絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法

絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法1．絕對(duì)值不等式的解法(1)．含絕對(duì)值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a①

.②

.③

.|x|＞a④

.⑤

.⑥

.－a＜x＜a??x＞a或x＜－aR|x|以及|x－a|＋|x－b|表示的幾何意義是什么？提示|x|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到原點(diǎn)O的距離；|x－a|＋|x－b|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a、b的距離之和．(2)|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)的解法(1)|ax＋b|＞c?⑦

.(2)|ax＋b|＜c?⑧

.(3)|f(x)|＜g(x)或|f(x)|＞g(x)的解法(1)|f(x)|＜g(x)?⑨ ．(2)|f(x)|＞g(x)?⑩

或?

．a(chǎn)x＋b＞c或ax＋b＜－c－c＜ax＋b＜c－g(x)＜f(x)＜g(x)f(x)＞g(x)f(x)＜－g(x)2．一元二次不等式的解集R

??【解析】

|2x－6|≤4?－4≤2x－6≤4?1≤x≤5【答案】

B【答案】

A【答案】

C4．不等式2≤x2－2x＜8的解集是________．1．解絕對(duì)值不等式關(guān)鍵是正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，去絕對(duì)值常用的方法是定義法和平方法．2．含兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，欲去掉絕對(duì)值符號(hào)，需先找出零點(diǎn)，劃分區(qū)間，利用零點(diǎn)分段討論，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)．常用方法有：(1)零點(diǎn)分段法根據(jù)絕對(duì)值的定義，利用零點(diǎn)分段法解決含兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式是一種非常有效的方法，如解不等式|x－a1|＋|x－a2|＞b(a1＜a2)，x－a1的正負(fù)以x＝a1為界，x－a2的正負(fù)以x＝a2為界，而a1，a2將數(shù)軸分成三個(gè)區(qū)間：(－∞，a1)，[a1，a2]，(a2，＋∞)．以上述三個(gè)區(qū)間為分類標(biāo)準(zhǔn)，分三種情況討論去絕對(duì)值符號(hào)．(2)利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法，把絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩個(gè)定點(diǎn)a1、a2的距離之和(差)．

解不等式：(1)3＜|2x－3|＜5；(2)|x－1|＋|x＋2|＜5.由①得2x－3＞3，或2x－3＜－3，解得x＞3，或x＜0.由②得－5＜2x－3＜5，解得－1＜x＜4.如圖所示，所以原不等式的解集為法二因?yàn)椴坏仁?＜|y|＜5的解易求得是－5＜y＜－3，或3＜y＜5.用2x－3替換y，所以原不等式可化為－5＜2x－3＜－3，或3＜2x－3＜5.分別解之，得－1＜x＜0，或3＜x＜4.則原不等式的解集為(－1,0)∪(3,4)．(2)法一分別求|x－1|、|x＋2|的零點(diǎn)，即1，－2.由－2,1把數(shù)軸分成三部分：x＜－2，－2≤x≤1，x＞1.當(dāng)x＜－2時(shí)，原不等式即1－x－2－x＜5，解得－3＜x＜－2；當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，原不等式即1－x＋2＋x＜5，因?yàn)?＜5恒成立，所以－2≤x≤1時(shí)原不等式成立；當(dāng)x＞1時(shí)，原不等式即x－1＋2＋x＜5，解得1＜x＜2.[修正記錄]________________________________________________________________________[方法探究]

對(duì)于第(1)題，可以從以下角度考慮：①由于原不等式等價(jià)于|2x－3|＞3且|2x－3|＜5，因此可先分別解出兩個(gè)絕對(duì)值不等式的解集，然后求其交集．②根據(jù)絕對(duì)值的含義．1．解下列關(guān)于x的不等式：(1)|x＋1|＞|x－3|；(2)|x－x2－2|＞x2－3x－4.【解析】

(1)法一兩邊平方，得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.法二

分段討論．當(dāng)x≤－1時(shí)，有－x－1＞－x＋3，此時(shí)x∈?，當(dāng)－1＜x≤3時(shí)，有x＋1＞－x＋3，即x＞1，∴此時(shí)1＜x≤3.當(dāng)x＞3時(shí)，有x＋1＞x－3，∴x＞3，法三

數(shù)形結(jié)合．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|x－a|就是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)P與表示a的點(diǎn)A之間的距離．|x＋1|＞|x－3|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)－1大于到點(diǎn)3的距離，而當(dāng)x＝1時(shí)，|x＋1|＝|x－3|，一元二次不等式的解法步驟1．將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2．看判別式Δ的符號(hào)；3．求出相應(yīng)一元二次方程的根(若根存在)；4．根據(jù)二次函數(shù)圖象、一元二次方程的根與不等式解集的關(guān)系，結(jié)合不等號(hào)定解集．注意(1)常通過因式分解合并上述第(1)、(2)兩步．(2)當(dāng)解含有參數(shù)的二次不等式問題時(shí)，一定要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否含有待定字母(或含有字母的因式)，若有就要分二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零進(jìn)行討論．

解關(guān)于x的不等式．(1)x2＋(a＋b)x＋ab＞0(2)x2－2|x|－15≥0(3)ax2－(2a＋1)x＋2＜0【我先解答】

(1)原不等式可化為(x＋a)(x＋b)＞0，當(dāng)－a＜－b即a＞b時(shí)，解集為{x|x＜－a或x＞－b}；當(dāng)－a＝－b即a＝b時(shí)，解集為{x|x≠－a}；當(dāng)－a＞－b，即a＜b時(shí)，解集為{x|x＜－b或x＞－a}；(2)∵x2＝|x|2∴不等式可化為(|x|－5)(|x|＋3)≥0∵|x|＋3＞0∴|x|－5≥0∴x≤－5，或x≥5故不等式解集為{x|x≤－5或x≥5}．(3)原不等式可化為(ax－1)(x－2)＜0[修正記錄]________________________________________________________________________[方法探究]

一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的工具性知識(shí)，必須熟練掌握一元二次不等式的解法，確保準(zhǔn)確快速地寫出解集，為此需要做好以下幾點(diǎn)：(1)用好“十字相乘法”進(jìn)行因式分解快速找根，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)和不等號(hào)方向?qū)懗鼋饧?2)含參數(shù)的不等式，要分類討論，影響解集的三個(gè)要素是二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)、判別式符號(hào)和兩根大小關(guān)系；(3)注意不等號(hào)中含等號(hào)時(shí)解集的寫法和Δ＜0時(shí)，解集是?還是R.2．解下列關(guān)于x的不等式：(1)x－a2＜(x－a2)2；(2)(x－a)(a2－x)≤0；(3)(x2－2)2－3x2＋8≥0.【解析】

(1)由x－a2＜(x－a2)2，得(x－a2)[x－(a2＋1)]＞0.∵a2＜a2＋1，∴x＜a2或x＞a2＋1.(2)原不等式等價(jià)于(x－a)(x－a2)≥0，①當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，有a2＞a，③當(dāng)a＝0，有x2≥0，當(dāng)a＝1有(x－1)2≥0，∴當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解集為R.(3)法一不等式化為(x2－2)2－3(x2－2)＋2≥0∴(x2－2－1)(x2－2－2)≥0即(x2－3)(x2－4)≥0∴x2≤3或x2≥41．解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．2．對(duì)于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．

當(dāng)a為何值時(shí)，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是全體實(shí)數(shù)？【我先解答】①a2－1≠0，即a≠±1時(shí)，原不等式的解集為R的條件是②當(dāng)a2－1＝0，即a＝±1時(shí)，當(dāng)a＝1，則原不等式為－1＜0，恒