重積分及其計算和多重積分

三重積分和多重積分方法在第三節(jié)中我們議論了二重積分，本節(jié)將之推行到一般的n維空間中去.近似于第三節(jié),我們先定義一個R3中會合的可求體積性.相同能夠給出一列近似的結(jié)論.讀者自己推行.這里將不再贅述.一、引例設(shè)一個物體在空間R3中占據(jù)了一個有界可求體積的地區(qū)V，它的點(diǎn)密度為fx,y,z，此刻要求這個物體的質(zhì)量．假定密度函數(shù)是有界的連續(xù)函數(shù)，能夠?qū)⒌貐^(qū)V切割為若干個可求體積的小地區(qū)V1,V2,...,Vn，其體積分別是V1,V2,...,Vn，直徑分別是d1,d2,...,dn，即disup{|WQ||W,QVi},(i=1,2,,n）,|WQ|表示W(wǎng),Q兩點(diǎn)的距離．設(shè)max{d1,d2,...,dn}，則當(dāng)很小時，fx,y,z在Vi上的變化也很小．能夠用這個小地區(qū)上的隨意一點(diǎn)xi,yi,zi的密度fxi,yi,zi來近似整個小地區(qū)上的密度，這樣我們可以求得這個小的立體的質(zhì)量近似為fxi,yi,ziVi，全部這樣的小的立體的質(zhì)量之和即為這個物體的質(zhì)量的一個近似值．即nMfxi,yi,ziVi．1當(dāng)0時，這個和式的極限存在，就是物體的質(zhì)量．即nMlimfxi,yi,ziVi．0i1從上邊的議論能夠看出，整個求質(zhì)量的過程和求曲頂柱體的體積是近似的，都是先切割，再乞降，最后取極限．因此我們也能夠獲得下邊一類積分．二、三重積分的定義設(shè)f

x,y,z

是空間

R3中的一個有界可求體積的閉地區(qū)

V上的有界函數(shù)，將

V隨意切割為若干個可求體積的小閉地區(qū)

V1,V2,...,Vn，這個切割也稱為

V的分劃，記為

P:

V1,V2,...,Vn.Vio

Vj

o

(空,

i

j

),

其體積分別是

V1,V2,...,

Vn，直徑分別是

d1,d2,...,dn．設(shè)max{d1,d

2,...,dn},或記為||P||.

在每個小地區(qū)中隨意取一點(diǎn)

xi,yi

,zi

Vi

，作和nfxi,yi

,zi

Vi

(稱為

Riemann和)，若當(dāng)

0時，這個和式的極限存在，則稱其極i1限為函數(shù)fx,y,z在地區(qū)V上的三重積分，記為fx,y,zdV．并稱函數(shù)fx,y,z在V地區(qū)V上可積．fx,y,z稱為被積函數(shù),x,y,z稱為積分變量.,V稱為積分地區(qū).特別地，在直角坐標(biāo)系下，能夠記為fx,y,zdxdydz．V我們相同能夠引入Darboux大,小和來鑒別可積,也有相同的結(jié)論(略).1.若fx,y,z是有界閉地區(qū)V上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)fx,y,z在地區(qū)V上可積．2.若fx,y,z=1時,dxdydzV的體積.V3.若fx,y,z在有界閉地區(qū)V上的中斷點(diǎn)會合是0體積時,fx,y,z在V可積.三重積分有著與二重積分近似的性質(zhì)．下邊簡單表達(dá)一下．１．可積函數(shù)的和（或差）及積仍可積.和（差）的積分等于積分的和(差)．２．可積函數(shù)的函數(shù)

k倍仍可積

.

