線性定常系統(tǒng)的綜合

線性定常系統(tǒng)的綜合

分析（建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的各種性能）控制系統(tǒng)研究的兩大課題綜合（設(shè)計(jì)控制器，尋求改善改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律）常規(guī)綜合（僅僅是系統(tǒng)性能滿足某種籠統(tǒng)的要求）綜合最優(yōu)綜合（確保系統(tǒng)指標(biāo)的某種意義下達(dá)到最優(yōu)）5.1線性反饋系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點(diǎn)配置問(wèn)題5.4系統(tǒng)解耦問(wèn)題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題5.1線性反饋系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點(diǎn)配置問(wèn)題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題5.1.1狀態(tài)反饋5.1.2輸出反饋‘5.1.3從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)x的反饋5.1.4動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器5.1.5閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性§5-1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性

在現(xiàn)代控制理論中，控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和經(jīng)典控制理論一樣，仍然是由受控對(duì)象和反饋控制器兩部分構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)。

不過(guò)在經(jīng)典理論中習(xí)慣于采用輸出反饋，而在現(xiàn)代控制理論中則更多地采用狀態(tài)反饋。由于狀態(tài)反饋能提供更豐富的狀態(tài)信息和可供選擇的自由度，因而使系統(tǒng)容易獲得更為優(yōu)異的性能。5.1.1狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律作為受控系統(tǒng)的控制輸入。

圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(5-1)式中簡(jiǎn)記為若D=0，則受控系統(tǒng)(5-2)

狀態(tài)線性反饋控制律u為(5-3)其中v—r×1維參考輸入；

K—r×n維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對(duì)單輸入系統(tǒng)，K為1×n維行矢量。

把式(5-3)代入(5-1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(5-4)若D=0，則(5-5)簡(jiǎn)記為閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣(5-6)比較開(kāi)環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)

可見(jiàn)，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過(guò)K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。5.1.2輸出反饋

輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。

受控系統(tǒng)(5-7)或(5-8)式中H—rm維輸出反饋增益陣。對(duì)單輸出系統(tǒng)，H為r1維列矢量。輸出線性反饋控制律為(5-9)(5-10)

閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可由(5-7)代入(5-9)整理得(5-11)

再把式(5-11)代入(5-7)求得(5-12)

由式(5-13)可見(jiàn)，通過(guò)選擇輸出反饋增益陣H也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。簡(jiǎn)記為若D=0，則(5-13)

(5-14)輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為(5-15)則W0(s)和WH(s)存在下列關(guān)系(5-16)或(5-17)

比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC與狀態(tài)反饋中的K相當(dāng)。但由于m<n，所以H可供選擇的自由度遠(yuǎn)比K小，因而輸出反饋只能相當(dāng)于一種部分狀態(tài)反饋。只有當(dāng)C=I時(shí)，HC=K，才能等同于全狀態(tài)反饋。

因此，在不增加補(bǔ)償器的條件下，輸出反饋的效果顯然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。但輸出反饋在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的方便性則是其突出優(yōu)點(diǎn)。5.1.3、從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋

從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的線性反饋形式在狀態(tài)觀測(cè)器中獲得應(yīng)用。圖5-3表示了這種反饋結(jié)構(gòu)。設(shè)受控系統(tǒng)(5-18)

加入從輸出y到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的反饋增益陣Gnm，可得閉環(huán)系統(tǒng)(5-19)將式(5-19)中的y代入整理得(5-20)若D=0，則(5-21)記作

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣(5-22)

從式(5-21)看出，通過(guò)選擇矩陣G也能改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而影響系統(tǒng)的特性。5.1.4動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器

上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。

在更復(fù)雜的情況下，常常要通過(guò)引入一個(gè)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)來(lái)改善系統(tǒng)性能，這種動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器。它與受控系統(tǒng)的連接方式如圖5-4所示。

這類系統(tǒng)的典型例子是使用狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的維數(shù)等于受控系統(tǒng)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器二者維數(shù)之和。采用反饋連接比采用串聯(lián)連接容易獲得更好的性能。其中圖5-4a為串聯(lián)連接，圖5-4b為反饋連接。5.1.5閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性

引入各種反饋構(gòu)成閉環(huán)后，系統(tǒng)的能控性與能觀性是關(guān)系能否實(shí)現(xiàn)狀態(tài)控制與狀態(tài)觀測(cè)的重要問(wèn)題。定理狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)0(A,B,C)的能控性。但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。證明只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。比較式(5-24)和式(5-23)兩個(gè)矩陣的各對(duì)應(yīng)分塊，可以看到：第一塊B相同。(5-23)

