(新高考)高考數(shù)學一輪復(fù)習題型歸納學案專題07三角函數(shù)7.2《三角恒等變換》（解析版）

專題七《三角函數(shù)》學案7.2三角恒等變換知識梳理.三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．輔助角公式asinwx+bcoswx=其中tan題型一.兩角和與差公式1．已知sin（α+π6）=13，α∈（π3，5π6），則cos（α【解答】解：∵α∈（π3，5π6），∴α+π由sin（α+π6）=13，得cos（α∴cos（α+π3）＝cos[（α+π6）+π6]＝cos（α+π6）=?2故答案為：?262．已知π2＜β＜α＜3π4，若cos（α﹣β）=1213，sin（α+A．13 B．?13 C．56【解答】解：∵已知π2＜β＜α＜3π4，∴α﹣β∈（0，π4），α+β∈若cos（α﹣β）=1213，sin（α+β）∴sin（α﹣β）=1?cos2(α?β)=513，cos（則sin2β＝sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）=?35?1213?（?故選：D．3．（1）設(shè)α，β為銳角，且sinα=55，cosβ=310（2）化簡求值：sin50°(1+3【解答】解：（1）∵α為銳角，sinα=55，∴cosα=255；∵β為銳角，∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=255×31010?55×1010=（2）sin50°(1+3tan10°)=sin50°?(cos10°+34．（2020?新課標Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，則tanA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，得2tanθ即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，則tanθ＝2，故選：D．5．（2015?重慶）若tanα＝2tanπ5，則cos(α?A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：tanα＝2tanπ5，則=cos故選：C．6．（2014?新課標Ⅰ）設(shè)α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanαA．3α﹣β=π2 B．3α+β=π2 C．2α﹣β=π2【解答】解：由tanα=1+sinβsinαcosα即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（π2∵α∈（0，π2），β∈（0，π∴當2α?β=π2時，sin（α﹣β）＝sin（π2故選：C．題型二.二倍角和半角公式1．（2017·全國3）已知sinα﹣cosα=43，則sin2A．?79 B．?29 C．【解答】解：∵sinα﹣cosα=4∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=16∴sin2α=?7故選：A．2．若sin(πA．?79 B．79 C．?【解答】解：∵sin(π∴cos（α+π3）＝sin[π2?（α∴cos(2π3+2α)=cos2（α+π3故選：A．3．設(shè)α為銳角，若cos（α+π6）=45A．17250 B．17225 C．【解答】解：∵α為銳角，cos（α+π6）=45，∴sin（α∴sin（2α+π3）＝2sin（α+π6）cos（α+π6）=2425故sin（2α+π12）＝sin[（2α+π3）?π4]＝sin（2α+π3故選：A．4．已知tan（α﹣β）=12，tanβ=?17，且α，β∈（0，πA．π4 B．πC．?3π4 【解答】∵tan（α﹣β）=tanα?tanβ1+tanαtanβ=即tanα=∵α，β∈（0，π）且tanπ4=1，tan∴α∈（0，π4），β∈（3π4，即2α﹣β∈（﹣π，?π∴tan（2α﹣β）=tanα+tan(α?β)即2α﹣β=?故選：C．5．已知tanαtan(α+π4)=?23【解答】解：已知tanαtan(α+π4)=?23，整理得3tan解得tanα=2或?1（1）當tanα＝2時，則sin2α=2tanα1+tan故sin(2α+π（2）當tanα=?1則sin2α=2tanα1+tansin(2α+π故答案為：2106．已知α∈（?π2，0），2sin2α+1＝cos2α，則A．2±5 B．3+5 C．2+5【解答】解：因為α∈（?π2，0），α2所以tanα2＜0，sin因為2sin2α+1＝cos2α，所以4sinαcosα+1＝1﹣2sin2α，即tanα＝﹣2，又tanα=2tan解得tanα2=1?則1?tanα21+tan故選：C．題型三.輔助角公式1．設(shè)α是第一象限角，滿足sin（α?π4）﹣cos（α+π4）A．1 B．2 C．3 D．3【解答】解：sin(α?