其積分等于該函數(shù)積分的

k倍．３．設(shè)

是可求體積的有界閉地區(qū)，

fx,y,z在

上可積，

分為兩個無共同內(nèi)點(diǎn)的可求體積的閉地區(qū)

1,

2之并，則

fx,y,z

在

1,

2上可積，并有fx,y,zdV

fx,y,zdV

fx,y,zdV．1

2等等.三、三重積分的計算方法同二重積分相同,我們這里給出三重積分的計算方法,理論上的證明讀者自己達(dá)成..利用直角坐標(biāo)系計算三重積分先給一個結(jié)論.定理若函數(shù)fx,y,z是長方體V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可積,記D=[c,d]×[e,h],對任意x∈[a,b],二重積分I(x)

fx,y,zdydzDb

b

b存在,

則

I(x)dx

fx,y,zdydzdx

(記為

dx

fx,y,zdydz)a

aD

a

Db

b

d

h也存在

,

且

fx,y,zdV

dx

fx,y,zdydz

dxdy

fx,y,zdz.V

a

D

a

c

e這時右側(cè)稱為三次積分或累次積分,即三重積分化為三次積分證明分別中[a,b],[c,d],[e,h]插入若干個分點(diǎn)

.ax0

x1

x2

xn

b;cy0y1y2ymd;ez0z1z2zsh作平面xxi,yyj,zzk,(i=0,1,2,,n;,ji=0,1,2,,m;k=0,1,2,,s,)獲得V的一個分劃P.令vijk[xi1,xi][yj1,yj][zk1,zk],(i=1,2,,n;,ji=1,2,,m;k=1,2,,s,),Mijk,mijk分別是fx,y,z在vijk上的上,下確界.那么在Djk[yj1,yj][zk1,zk]上有mijkyjzkf(i,y,z)dydzMijkyjzkjk此中xiii-1,j,=yj-yj-1,kkk-1,(i=1,2,,n;,ji=1,2,,m;k=1,2,,s,).,=x-xyz,=z-zf(i,y,z)dydzf(i,y,z)dydzI(i)j,kDjkDnmijkxiyjzkI(i)xiMijkxiyjzki,j,ki1i,j,k因可積，因此當(dāng)||P||趨于0時，Darboux大,小和趨于同一數(shù)，即三重積分.故定理得證.z假如V如右圖,he≤z≤h,z=z與V的截面Dz面積為Dz,zey圖12-4-1不難獲得,xh若函數(shù)fx,y,z在V上的可積,那么fx,y,zdVdzfx,y,zdxdy.VeDz下邊給出一般三重積分的詳細(xì)計算方法，

理論證明讀者可參照二重積分自己達(dá)成．

設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在有界閉地區(qū)

上連圖12-4-2續(xù)，我們先議論一種比較特別的狀況．{,,|,,,z,}，此中xyzxyDz1xyz2xyDxy為在xoy平面上的投影，且Dxy{x,y|axb,y1(x)yy2x}．如圖1２．我們此刻z軸上做積分，臨時將x,y當(dāng)作是常數(shù)．把函數(shù)fx,y,z看作是z的函數(shù)，將它在區(qū)間[z1x,y,z2x,y]上積分獲得z2x,yfx,y,zdz．z1x,y明顯這個結(jié)果是x,y的函數(shù)，再把這個結(jié)果在平面地區(qū)Dxy上做二重積分z2x,yfx,y,zdzdxdy．z1x,yxy在利用二重積分的計算公式便能夠獲得所要的結(jié)果．若平面地區(qū)Dxy能夠用不等式axb,y1xyy2x表示，則bxz2x,yy2x,y,zdz．fx,y,zdVdxdyfy1xz1x,ya這個公式也將三重積分化為了三次積分．假如積分地區(qū)是其余的情況，能夠用近似的方法計算．例1計算三重積分xdV，此中是由三個坐標(biāo)面和平面xyz1所圍的立體區(qū)域．解積分地區(qū)以下圖，能夠用不等式表示為0x1,0y1x,0z1xy，因此積分能夠化為11x1xyxdVdx0dyxdz0011xxydydx0x10112dxx1x0211111圖12-4-3x4x3x2834024四、三重積分的積分變換和二重積分的積分變換相同，有以下的結(jié)果:定理設(shè)V是uvw空間R3中的有界可求體積的閉地區(qū)，T：x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),是V到xyz空間R3中的一一映照，它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且xxx(x,y,z)uvzyyy(u,v,w)uv0,(u,v,w)V(稱為Jacobi).zzzzuvz假如f(x,y,z)是T(V)上的可積函數(shù)，那么f(x,y,z)dxdydzf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))(x,y,z)dudvdwT(V)V(u,v,w)在R3中有兩種重要的變換柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo).利用柱面坐標(biāo)計算三重積分前面我們能夠看到，因?yàn)榉e分地區(qū)與被積函數(shù)的特色，二重積分能夠用極坐標(biāo)來計算．相同關(guān)于三重積分能夠用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算．我們先議論用柱面坐標(biāo)來計算三重積分．設(shè)空間中有一點(diǎn)Mx,y,z，其在座標(biāo)面xoy上的投影點(diǎn)M'的極坐標(biāo)為r,，這樣三個數(shù)z,r,就稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)（如圖12-4-4）．zM(x,y,z)yM’x圖12-4-4圖12-4-5這里規(guī)定三個變量的變化范圍是0r02，z注意到，當(dāng)r常數(shù)時，表示以z軸為中心軸的一個柱面．當(dāng)=常數(shù)時，表示經(jīng)過z軸，與平面xoy的夾角為的半平面．當(dāng)z常數(shù)時，表示平行于平面xoy，與平面xoy距離為z的平面．空間的點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間的關(guān)系,即是R3到R3的映照:xrcosyrsin．zz因此其Jacobi為

