導(dǎo)數(shù)與微分-教育-人民網(wǎng)

人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)第四講 不定積分.考試要求理解原函數(shù)的概念，理解不定積分的概念.掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分的性質(zhì),掌握換元積分法與分部積分法.會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分..考試內(nèi)容.原函數(shù)的概念定義：原函數(shù)定義如果錯(cuò)誤！未找到引用源。,或者錯(cuò)誤！未找到引用源。,則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。是錯(cuò)誤！未找到引用源。的原函數(shù).存在性：連續(xù)函數(shù)有原函數(shù).推論 初等函數(shù)在有定義的區(qū)間上有原函數(shù) .注：（1）原函數(shù)有無(wú)窮多 .（2）任意兩個(gè)原函數(shù)差一個(gè)常數(shù) ..不定積分的的概念與性質(zhì)定義：函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的全部原函數(shù){錯(cuò)誤！未找到引用源。}稱(chēng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。的不定積分,記作.錯(cuò)誤！未找到引用源。注：（1）不定積分不是一個(gè)函數(shù) , 而是一個(gè)函數(shù)的集合 .2）錯(cuò)誤！未找到引用源。性質(zhì)基本性質(zhì)： , 或者錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。, 或者錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。運(yùn)算性質(zhì)： =錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。注：當(dāng)積分號(hào)消失時(shí)加任意常數(shù).基本公式錯(cuò)誤！未找到引用源。,2.錯(cuò)誤！未找到引用源。,3.錯(cuò)誤！未找到引用源。,1人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)4.,,5.,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。6.錯(cuò)誤！未找到引用源。,7.,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。,9.錯(cuò)誤！未找到引用源。，10.，11.,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。12.,13.，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。14.，15..錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。16..錯(cuò)誤！未找到引用源。注：不能用初等函數(shù)表示的積分,錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！,.未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。四. 基本積分方法換元積分法：錯(cuò)誤！未找到引用源。2.常見(jiàn)換元公式（1）,（2）,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）,（4）,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（5）,錯(cuò)誤！未找到引用源。（6）,錯(cuò)誤！未找到引用源。（7）,錯(cuò)誤！未找到引用源。（8）錯(cuò)誤！未找到引用源。，令錯(cuò)誤！未找到引用源。，令錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤??；未找到引用源。（9），令錯(cuò)誤！未找到引用源。,.錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。2人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)（10），令錯(cuò)誤！未找到引用源。,或錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！,未找到引用源。（11），令，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（12），令錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。分母次數(shù)較高時(shí)，倒代換；錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到錯(cuò)誤！未找到引用源。引用源。3.分部積分法:錯(cuò)誤！未找到引用源。.注：反對(duì)冪三指（1），，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2），，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。Ⅲ．題型與例題【例1】 .錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】計(jì)算下列不定積分【例3】計(jì)算不定積分 .錯(cuò)誤！未找到引用源。【例4】求計(jì)算不定積分錯(cuò)誤！未找到引用源。【例5】錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】計(jì)算不定積分錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】求 .錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】（11317）（本題滿(mǎn)分 10分）3人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)求.錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】設(shè)，求錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?0】設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。有連續(xù)導(dǎo)函數(shù),且,求錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。4人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)第五講 定積分及其應(yīng)用.考試要求理解定積分的概念．掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分．理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓－萊布尼茨公式．了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分．注：1）數(shù)一、數(shù)二要求：掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值．