(5-24)

受控系統(tǒng)0和狀態(tài)反饋系統(tǒng)k的能控判別陣為第二塊其中(KB)是一常陣，因此(A+BK)B的列矢量可表示成[BAB]的線性組合。的列矢量可用[BABA2B]的線性組合表示。同理，第三塊

因此Qck可看作是由Qc0經(jīng)初等變換得到的，而矩陣作初等變換并不改變矩陣的秩。所以Qck與Qc0

的秩相同，定理得證。其余各分塊類同。

狀態(tài)反饋不保持系統(tǒng)的能觀性，可作如下解釋。

例如，對(duì)單輸入—單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋會(huì)改變系統(tǒng)的極點(diǎn)，但不影響系統(tǒng)的零點(diǎn)。這樣就有可能使傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，因而破壞了系統(tǒng)的能觀性。

實(shí)際上，受控系統(tǒng)0(A,b,c)的傳遞函數(shù)為(5-25)將0的能控標(biāo)準(zhǔn)I型代入上式，得(5-26)比較式(5-26)和式(5-27)，可以看出，引入狀態(tài)反饋后傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式不變，即零點(diǎn)保持不變。但分母多項(xiàng)式的每一項(xiàng)系數(shù)均可通過(guò)選擇K而改變，這就有可能使傳遞函數(shù)發(fā)生零極點(diǎn)相消而破壞系統(tǒng)的能觀性。引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(5-27)

[例5-l]

試分析系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋K=[-10]后的能控性與能觀性。解容易驗(yàn)證原系統(tǒng)是能控且能觀的。因?yàn)楹图尤隟=[-10]后，得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣相應(yīng)地有滿秩降秩

可見(jiàn)引入狀態(tài)反饋K=[-10]后，閉環(huán)系統(tǒng)保持能控性不變，卻破壞了系統(tǒng)的能觀性。

實(shí)際上這反映在傳遞函數(shù)上出現(xiàn)了零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。因?yàn)槎ɡ磔敵龇答伈桓淖兪芸叵到y(tǒng)0(A,B,C)的能控性和能觀性。證明關(guān)于能控性不變。

若把(HC)看成等效的狀態(tài)反饋陣K，那么狀態(tài)反饋便保持受控系統(tǒng)的能控性不變。(5-28)因?yàn)殛P(guān)于能觀性不變。由能觀判別矩陣

仿照前一定理的證明方法，同樣可以把Q0H看作是Q00經(jīng)初等變換的結(jié)果。而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀性保持不變。(5-29)(5-30)和5.1線性反饋系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點(diǎn)配置問(wèn)題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題5.2.1采用狀態(tài)反饋5.2.2采用輸出反饋‘5.2.3采用從輸出到X導(dǎo)數(shù)的反饋5.4系統(tǒng)解耦問(wèn)題§5-2極點(diǎn)配置問(wèn)題

控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。因此，作為綜合系統(tǒng)性能指標(biāo)的一種形式，往往是給定一組期望極點(diǎn)，或者根據(jù)時(shí)域指標(biāo)轉(zhuǎn)換成一組等價(jià)的期望極點(diǎn)。

極點(diǎn)配置問(wèn)題，就是通過(guò)選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。

在經(jīng)典控制理論中所介紹的根軌跡法就是一種極點(diǎn)配置法，不過(guò)它只是通過(guò)改變一個(gè)參數(shù)使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)沿著某一組特定的根軌跡曲線配置而已。

本節(jié)討論在指定極點(diǎn)分布情況下，如何設(shè)計(jì)反饋增益陣的問(wèn)題。簡(jiǎn)單起見(jiàn)只討論單輸入一單輸出系統(tǒng)。

因此，廣義地說(shuō)，不論綜合系統(tǒng)的性能指標(biāo)怎樣不同，實(shí)質(zhì)都是運(yùn)用各種技術(shù)手段(特別是反饋)來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)零點(diǎn)的重新配置，以期獲得所期望的性能。5.2.1采用狀態(tài)反饋定理采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)0(A,b,c)任意配置極點(diǎn)的充要條件是0完全能控。證明只證充分性。若0完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋必成立式中f*(