π=2∴sinα?cosα=3聯(lián)立sinα?cosα=3∵設(shè)α是第一象限角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα=32，∴tanα=sinα故選：C．2．若3sin（x+π12）+cos（x+π12）=23，且?π【解答】解：∵3sin（x+π12）+cos（x+π∴32sin（x+π12）+12cos（∴sin（x+π12+π6）=1∵?π2＜x＜0，∴?∴cos（x+π4）∴sinx﹣cosx=?2（22cosx?2=?2cos（x+π3．已知f（x）＝sin2x+sinxcosx，x∈[0，π2（1）求f（x）的值域；（2）若f（α）=56，求sin2【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+sinxcosx=1?cos2x=22sin（2x?∴f（x）=22sin（2x?π∵x∈[0，π2∴2x?π4∈[?π當2x?π4=?π4，即x＝0時，f（x）有最小值0．當2x?π4f（x）值域：[0，2+1（2）f（α）=22sin（2α?πsin（2α?π4）∵α∈[0，π2∴2α?π4∈[?π又∵0＜sin（2α?π4）∴2α?π4∈（0，得cos（2α?π4）∴sin2α＝sin（2α?π=22[sin（2α?π4=2+∴sin2α的值2+14題型四.三角恒等變換綜合1．已知向量a→=（1，sinα），b→=（2，cosα），且a→【解答】解：∵a→∥b→，∴2sinα﹣cosα＝0，即cosα＝2sin則sinα+2cosαcosα?3sinα2．若cos（π4?α）=3A．725 B．15 C．?1【解答】解：法1°：∵cos（π4?α）∴sin2α＝cos（π2?2α）＝cos2（π4?α）＝2cos2（π4?α）法2°：∵cos（π4?α）=22（sinα+cos∴12（1+sin2α）=∴sin2α＝2×925?故選：D．3．已知角α∈（0，π4），β∈（π2，π），若sin（α?π3）=?35，cos（π3?β）=?1【解答】解：∵α∈（0，π4），∴α?π3∈（?π3，?π12），∵sin（α?π3）∵β∈（π2，π），∴π3?β∈（?2π3，?π6），∵cos（π3?β）∴cos（α﹣β）＝cos[（α?π3）+（π3?β）]＝cos（α?π3）cos（π3?β）]=45×（?12）﹣（?35故答案為：?4+34．已知tan（α﹣β）=25，tan（α+π4）=14，則tan（β【解答】解：因為tan（α﹣β）=25，所以tan（β﹣α）又tan（α+π4）tan（β+π4）＝tan[（β﹣α）+（α+π故答案為：?35.已知SKIPIF1<0，化簡：SKIPIF1<0．【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．6．已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若α∈[π4，π2【解答】解：（1）函數(shù)f(x)=sin(2x?=sin2xcosπ＝sin2x+cos2x=2所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π（2）∵f(α)=325∴sin(2α+π4)=∴3π4∴cos(2α+πcos2α=cos[(2α+π故cos2α=?2課后作業(yè).三角恒等變換1．已知cosA+sinA=?713，A為第二象限角，則tanAA．125 B．512 C．?12【解答】解：∵cosA+sinA=?7∴1+2cosAsinA=49∴2cosAsinA=?∴（cosA﹣sinA）2=∵A為第二象限角，∴cosA﹣sinA=?∴cosA=?1213，sin∴tanA=故選：D．2．若α，β∈(0，π2)，cos(a?β2【解答】解：∵α，β∈(0，π∴α2∈(0，π∴a?β∵cos(a?∴sin（a?β2）=?12或sin（a?β2）①當cos(a?sin（a?β2）=?12，cos（cos12（α+β）=∴12（α+β）②當cos(a?sin（a?β2）=12，cos（cos12（α+β）=32∴12（α+β∴α+β=即兩個角的和是2π33．已知sin（a?π3）=1A．429 B．?429 【解答】解：因為cos（π3＝﹣cos[π?＝﹣cos(＝﹣cos(＝2sin2(a?π＝2×(=?7故選：C．4．已知tanα+1tanα=52，α∈（A．?7210 B．210 C．【解答】解：∵tanα+1∴sinαcosα∴1sin2α∴sin2α=4∵α∈（π4，π2），2α∈（π2∴cos2α=?3∴sin（2α?π4）＝sin2αcosπ4?cos2故選：D．5．已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），則cos(π?2α)sin(α?【解答】解：∵sinα=12+cosα，即sinα﹣cos∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα=14，即2sinαcosα∵α∈（0，π2），∴sinα＞0，cosα∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=74