20140420等差數(shù)列的性質(zhì)總結

等差數(shù)列的性質(zhì)總結1.等差數(shù)列的定義：a—a=d(d為常數(shù))(n>2)；nn—12．等差數(shù)列通項公式：a=a+(n—1)d=dn+a—d(neN*)n1推廣：an3．等差中項(1)如果a，=a+(n—m)d.m,首項：a，公差:d，末項：a1na—a從而d=-nm;n—m或2A=a+b2=a+ann+2A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項.即：A=a+b(2)等差中項：數(shù)列｝是等差數(shù)列O2a=a+a(n>2)O2annn-1n+1n+14.等差數(shù)列的前n項和公式：n(a+a)n(n—1)d1S=1n=na+d=n2+(a——d)n=An2+Bnn212212(其中A、B是常數(shù)，所以當dHO時，Sr是關于n的二次式且常數(shù)項為0)特別地，當項數(shù)為奇數(shù)2n+1時，a是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(2n+1)(a+a)z；=1=(2n+1)a(項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項)n+1S2n+125．等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：若a—an(2)等差中項：數(shù)列⑶數(shù)列｝是等差數(shù)列Oa=kn+b(其中k,b是常數(shù))。(4)數(shù)列紜｝是等差數(shù)列OS=An2+Bn,(其中A、B是常數(shù))。n6．等差數(shù)列的證明方法定義法：若a—a=d或a—a=d(常數(shù)neN*)Ola｝是等差數(shù)列.nn—1n+1nn7.提醒：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a、d、n、a及S,1nn作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。(2)設項技巧：一般可設通項a=a+(n—1)dn1奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為…，a—2d,a—d,a,a+d,a+2d…(公差為d)；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為…，a—3d,a—d,a+d,a+3d,?(注意；公差為2d)8..等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當公差d豐0時，等差數(shù)列的通項公式a=a+(n—1)d=dn+a—d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；n11n(n—1)dd前n和S=na+d=n2+(a-石)n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.n12212若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0，則為常2n^1=d或a—a=d(常數(shù)neN*)O｛2｝是等差數(shù)列.n—1n+1nnla)是等差數(shù)列O2a=a+a(n>2)O2a=a+annn-1n+1n+1nn+2其中a、d稱1(2)數(shù)列。(3)當m+n=p+q時，則有a+a=a+a，特別地，當m+n=2p時，則有a+a=2a.mnpqmnp注：a+a=a+a=a+a=??-，1n2n—13n—2(4)若｛a｝、｝為等差數(shù)列，則｛M+：｝，｛九a+九b｝都為等差數(shù)列nnn1n2n(5)若｛a｝是等差數(shù)列，則S,S—S,S—S，…也成等差數(shù)列nn2nn3n2n(6)數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，每隔k(keN*)項取出一項(a,a,a,a,…H乃為等差數(shù)列nmm+km+2km+3k(7)設數(shù)列b｝是等差數(shù)列,(7)設數(shù)列b｝是等差數(shù)列,n1?當項數(shù)為偶數(shù)2n時，d為公差，S奇是奇數(shù)項的和，S偶是偶數(shù)項項的和,S是前n項的和nn(a+a)=1亠=na2n一12nn(a+a)S=a+a+a++a=2s=na偶2462n2n+1S-S=na-na=n(a-a)=nd偶奇n+1nn+1nSnaa奇==n—Snaa偶n+1n+1S=a+a+a++a奇135Sn偶(8)｝、n｛b｝的前n和分別為Sn偶(8)｝、n｛b｝的前n和分別為A、B，nnn(2n-1)aJ=f(2n一1).I2n-1a則廠(2n-1)廠Bn且A=f(n),n(9)等差數(shù)列｛a｝的前n項和S=n，前m項和S=m,nmn則前m+n項和S-(m+n)m+n2、當項數(shù)為奇數(shù)2n+1時，貝I」S=S+S=(2n+1)a[S=(n+1)aSn+1V2n+1奇偶n+1<奇n+1—奇=S一S=aIS=na、奇偶n+1「偶n+1n+1(其中a是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項).n+1(10)求S的最值n法一：因等差數(shù)列前n項和是關于n的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特法二：(1)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和即當>0，即當>0，d<0,由Vn/c可得S達到最大值時的n值.a<0nn+1(2)“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。即當a<0即當a<0，d>0，由或求b｝中正負分界項n可得S達到最小值時的n值.a>0nn+1nS則其對稱軸為n=q法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前S則其對稱軸為n=q數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，S取最大值(或最小值)。若S=np注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運用條件轉化為關于a和d的方程；1巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量.例1］在等差數(shù)列｛an｝中，（丄）已知。:+冬+花+九二36，求si6（2）已知a=20，求S計6ii［例2］有一項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比［例3］若兩個等差數(shù)列的前n項和之比是（7n+1）：4n+27）,試求它們的第11項之比.［例4］等差數(shù)列｛a^的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為A.30B.170C.210D.260［例5］在a,b之間插入10個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列，求這10個數(shù)的和.［例6］在凸多邊形中，已知它的內(nèi)角度數(shù)組成公差為5°的等差數(shù)列，且最小角是120°，試問它是幾邊形？［例7］求集合M=｛m丨m=7n,n^N*,且mV100｝的元素個數(shù)，并求這些元素的和.［例8］已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310,前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎?［例9］已知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，S是其前n項和.nn求證：S6,S12-S6,S18-S12成等差數(shù)列，設其kUN*,Sk,S2,-S,,S3,-S2,成等差數(shù)列嗎?61261812k2kk3k2k［例10］已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，s>0,S9=S17，試問n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？最大值為多少？［例11］在數(shù)列｛an｝中，叮1,%=耳，求數(shù)列｛anan+1｝的前n項和.n［例12］設等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S,已知a=12,?>0,S13<O.nn31213⑴求公差d的取值范圍；(2)指出S］,S2，…，S12中哪一個值最大？并說明理由.［例13］首項為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝,它的前三項之和與前十一項之和相等，問此數(shù)列前多少項之和最大？［例14］數(shù)列｛a^是等差數(shù)列，ai=50,d=—0.6.(1)求從第n項開始有an<0；(2)求此數(shù)列的前n項和的最大值.二、經(jīng)典例題導講等差數(shù)列：［例1］已知數(shù)列1,4,7,10,…，3n+7，其中后一項比前一項大3.(1)指出這個數(shù)列的通項公式；(2)指出1+4+?+(3n—5)是該數(shù)列的前幾項之和.［例2］已知數(shù)列b｝的前n項之和為①S=2n2-n②S=n2+n+1TOC\o"1-5"\h\znnn求數(shù)列｝的通項公式。n［例3］已知等差數(shù)列｝的前n項之和記為S,S=10,S=70,則S等于nn103040［例4］等差數(shù)列b｝、￡｝的前n項和為S、T.若二二丁匕(neN),求'；nnnnT4n+27+bn7