2）數(shù)三要求：會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會(huì)利用定積分求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題．.考試內(nèi)容一、定積分的概念與性質(zhì)1.定義；錯(cuò)誤！未找到引用源。注：（1）積分與所用變量的符號(hào)無(wú)關(guān).（2）規(guī)定：,.錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。3）幾何意義4）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上可積，則錯(cuò)誤！未找到引用源。特別地， ．錯(cuò)誤！未找到引用源。【例1】求和式極限（ 1）錯(cuò)誤！未找到引用源。2）錯(cuò)誤！未找到引用源。3）錯(cuò)誤！未找到引用源。5人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)4）錯(cuò)誤！未找到引用源?？煞e的條件（1）可積的必要條件：若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上可積，則錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上有界．（2）可積的充分條件：若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)或僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上可積；定積分的性質(zhì)假設(shè)各性質(zhì)中所列出的定積分都是存在的．（1）．錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）．錯(cuò)誤！未找到引用源。注：分段函數(shù)的積分（3）若在錯(cuò)誤！未找到引用源。上錯(cuò)誤！未找到引用源。，則．錯(cuò)誤！未找到引用源。．錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。分別是錯(cuò)誤！未找到引用源。在 上最大值與最小值，則錯(cuò)誤！未找到引用源。．錯(cuò)誤！未找到引用源。（5）積分中值定理：若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，則存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。.注：①錯(cuò)誤！未找到引用源?？梢栽趨^(qū)間內(nèi)部取到.②若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上可積且定號(hào),則錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。.【例2】（11304）設(shè),,錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。,則錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。的大小關(guān)系是[]．錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未6人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.【例3】設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上可導(dǎo),且錯(cuò)則存在誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 , 使得錯(cuò)誤！未找到引用源。二、奇偶函數(shù)與周期函數(shù)的積分性質(zhì)若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上可積，則．錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上可積，則．錯(cuò)誤！未找到引用源。注：若錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇函數(shù)，則錯(cuò)誤！未找到引用源。的原函數(shù)均為偶函數(shù)．若 為偶函數(shù)，則原函數(shù)中只有一個(gè)原函數(shù)是奇函數(shù)．錯(cuò)誤！未找到引用源。設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為周期的可積函數(shù)，則任意周期上的積分相等.，錯(cuò)誤！未找到引用源。．錯(cuò)誤！未找到引用源。4.設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為周期的連續(xù)函數(shù)，則錯(cuò)誤！未找到引用源。的原函數(shù)以錯(cuò)誤！未找到引用源。為周期的充分必要條件是．錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】積分________．錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是連續(xù)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的一個(gè)原函數(shù)，“錯(cuò)誤！未找到引用源?！北硎惧e(cuò)誤！未找到引用源。的充要條件是錯(cuò)誤！未找到引用源。，則必有[]．（A）錯(cuò)誤！未找到引用源。是偶函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。是奇函數(shù)．（B）錯(cuò)誤！未找到引用源。是奇函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。是偶函數(shù)．7人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)（C）錯(cuò)誤！未找到引用源。是周期函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。是周期函數(shù)．（D）錯(cuò)誤！未找到引用源。是單調(diào)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。是單調(diào)函數(shù)．【例6】設(shè)函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，證明：錯(cuò)誤??；未找到引用源。（2）求 .錯(cuò)誤！未找到引用源。三、計(jì)算定積分1.微積分基本公式（牛頓－萊布尼茨公式）：若錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。是錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上的一個(gè)原函數(shù)，則錯(cuò)誤！未找到引用．源。換元積分法與分部積分法注：換元要換限【例7】計(jì)算 。錯(cuò)誤！未找到引用源。【例8】計(jì)算 .錯(cuò)誤！未找到引用源。四、反常積分無(wú)窮區(qū)間的反常積分（1）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，若極限錯(cuò)誤！未找到引用源。存在，則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。