cosrsin0(x,y,z)rcos0r,sin(r,,z)010故簡單獲得:假如f(x,y,z)是R3中的有界可求體積的閉地區(qū)V上的可積函數(shù),則fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddz,VV此中,變換前后地區(qū)都用V表示.我們也能夠從幾何直觀的意義來描繪這個公式的由來.用三組坐標(biāo)面rC1,C1,zC3將積分地區(qū)區(qū)分為若干個小地區(qū)，考慮此中有代表性的地區(qū)，如圖12-4-5所示的地區(qū)能夠當(dāng)作是由底面圓半徑為r和rdr兩個圓柱面，極角為和d的兩個半平面，以及高度為z和zdz的兩個平面所圍成的．它能夠近似的看作一個柱體，其底面的面積為rdrd，高為dz．因此其體積為柱面坐標(biāo)下的體積元素，即dVrdrddz．再利用兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系，能夠獲得fx,y,zdVfrcos,rsin,zrdrddz．VV在柱面坐標(biāo)下的三重積分的計算也是化為三次積分．例2計算三重積分x2y2dV，此中是由橢圓拋物面z4x2y2和平面4所圍成的地區(qū)．解以下圖，積分地區(qū)在座標(biāo)面xoy上的投影是一個圓心在原點(diǎn)的單位圓．所以0r1,02,4r2z4．于是x2y2dVr2rdrddz21r2rdr40d4r2dz0214r34r5dr20d03圖12-4-62．利用球面坐標(biāo)計算三重積分我們知道球面坐標(biāo)用數(shù)r,,來表示空間的一個點(diǎn)．設(shè)有直角坐標(biāo)系的空間點(diǎn)Mx,y,z，點(diǎn)M在座標(biāo)面xoy上的投影M'，此中r|OM|，為x軸到射線OM'轉(zhuǎn)角．為向量OM與z軸的夾角．如圖12-4-7．規(guī)定三個變量的變化范圍是0r02．0我們能夠看到，注意到，當(dāng)r常數(shù)時，表示以原點(diǎn)為球心的球面．當(dāng)=常數(shù)時，表示經(jīng)過z軸的半平面．當(dāng)常數(shù)時，表示以原點(diǎn)為極點(diǎn)，z軸為中心的錐面．M’兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系以下：xrsincosyrsinsin．圖12-4-7zrcos即又是一個即是R3到R3的映照.它的Jacobi是(x,y,z)sincosrcossinrsinsinsinsinrcoscosrsincosr2sin,(r,,)cosrsin0由一般的重積分變換公式簡單獲得

:假如

f(x,y,z)

是R3中的有界可求體積的閉地區(qū)

V上的可積函數(shù)

,則fx,y,zdV

frsin

cos

,rsin

sin

,rcos

r2sindrdd

,V

V此中,變換前后地區(qū)都用V表示.用幾何直觀的意義能夠以下理解

:已知

f(x,y,z)

閉地區(qū)

V上的可積函數(shù)

.用三組坐標(biāo)

r

常數(shù)，

常數(shù)，

常數(shù)，將積分地區(qū)

V區(qū)分為若干個小的地區(qū)

.

