以f（a）＝g（b）可能成立，B正確；當(dāng)a＝b時(shí)，顯然成立，當(dāng)1＜a＜b時(shí)，因?yàn)閒（a）＜g（b），所以不可能成立，故選：ABD．題型三.指數(shù)函數(shù)的定義域、值域1．函數(shù)y=(12)3+2x?x2的定義域?yàn)镽【解答】解：∵不論函數(shù)y=(12)3+2x?x2中的x取何值，函數(shù)總有意義，∴令u＝3+2x﹣x2，則y=(∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]∵函數(shù)y=(12)u為u的減函數(shù)，且∴(12)u∈[116，+∞），即y∈∴函數(shù)的值域?yàn)閇116，+∞故答案為[116，+∞2．若函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是[0，2]，則實(shí)數(shù)a等于3．【解答】解：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上單調(diào)遞增，則f(0)=0解得：a=當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上單調(diào)遞減，則f(0)=2f(2)=0故a=故答案為：33．已知f（x）=3x2+2ax?a?1的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a【解答】解：∵f（x）=3x2∴3x2+2ax?1?1≥0對(duì)任意即3x即x2+2ax﹣a≥0對(duì)任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，則﹣1≤a≤0．故答案為：[﹣1，0]．4．已知函數(shù)f（x）＝（13）ax2?4x+3，若f【解答】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y＝f（x）的值域是（0，+∞），應(yīng)使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域?yàn)镽，若a≠0，h（x）為二次函數(shù)，其值域不可能為R，∴a的值是0．5．若函數(shù)y=4x+a?2x+1的值域?yàn)閇0，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解答】解：設(shè)g（x）＝4x+a?2x+1，若函數(shù)y=4x+a?則等價(jià)為[0，+∞）是g（x）值域的子集，g（x）＝4x+a?2x+1＝（2x）2+a?2x+1，設(shè)t＝2x，則t＞0，則函數(shù)g（x）等價(jià)為y＝h（t）＝t2+at+1，∵h(yuǎn)（0）＝1＞0，∴當(dāng)對(duì)稱軸t=?a2≤0，即當(dāng)t=?a2＞0，即a＜0時(shí)，則判別式△＝a2﹣即a＜0a≥2或a≤?2，則a≤﹣即實(shí)數(shù)a的取值范