收斂，記作錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。，否則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。發(fā)散；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。．（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，若極限錯(cuò)誤！未找到引用源。存在，則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。收斂，記作錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。，否則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。發(fā)散；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。 ．（3）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。 在錯(cuò)誤！未找到引用源。 上連續(xù)，若錯(cuò)誤！未找到引8人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。 都收斂，則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。 收斂，記作 錯(cuò)誤！未找到引用源。 =錯(cuò)誤！未找到引用源。 +錯(cuò)誤！未找到引用源。，否則稱(chēng)錯(cuò)誤！未找到引用源。 發(fā)散；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。 ．無(wú)界函數(shù)的反常積分1）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。為錯(cuò)誤！未找到引用源。的瑕點(diǎn)，若極限存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。則稱(chēng)收斂，記作=錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用，否則稱(chēng)發(fā)散；源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則．錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。為錯(cuò)誤！未找到引用源。的瑕點(diǎn)，若極限存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。則稱(chēng)收斂，記作=錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用，否則稱(chēng)發(fā)散；源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則．錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù)，點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。為錯(cuò)誤！未找到引用源。的瑕點(diǎn)，若與錯(cuò)誤！未找到引用源。都收斂，則稱(chēng)收斂，記作錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找=+，到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。否則稱(chēng) 發(fā)散；錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。．錯(cuò)誤！未找到引用源。幾個(gè)重要的反常積分9人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)（1） ；錯(cuò)誤！未找到引用源。（2） ；錯(cuò)誤！未找到引用源。（3） ；錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）．錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】（11212）設(shè)函數(shù),錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.【例10】計(jì)算．錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?1】計(jì)算．錯(cuò)誤！未找到引用源。五、定積分的應(yīng)用㈠平面圖形的面積在直角坐標(biāo)系下1）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸所圍成的平面圖形的面積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的平面圖形的面積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上（錯(cuò)誤！未找到引用源。軸）由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸所圍成的平面圖形的面積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上（錯(cuò)誤！未找到引用源。軸）由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的平面圖形的面積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。在極坐標(biāo)系下10人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)平面圖形：錯(cuò)誤！未找到引用源。的面積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。㈡空間立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)過(guò)錯(cuò)誤！未找到引用源。軸上的任意點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。垂直于錯(cuò)誤！未找到引用源。軸的平面與立體相截所得的截面面積為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，則該立體的體積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。旋轉(zhuǎn)體的體積（以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸）1）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸所圍成的平面圖形：繞錯(cuò)誤！未找到引用源。 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為；錯(cuò)誤！未找到引用源。繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的平面圖形繞錯(cuò)誤！未找到引用源。軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上（錯(cuò)誤！未找到引用源。