考慮此中有代表性的地區(qū)，此小地區(qū)能夠當(dāng)作是有半徑為

r和r

dr

的球面，極角為

和d

的半平面，與中心軸夾角為

和

d

的錐面所圍成，它能夠近似的看作邊長分別是dr,rd,rsind的小長方體，進(jìn)而獲得球面坐標(biāo)系下的體積元素為dVr2sindrdd．再由直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)之間的關(guān)系，能夠獲得下邊的公式fx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosr2sindrdd．VV例3計算三重積分x2y2dV，此中是右半球面x2y2z2a2,y0所圍成的地區(qū)．解在球面坐標(biāo)下，積分地區(qū)能夠表示為{0ra,0,0}因此x2y2dVr2sin2r2sindrdddda4sin3dr0r001ad0sin3r5d0505a5cos1cos34a53015與二重積分,三重積分相同能夠定義一般n重積分.我們這里不過簡單介紹.當(dāng)V是Rn中的有界閉地區(qū).依據(jù)可求面積的方法定義V的可求“體積”或可測(略).設(shè)f(x1,x2,,,xn,)是Rn中的有界可測閉地區(qū)V上的函數(shù),任取V的分劃P,,即把分紅若干個可測小地區(qū)V1,V2,,Vm,它們的”體積”或測度分別記為V1,V2,,Vm,當(dāng)令disup|Q1Q2||Q1,Q2Vi,|Q1Q2|表示兩點(diǎn)的距離,||P||maxd1,d2,,dm,對任取(x1(i),x2(i),,xn(i))Vi,(i1,2,,m),假如m(i)(i)(i)lim,)Vi存在12n12n||P||01if(x,x,,,x,)在V上的n重積分,記為12nnnf(x1,x2,,xn)dV或f(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn.VV特別當(dāng)V=[a1,b1]×[a2,b2]××[an,bn]時,nb1b2bnf(x1,x2,,xn)dx1dx2dxndx1dx2f(x1,x2,,xn)dxn.Va1a2an若V上有一一映照Tx1x1(u1,u2,,un)T:x2x2(u1,u2,,un)，其每個重量的函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，xnxn(u1,u2,,un)當(dāng)V是有界可測地區(qū)，f(x1,x2,,,xn,)在T(V)上可積，而且Jacobix1x1x1u1u2un(x1,x2,,xn)x2x2x2u1u2un0,(u1,u2,,un)V(u1,u2,,un)xnxnxnu1u2un那么nf(x1,x2,,xn)dx1dx2dxnT(V)nf(x1(u1,u2,,un),x2(u1,u2,,un),,xn(u1,u2,,un))V(x1,x2,,xn)du1du2dun(u1,u2,,un).特別是Rn中的球坐標(biāo)變換T:x1rcos1,x2rsin1cos2,x3rsin1sin2cos3,,xn1rsin1sin2sin3sinn2cosn1,xnrsin1sin2sin3sinn2sinn1,在Rn中,0r,01,2,3,n2,0n12.這時的Jacobi是x1x1x1r1n1(x1,x2,,xn)x2x2x2rn1sinn21sinn3,r1n12sinn2。(r,1,n1)xnxnxnr1n1相同能夠獲得相應(yīng)的公式.n例4求dx1dx2dxn.x2x2x2R212n解用球坐標(biāo).這時,0rR,01,2,3,n2,0n12.,nR2dx1dx2dxndrd1dn2rn1sinn21sinn32sinn2dn1x12x22xn2R20000Rnn2n312,此中ksinkxdxk1,2,.n,0nR2mm,n2mm