)—期望特征多項(xiàng)式。式中ai*(i=1,2,…,n)—期望的閉環(huán)極點(diǎn)(實(shí)數(shù)極點(diǎn)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn))。1)若0完全能控，必存在非奇異變換式中TcI—能控標(biāo)準(zhǔn)I型變換矩陣。能將0化成能控標(biāo)準(zhǔn)I型式中受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(5-34)2)加入狀態(tài)反饋增益陣(5-35)式中可求得對(duì)的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式(5-36)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為(5-37)閉環(huán)傳遞函數(shù)為(5-38)3)使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿足由等式兩邊同次冪系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，可解出反饋陣各系數(shù)(5-39)于是得4)最后，把對(duì)應(yīng)于的，通過(guò)如下變換，得到對(duì)應(yīng)于狀態(tài)x的K。(5-40)這是由于的緣故。[例5-2]

設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2，-1

j。其結(jié)構(gòu)如圖5-5所示。解1)因?yàn)閭鬟f函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，所以原系統(tǒng)能控且能觀?？芍苯訉懗鏊哪芸貥?biāo)準(zhǔn)I型實(shí)現(xiàn)。2)加入狀態(tài)反饋陣K=[k0k1k2]如圖5-5中虛線所示。閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為3)根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得期望特征多項(xiàng)式4)比較f(

)與f*(

)各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得即

由上例可見(jiàn)，如果一開(kāi)始就采用能控標(biāo)準(zhǔn)形，可以免去狀態(tài)變換，就可根據(jù)特征多項(xiàng)式系數(shù)直接計(jì)算狀態(tài)反饋陣K。這樣做表面看似乎很簡(jiǎn)單。但是實(shí)際上由于能控標(biāo)準(zhǔn)形所需狀態(tài)變量信息難以檢測(cè)，往往給工程實(shí)現(xiàn)增加困難。

像例5-2的系統(tǒng)，如果按串聯(lián)分解法來(lái)選擇狀態(tài)變量，那么實(shí)現(xiàn)起來(lái)要方便得多。其結(jié)構(gòu)如圖5-6所示。對(duì)圖5-6a有各狀態(tài)變量x1,x2,x3實(shí)際上就是各子系統(tǒng)和的輸出，因而是易于檢測(cè)的。引入狀態(tài)反饋陣形成閉環(huán)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)如圖5-6b所示。將f(

)與f*(

)比較，得解出即閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較低時(shí)，根據(jù)原系統(tǒng)狀態(tài)方程直接計(jì)算反饋增益陣K的代數(shù)方程還比較簡(jiǎn)單，無(wú)需將它化成能控標(biāo)準(zhǔn)I型。

但隨著系統(tǒng)階數(shù)的增高，直接計(jì)算K的方程將愈加復(fù)雜。這時(shí)不如先將其化成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，用式(5-39)直接求出在下的，然后再按式(5-40)把換為原狀態(tài)x下的K。

計(jì)算，可根據(jù)系統(tǒng)方程與能控標(biāo)準(zhǔn)型之間的代數(shù)等價(jià)關(guān)系：(5-41)(5-42)(5-43)結(jié)合本例，可設(shè)代入式(5-41)至式(5-43)，可解得顯見(jiàn)，結(jié)果與前面計(jì)算的相同。于是由前面我們可以得出：1)選擇期望極點(diǎn)，是個(gè)確定綜合指標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題。一般應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

①對(duì)一個(gè)n維系統(tǒng)，必須指定n個(gè)實(shí)極點(diǎn)或共軛復(fù)極點(diǎn)。

②極點(diǎn)位置的確定，要充分考慮它們對(duì)于系統(tǒng)性能的主導(dǎo)影響及其與系統(tǒng)零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。同時(shí)還要兼顧系統(tǒng)抗干擾的能力和對(duì)參數(shù)漂移低敏感性的要求。2)對(duì)于單輸入系統(tǒng)只要系統(tǒng)能控必能通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，而且不影響原系統(tǒng)零點(diǎn)的分布。但如果故意制造零極點(diǎn)對(duì)消，那么，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是不能觀的。3)上述原理同樣適用于多輸入系統(tǒng)，但具體設(shè)計(jì)要困難得多。因?yàn)閷⒕C合指標(biāo)化為期望極點(diǎn)需要借助工程處理。其次，把受控系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型亦相當(dāng)麻煩。而且狀態(tài)反饋陣K的解也非唯一。此外，還可能改變系統(tǒng)零點(diǎn)的形態(tài)等。5.2.2采用輸出反饋定理對(duì)完全能控的單輸入—單輸出系統(tǒng)0(A,b,c)，不能采用輸出線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。式中W0(s)=c(sI-A)-1b—受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。證明對(duì)單輸入—單輸出反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為(5-44)