軸）由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸所圍成的平面圖形繞錯(cuò)誤！未找到引用源。軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上（錯(cuò)誤！未找到引用源。軸）由曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的平面圖形繞錯(cuò)誤！未找到引用源。軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．錯(cuò)誤！未找到引用源。以平行于坐標(biāo)軸的直線為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體的體積作垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面與立體相交，所得截面為圓域或圓環(huán)域，求出截面的面積，轉(zhuǎn)化為平行截面面積為已知的立體的體積問(wèn)題．11人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)六、（數(shù)一、數(shù)二要求）平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線 的弧長(zhǎng)為 ．錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積平面圖形：錯(cuò)誤！未找到引用源。繞錯(cuò)誤！未找到引用源。軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為．錯(cuò)誤！未找到引用源。變力沿直線作功設(shè)質(zhì)點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。沿錯(cuò)誤！未找到引用源。軸正向從錯(cuò)誤！未找到引用源。處運(yùn)動(dòng)到錯(cuò)誤！未找到引用源。處，變力錯(cuò)誤！未找到引用源。的方向與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸正向相同，則變力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 對(duì)質(zhì)點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。所作的功為錯(cuò)誤！未．找到引用源。液體的靜壓力在液面下深為錯(cuò)誤！未找到引用源。處，由液體重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為液體的密度．（1）設(shè)有一面積為錯(cuò)誤！未找到引用源。的平薄板水平地放置在深為錯(cuò)誤！未找到引用源。處的均勻靜止液體中，則平板一側(cè)所受的壓力為錯(cuò)誤！未找到引用源。．（2）設(shè)有一高為錯(cuò)誤！未找到引用源。，寬為錯(cuò)誤！未找到引用源。的平薄板垂直地放置在均勻靜止液體中，平薄板的上方與液面的距離為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則該平薄板所受的側(cè)壓力為，這里建立原點(diǎn)在液面上，正向?yàn)榇怪毕蛳碌?錯(cuò)誤！未找到引錯(cuò)誤！未找到引用源。用源。軸．抽水做功設(shè)一敞口容器側(cè)壁由錯(cuò)誤！未找到引用源。平面中的曲線段錯(cuò)誤！未找到引用源。繞錯(cuò)誤！未找到引用源。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面構(gòu)成，液面距容器口距離為錯(cuò)誤！未找到引用源。，容器深度為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若將比重為錯(cuò)誤！未找到引用源。的液體抽出容器，則所做的功錯(cuò)誤！未找到引用源。

，這里建立原點(diǎn)在液面上， 正向?yàn)榇怪毕蛳碌?錯(cuò)誤！未找到引用源。12人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)軸．引力質(zhì)量分別為錯(cuò)誤！未找到引用源。，相距為錯(cuò)誤！未找到引用源。的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為，錯(cuò)誤！未找到引用源。其中k為引力系數(shù)．7.函數(shù)平均值稱(chēng)為函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上錯(cuò)誤！未找到引用源。的平均值．Ⅲ．題型與例題一.概念與性質(zhì)【例1】設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù),且滿(mǎn)足方程組錯(cuò)誤！未找到引用源。;,求錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找錯(cuò)誤！未找到引用源。到引用源。.二．計(jì)算【例2】設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。連續(xù),錯(cuò)誤！未找到引用源。,且滿(mǎn)足方程錯(cuò),求定積分錯(cuò)誤！未找到引用源。.誤！未找到引用源?！纠?】設(shè),求.錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】設(shè),求函數(shù)的表達(dá)式錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。,點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。是它的拐點(diǎn),該曲線在點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。處的切線交于點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。,設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分 .錯(cuò)誤！未找到引用源。三．應(yīng)用13人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)【例6】設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。連續(xù),錯(cuò)誤！未找到引用源。。令，，，則錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源?！纠?】過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。的切線,該切線與曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。軸圍成平面圖形錯(cuò)誤！未找到引用源。,1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的面積.2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。繞直線錯(cuò)誤！未找到引用源。旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.四．中值定理【例8】設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。內(nèi)可微，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，.錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）證明：存在，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。；錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）證明：存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。.【例9】設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。 內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且.錯(cuò)誤！未找到引用源。（Ⅰ）證明：存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。；（Ⅱ）證明：存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。.第六講 常微分方程.考試要求了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的解法．14人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法．會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．注：（1）數(shù)一要求：會(huì)解伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程；會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：y(n)f(x),yf(x,y),yf(y,y)；會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程；會(huì)解歐拉方程．（2）數(shù)二要求：會(huì)用降階法解下列形式的微分方程： y(n)f(x),y f(x,y)，f(y,y)；會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程．3）數(shù)三要求：了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題．Ⅱ. 考試內(nèi)容一. 基本概念1.表示未知函數(shù),未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和自變量之間的關(guān)系的方程稱(chēng)為微分方程.一般形如F(,,y,y(n))0.xy2.微分方程中導(dǎo)數(shù)的階數(shù)的最大值稱(chēng)為微分方程的階.3.如果使方程成為恒等式的函數(shù)稱(chēng)為微分方程的解.如果解中有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù),則稱(chēng)其為微分方程的通解.5.對(duì)于一階（或二階）微分方程 ,給定t t0時(shí)的函數(shù)值（或再給出此時(shí)的導(dǎo)數(shù)值） ,則可將任意常數(shù)唯一確定 .這個(gè)唯一解稱(chēng)為特解 .確定特解的條件稱(chēng)為初值條件（定解條件） .二．一階微分方程形式：yf(x,y),dyf(x,y),P(x,y)dxQ(x,y)dy0dx1.可分離變量方程：f(x)dxg(y)dy通解為f(x)dxg(y)dyC．齊次方程：dyf(y)dxx令uy，有yxu,dyuxdu，得dudx，xdxdxf(u)ux15人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)通解為duudxC，在通解中代回uy．f(u)xx3.一階線性方程：yP(x)yQ(x)通解為yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC]．解的結(jié)構(gòu):非齊次通解=齊次通解+非齊次特解一階線性方程的另一種形式為：dxP(y)xQ(y)，dy通解為xeP(y)dy[Q(y)eP(y)dydyC]．4.伯努利方程（數(shù)一）：yP(x)yQ(x)yn(n0,1)令zy1n，方程化為一階線性方程z(1n)P(x)z(1n)Q(x)，由一階線性方程的通解公式求出通解，代入zy1n即可得到原方程的通解．5.全微分方程（數(shù)一）：P(x,y)dxQ(x,y)dy0QP，其中.xy其通解為u(x,y)C，這里u(x,y)稱(chēng)為微分式PdxQdx的原函數(shù)．（1）u(x,y)xP(x,y0x0或者，u(x,y)yQ(x,y)dyy00（2）由uP,uxQy

)dxyQ(x,y)dy；y0xP(x,y)dx；x0，通過(guò)不定積分求得 u(x,y)；（3）用湊微分法求出u(x,y)，使得du(x,y)PdxQdx，三.可降階微分方程（數(shù)一、二要求）1.y(n)f(x)：方程兩邊對(duì)x積分n次，即可求得通解．2.yf(x,y)，稱(chēng)為不顯含y的可降階方程，令py，原方程化為一階方程dpf(x,p)．dx3.yf(y,y)，稱(chēng)為不顯含x的可降階方程，令py，ydpdpdypdp，原方程化為一階方程pdpf(y,p)．dxdydxdydy三、二階線性微分方程解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性微分方程： y p(x)y q(x)y f(x) ①16人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)二階齊次線性微分方程：yp(x)yq(x)y0②1.若y1(x),y2(x)是方程②的兩個(gè)解，則C1y1(x)C2y2(x)是方程②的解；2.若y1(x),y2(x)是方程①的兩個(gè)解，則y1(x)y2(x)是方程②的解；3.若y(x),y(x)分別是方程①，②的解，則y(x)y(x)是方程①的解；4.若y1(x),y2(x)是方程②的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則方程②的通解為C1y1(x)C2y2(x)；5.若y1(x),y2(x)是方程②的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，y(x)是方程①的一個(gè)特解，則方程①的通解為Cy(x)Cy(x)y(x)；1122（疊加原理）若y1(x),y2(x)分別是方程y p(x)y q(x)y f1(x)與y p(x)y q(x)y f2(x)的解，則 y1(x) y2(x)為方程 y p(x)y q(x)y f1(x) f2(x)的解．四、二階常系數(shù)線性微分方程的解法二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ypyqyf(x)．1.求齊次方程ypyqy0的通解對(duì)應(yīng)的特征方程為2pq0，其兩個(gè)特征根為1,2，按特征根1,2的不同情形得方程的通解如下表特征根的情況 通 解12為實(shí)根yCe1xCe2x1212為重根y(C1C2x)e1x1,2i為共軛復(fù)根yex(CcosxCsinx)122.求非齊次方程ypyqyf(x)的特解按下表確定特解的形式f(x)f(x)的形式與特征特解的形式根的關(guān)系P(x)ex不是Q(x)exm特征根m17人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)是一重特征xQm(x)ex根是二重特征x2Qm(x)ex根ix[Ql(1)(x)cosQl(2)(x)sin不是特exx]ex[Pm(1)(x)cosxPm(2)(x)sinx)]征根ixex[Ql(1)(x)cosxQl(2)(x)sinx]是特征根五、歐拉方程（數(shù)一要求）二階歐拉方程：x2ypxyqyf(x)，令：xet，得xydyx2yd2ydy,dt2，代入原方程，將原方程化為二階dtdt常系數(shù)線性微分方程：【例1】歐拉方程