當(dāng)W0(s)已知時(shí)，以h(從0到)為參變量，可求得閉環(huán)系統(tǒng)的一組根軌跡。很顯然，不管怎樣選擇h，也不能使根軌跡落在那些不屬于根軌跡的期望極點(diǎn)位置上。定理因此得證。由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程可得閉環(huán)根軌跡方程(5-45)

不能任意配置極點(diǎn)，正是輸出線性反饋的基本弱點(diǎn)。為了克服這個(gè)弱點(diǎn)，在經(jīng)典控制理論中，往往采取引入附加校正網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的方法改變根軌跡走向，從而使其落在指定的期望位置上。在現(xiàn)代控制理論中，有如下定理。定理對(duì)完全能控的單輸入—單輸出系統(tǒng)0(A,b,c)，通過(guò)帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：

1)0完全能觀。

2)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。下面對(duì)定理作些說(shuō)明：1)在定理中，動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)等于n-1是任意配置極點(diǎn)的條件之一。但在處理具體問(wèn)題時(shí)，如果并不要求“任意”配置極點(diǎn)，那么，所選補(bǔ)償器的階數(shù)可進(jìn)一步降低。2)這種閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)，在串聯(lián)連接情況下，是受控系統(tǒng)零點(diǎn)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器零點(diǎn)的總和；在反饋連接情況下，則是受控系統(tǒng)零點(diǎn)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器極點(diǎn)的總和。5.1.3采用從輸出到反饋定理

對(duì)系統(tǒng)0(A,b,c)采用從輸出到的線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是0完全能觀。證明

根據(jù)對(duì)偶原理，如果0(A,b,c)能觀，則必能控，因而可以任意配置的特征值。而的特征值和的特征值相同因此，對(duì)任意配置極點(diǎn)就等價(jià)于對(duì)任意配置極點(diǎn)。又因?yàn)橛谑窃O(shè)計(jì)0輸出反饋陣G的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣的問(wèn)題。具體步驟如下：（1）

取線性變換式中—能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型變換矩陣。(5-46)將系統(tǒng)0(A,b,c)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型。(5-47)式中(2)引入反饋陣后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(5-48)閉環(huán)特征多項(xiàng)式(5-49)(3)由期望極點(diǎn)得期望特征多項(xiàng)式(5)將在下求得的變換到x狀態(tài)下使得(4)比較f(

)與f*(

)各項(xiàng)系數(shù)，可解出即(5-50)

與求狀態(tài)反饋陣K的情況類似，當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)較低時(shí)，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型，通過(guò)直接比較特征多項(xiàng)式系數(shù)來(lái)確定G矩陣。[例5-3]設(shè)系統(tǒng)試選擇反饋增益陣G，將其極點(diǎn)配置為-5，-8。解(1)檢驗(yàn)?zāi)苡^性。因?yàn)橄到y(tǒng)能觀。(2)設(shè)，得閉環(huán)特征多項(xiàng)式(3)期望特征多項(xiàng)式為(4)比較系數(shù)得閉環(huán)系統(tǒng)模擬圖如圖5-7所示?！?-3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題

受控系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋或輸出反饋或從輸出到x的導(dǎo)數(shù)反饋，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，這樣的問(wèn)題稱為鎮(zhèn)定問(wèn)題。鎮(zhèn)定問(wèn)題實(shí)際上是極點(diǎn)配置問(wèn)題的一種特殊情況，不必配置極點(diǎn)到特定的位置，只要求閉環(huán)極點(diǎn)在根平面作半部即可。

鎮(zhèn)定問(wèn)題的重要性主要體現(xiàn)在2個(gè)方面

1、穩(wěn)定性往往是控制系統(tǒng)能夠正常工作的必要條件,是對(duì)控制系統(tǒng)的最基本的要求。

2、許多實(shí)際的控制系統(tǒng)是以漸近穩(wěn)定作為最終設(shè)計(jì)目標(biāo)

定理對(duì)系統(tǒng)0(A,B,C)，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。證明

(1)設(shè)系統(tǒng)0(A,B,C)不完全能控，因此通過(guò)線性變換可將其按能控性分解為(5-52)式中—能控子系統(tǒng)；

—不能控子系統(tǒng)。(3)由于與0(A,B,C)在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)。考慮對(duì)引入狀態(tài)反饋陣(2)由于線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有(5-53)于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣(5-55)閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式(5-56)例：給定線性定常系統(tǒng)試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K,使系統(tǒng)鎮(zhèn)定.首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。表明系統(tǒng)不完全能控。取能控性分解變換矩陣Pc為：于是可得

原系統(tǒng)的能控性分解為

由于該系統(tǒng)的不能控部分只有一個(gè)具有負(fù)實(shí)部的極點(diǎn)-1,因此不能控子系統(tǒng)是穩(wěn)定的,系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的。

對(duì)能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置

由前面可知，系統(tǒng)的能控部分為：設(shè)A*為具有期望特征值的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣且本例中設(shè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)取為-3和-2。因此，顯然，當(dāng)反饋矩陣為

此時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A*為求取原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定矩陣經(jīng)檢驗(yàn),經(jīng)狀態(tài)反饋后得到的如下閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為鎮(zhèn)定的。定理系統(tǒng)0(A,B,C)通過(guò)輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的；其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明(1)對(duì)0(A,B,C)進(jìn)行能控性能觀性結(jié)構(gòu)分解(5-57)

因?yàn)楹驮谀芸匦?、能觀性和能鎮(zhèn)定性上完全等價(jià)，所以對(duì)引入輸出反饋陣H，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣(5-58)閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式(5-59)式(5-59)表明，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奶卣髦稻哂胸?fù)實(shí)部，閉環(huán)系統(tǒng)才是漸近穩(wěn)定的。定理得證。定理對(duì)系統(tǒng)0(A,B,C)，采用從輸出到反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。其中—能觀子系統(tǒng)；

—不能觀子系統(tǒng)。證明

(1)將系統(tǒng)0(A,B,C)進(jìn)行能觀性分解，得開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式(2)因?yàn)楹偷哪苡^性、穩(wěn)定性等價(jià)，考慮對(duì)引入從輸出到的反饋陣(5-63)式(5-63)表明，引入反饋陣，只影響的特征值。因此，要使系統(tǒng)獲得鎮(zhèn)定，僅在為漸近穩(wěn)定時(shí)才能做到。(5-62)于是有5.1線性反饋系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點(diǎn)配置問(wèn)題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題5.4.1前饋補(bǔ)償器解耦5.4.2狀態(tài)反饋解耦5.4系統(tǒng)解耦問(wèn)題§5-4系統(tǒng)解耦問(wèn)題

解耦問(wèn)題是多輸入—多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分。

其設(shè)計(jì)目的是尋求適當(dāng)?shù)目刂坡桑馆斎胼敵鱿嗷リP(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入所控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問(wèn)題稱為解耦問(wèn)題。

設(shè)(A,B,C)是一個(gè)m維輸入，m維輸出的受控系統(tǒng)，即(5-64)若其傳遞函數(shù)陣是一個(gè)對(duì)角形有理多項(xiàng)式矩陣，則稱該系統(tǒng)是解耦的。(5-65)

由式(5-65)可見(jiàn)，一個(gè)多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦以后，可被看作為一組相互獨(dú)立的單變量系統(tǒng)，從而可實(shí)現(xiàn)自治控制。圖5-8表示了這種系統(tǒng)的特點(diǎn)。

要完全解決上述解耦問(wèn)題，必須回答兩個(gè)方面問(wèn)題：一是確定系統(tǒng)能夠被解耦的充要條件，即能解耦性的判別問(wèn)題。二是確定解耦控制律和解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，即解耦系統(tǒng)的具體綜合問(wèn)題。這兩個(gè)問(wèn)題的解決隨解耦方法的不同而不同。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦，目前主要有兩種方法：1)前饋補(bǔ)償器解耦這種方法最簡(jiǎn)單，只是在待解耦系統(tǒng)的前面串接一個(gè)前饋補(bǔ)償器，使串聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣成為對(duì)角形的有理函數(shù)矩陣。顯然，這種方法將使系統(tǒng)的維數(shù)增加。2)狀態(tài)反饋解耦這種方法雖然不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但其實(shí)現(xiàn)解耦的條件要比前者苛刻得多。本節(jié)重點(diǎn)討論這種方式。前饋補(bǔ)償器解耦的框圖如圖5-9所示。5.4.1前饋補(bǔ)償器解耦圖中W0(s)—待解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣；

Wd(s)—前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣。根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣(5-66)式(5-68)表明，只要待解耦系統(tǒng)W0(s)滿秩，則總可以設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償器，使系統(tǒng)獲得解耦。至于解耦后各獨(dú)立子系統(tǒng)所要求的特性則可由Wii(s)給予確定。式中W(s)—串接補(bǔ)償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣(5-67)顯然，只要存在，則串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣為(5-68)5.4.2狀態(tài)反饋解耦1．狀態(tài)反饋解耦中的幾個(gè)特征量狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖5-10所示。圖中虛線框內(nèi)—待解耦系統(tǒng)0(A