2dyx2d2ydx2

(p 1)dy qy f(et)．dt4xdy 2y 0(x 0)的通解為_(kāi)_____________．dx六、一階常系數(shù)線性差分方程（數(shù)三要求）一階常系數(shù)線性差分方程yt1aytf(t)(a0)的通解yt為對(duì)應(yīng)的齊次方程yay0~與非齊次方程yayf(t)的特解y之和，t1的通解ytttt1t即y~y．yttt1.齊次方程yt1ayt0~t（C為任意常數(shù)）．的通解為ytC(a)2.非齊次方程yt1aytf(t)的特解yt的形式按下表確定．f(t)的形式f(t)與a的關(guān)系特解的形式baQ(t)btP(t)btnnbatQn(t)btPn(t)a1Qn(t)18人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)a 1 tQn(t)【例1】差分方程yt1yt2t的通解為_(kāi)_______________．t【例2】差分方程2yt110yt5t0的通解為_(kāi)_______________．【例3】某公式每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn)元．若以Wt表示第 t年的工資總額（單位：百萬(wàn)元），則Wt滿(mǎn)足的差分方程是 ___________．.題型與例題.一階方程【例1】微分方程yy(1x)的通解是________________．x【例2】求初值問(wèn)題(yx2y2)dxxdy0(x0)的解．yx10【例3】（11109）微分方程yyexcosx滿(mǎn)足條件y(0)0的解為.答案：exsinx.【例4】設(shè)yex是微分方程xyp(x)yx的一個(gè)解，求此微分方程滿(mǎn)足條件yxln20的特解．【例5】解微分方程y12.y2x【例6】設(shè)F(x)f(x)g(x)，其中函數(shù)f(x),g(x)在(,)內(nèi)滿(mǎn)足以下條件：f(x)g(x)，g(x)f(x)，且f(0)0，f(x)g(x)2ex．1）求F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程；2）求出F(x)的表達(dá)式．【例7】設(shè)函數(shù) f(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足x2t2)f(t)dtx2，求f(x)的表達(dá)式．f(x)(x0二．可降解的方程【例8】求微分方程y(xy2)y滿(mǎn)足初始條件y(1)y(1)1的特解.【例9】微分方程yy(y)20滿(mǎn)足初始條件y(0)1,y(0)1的特解是.219人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)【例10】（11218）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l:yy(x)與直線yx相切于原點(diǎn)，記為曲線l在點(diǎn)(x,y)處切線的傾角，若ddydx，求y(x)的表達(dá)式.dx三．解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)【例11】設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)y1,y2,y3都是非齊次方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，C,C2為任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是[]．1（A）C1y1C2y2y3．（B）C1y1C2y2（C）CyCy(1CC)y．（D）CyCy21122123112【例12】函數(shù)yC1exC2e2xxex滿(mǎn)足的一個(gè)微分方程是

(C1C2)y3．(1C1C2)y3．[]．（A）yy2y3xex．（B）yy2y3ex．（C）yy2y3xex．（D）yy2y3ex．【例13】（11204）微分方程y2yexex(0)的特解形式為（）(A)a(exex).(B)ax(exex).(C)x(aexbex).(D)x2(aexbex).答案：C.【例14】求微分方程yyxcosx的通解.【例15】設(shè)方程yaybycex有一個(gè)特解是ye2x(1x)ex，求常數(shù)a,b,c的值及該方程的通解．【例16】設(shè)f(x)sinxxtf(xt)dt，其中f連續(xù)，求f(x)．020人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)第七講 多元函數(shù)微分學(xué).考試要求理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求全微分，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．注：數(shù)一、二要求：了解隱函數(shù)存在定理．?dāng)?shù)一要求：了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性；理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法；了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程；了解二元函數(shù)的二階泰勒公式．Ⅱ.考試內(nèi)容一、多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念與性質(zhì)1.函數(shù)概念及幾何意義 : z f(x,y),表示空間的曲面 .二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念及性質(zhì)（1）如果limf(x,y)A，則存在點(diǎn)(x0,y0)的某去心鄰域，使得(x,y)(x0,y0)1f(x,y)A(0)；若A0，f(x,y)與A同號(hào)．（2）如果limf(x,y)f(x0,y0)，則稱(chēng)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù).(x,y)(x0,y0)（3）（有界性與最大值最小值定理）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)必在D上有界，且能取得它的最大值與最小值．4）（介值定理）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值．多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)，x0x21人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)fy(x0,y0)limf(x0,y0y)f(x0,y0)．y0y多元函數(shù)全微分的概念如果函數(shù) z f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全增量 z f(x x,y y) f(x,y)可表示為zAxByo()，則稱(chēng)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，而AxBy稱(chēng)為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分，即dzAxBy．多元函數(shù)微分的性質(zhì)1）可微的必要條件：如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)z,z存在，且有dzzdxzdy．xyxy（2）可微的充分條件：如果函數(shù)zf(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)z,z在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，xy則函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微．（3）如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)．5.如果函數(shù)z2z,2z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)yxxy該區(qū)域內(nèi)2z2z．xyyx總結(jié)：設(shè)函數(shù) z f(x,y)，點(diǎn)M0(x0,y0)，有f,f在M0處連續(xù)f(x,y)在M0處可微f(x,y)在M0處偏導(dǎo)數(shù)存在xyf(x,y)在M0處連續(xù)特別注意：f(x,y)在M0處偏導(dǎo)數(shù)存在不一定能得到f(x,y)在M0處可微，f(x,y)在M0處偏導(dǎo)數(shù)存在不一定能得到f(x,y)在M0處連續(xù)．二、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.設(shè)zf(u,v)，u(t)，v(t),則全導(dǎo)數(shù)dzfdufdvf1f2.dtudtvdt注：（1）對(duì)中間變量求偏導(dǎo)數(shù),將其它中間變量看作常數(shù).對(duì)自變量求偏導(dǎo)數(shù),將其它自變量看作常數(shù).22人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)（2）對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)用函數(shù)變量名 ,對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)用函數(shù)關(guān)系名 .（3）規(guī)則偏導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)=自變量個(gè)數(shù)公式中項(xiàng)數(shù)=與自變量有關(guān)的中間變量個(gè)數(shù)2.設(shè)zf(u,v),u(x,y),v(x,y),則zfufvf11f21xuxvxzfufvf12f22yuyvy3.設(shè)zf(u),u(x,y),則zfuf1,zfuf2xuxyuy4.設(shè)zf(u,x,y),u(x,y),（自變量同時(shí)也是中間變量）則zfuf,zfufxuxxyuyy注：z是對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù),計(jì)算時(shí)變量u是x,y的函數(shù);f是對(duì)中間變量x的偏xx導(dǎo)數(shù),計(jì)算時(shí)將變量u看作與x無(wú)關(guān).5.隱函數(shù)求導(dǎo)F(x,y)0確定yf(x)，則dyFx.dxFyF(x,y,z)0確定zf(x,y)，則zFxzFy.xFz,Fzx會(huì)推導(dǎo)由F(x,y,z)0yy(x)G(x,y,z)確定的z的導(dǎo)數(shù).0z(x)三、多元函數(shù)的極值與最值問(wèn)題無(wú)條件極值問(wèn)題（1）取極值的必要條件：設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)00(x0,y0)處有極值，則fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0．（2）取極值的充分條件：設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階00及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0，令A(yù)fxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，則zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：1ACB20時(shí)取得極值，且當(dāng)A0時(shí)取得極大值，當(dāng)A0時(shí)取得極小值；23人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)2ACB20時(shí)沒(méi)有極值；3ACB20時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極大值，需另作討論．條件極值問(wèn)題（1）求函數(shù)z f(x,y)在約束條件 g(x,y) 0下的最大值與最小值．作拉格朗日函數(shù) F(x,y; ) f(x,y) g(x,y)（2）求函數(shù)u f(x,y,z)在約束條件 g(x,y,z) 0和h(x,y,z) 0下的最大值與最小值．作拉格朗日函數(shù) F(x,y,z; , ) f(x,y,z) g(x,y,z) h(x,y,z)利用拉格朗日函數(shù)取到極值的必要條件即可．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值設(shè)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，（1）求f(x,y)在D內(nèi)部的可能極值點(diǎn)（駐點(diǎn)及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)） ；（2）求f(x,y)在D的邊界上的可能極值點(diǎn)；求出f(x,y)在上述可能極值點(diǎn)處的函數(shù)值，則在這些函數(shù)值中，最大者與最小者分別就是 f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值與最小值．四、（數(shù)一要求）方向?qū)?shù)與梯度1）函數(shù)uf(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處沿方向l的方向?qū)?shù)為ffcosfcosfcos，lxyz其中(cos,cos,cos)為l的方向余弦．2）函數(shù)uf(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處的梯度為gradf(x,y,z) fi fj fk．x y z注：函數(shù)在某點(diǎn)處的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向是函數(shù)在該點(diǎn)處使方向?qū)?shù)最大的方向，它的模是最大方向?qū)?shù)的導(dǎo)數(shù)值．2.設(shè)空間曲線 :x x(t),y y(t),z z(t)，M0(x0,y0,z0) (x(t0),y(t0),z(t0))是曲線 上的一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn) M0處的1）切向量為(x(t0),y(t0),z(t0))；（2）切線方程為xx0yy0zz0；x(t0)y(t0)z(t0)（3）法平面方程為x(t)(xx)y(t)(yy)z(t)(zz)0．00000024人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)3.設(shè)曲面:F(x,y,z)0，M0(x0,y0,z0)是上的一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn)M0處的（1）法向量為gradF(M)(F(M0),F(M0),F(M0))；0xyz（2）法線方程為xx0yy0zz0；Fx(M0)Fy(M0)Fz(M0)（3）切平面方程為Fx(M0)(xx0)Fy(M0)(yy0)Fz(M0)(zz0)0．.題型與例題.偏導(dǎo)數(shù)與微分的概念【例1】已知f(x,y) ex2 y4，則[A）fx(0,0)，fy(0,0)都存在．（C）fx(0,0)存在， fy(0,0)不存在．

]．B）fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在．D）fx(0,0)，fy(0,0)都不存在．【例2】考慮二元函數(shù)f(x,y)的以下四條性質(zhì)：（1）f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)．（2）f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．（3）f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微．（）在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在．4f(x,y)若用“AB”表示可由性質(zhì)A推出性質(zhì)B，則[]．（A）（2）（3）（1）．（B）（3）（2）（1）．（C）（3）（4）（1）．（D）（3）（1）（4）．【例3】二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個(gè)充分條件是[]．（A）lim[f(x,y)f(0,0)]0．(x,y)(0,0)（B）limf(x,0)xf(0,0)0,limf(0,y)yf(0,0)0．x0y0（C）limf(x,y)f(0,0)0．x2y2(x,y)(0,0)（D）lim[fx(x,0)fx(0,0)]0,lim[fy(0,y)fy(0,0)]0．x0y0二. 求偏導(dǎo)數(shù)與微分顯函數(shù)【例xysint2Fx0.4】（11111）設(shè)函數(shù)F(x,y)t2dt，則x201y2答案：4.25人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)x【例5】（11310）設(shè)函數(shù)z1xy.y，則dz(1,1)答案：(2ln21)(dxdy).2.抽象函數(shù)【例6】設(shè)f(u)可微，且f(0)1f(4x2y2)在點(diǎn)（1,2）處的全微分，則z2dz(1,2)=__________________．【例7】設(shè)zf(xy,xy,xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2zdz與.xy【例8】（11116）設(shè)函數(shù)zf(xy,yg(x))，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x1處取得極值g(1)1，則2zx1.xyy1【例9】（11316）已知函數(shù)f(u,v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，f(1,1)2是f(u,v)的極值，zf((xy),f(x,y))，求2z.xy(1,1)【例10】設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足2f2f1，u2v2又g(x,y)f[xy,1(x22)]，求2g2g．2yx2y23.隱函數(shù)求導(dǎo)【例11】設(shè)zz(x,y)是由方程x2y2z(xyz)所確定的函數(shù)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且1．（1）求dz；（2）記u(x,y)1zz，求u．xyxyx【例13】設(shè)y y(x),z z(x)是由方程z xf(x y)和F(x,y,z) 0所確定的函數(shù),其中f和F分別具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù) , 求dz.dx【解】方程z yf(x y)和F(x,y,z) 0兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得到26人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)dzfx(1dyy)dx)f(xdxFFdyFdz0xydxzdx整理得到xf(xy)dydzfxf(xy)dxdxFdyFdzFydxzdxx由此解得dz(fxf)FxfFyxdxFxfFyz三.極值與最值【例14】求f(x,y)x2(2y2)ylny的極值．【解】顯函數(shù)的極值.分別對(duì)x和y求導(dǎo),用極值必要條件,有f2x(2y2)0;f2x2ylny10xy解方程組,得唯一駐點(diǎn)x0,ye1.求二階偏導(dǎo)數(shù),有2z2(2y2);2z2x21;2z4xyx2y2yxy將駐點(diǎn)代入,得A2(2e2),B,0.因?yàn)锳0,ACB20,根據(jù)極值充eC分條件,x0,ye1是極小值點(diǎn),極小值等于e1.【例15】（11103）設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且在f(x)0,f(0)0,則函數(shù)zf(x)lnf(y)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（）(A)f(0)1，f(0)0.(B)f(0)1，f(0)0.(C)f(0)1，f(0)0.(D)f(0)1，f(0)0.【解】(A).【例16】（11205）設(shè)函數(shù)f(x),g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(0)0,g(0)0，且f(0)g(0)0,則函數(shù)zf(x)g(y)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（）27人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)(A)f(0)0,g(0)0.(B)f(0)0,g(0)0.(C)f(0)0,g(0)0.(D)f(0)0,g(0)0.【解】(A).【例17】設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y(x,y)0．已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件(x,y)0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是[]．（A）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0．（B）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0．（C）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0．（D）若fx(x0,y0)0，則fy(x0,y0)0．【例18】已知函數(shù)zf(x,y)的全微分dz2xdx2ydy，且f(1,1)2．求f(x,y)在橢圓域D{(x,y)|x2y21}上的最大值與最小值．4x1,y0,1.代入f（x,y）得f(0,2)2,f(1,0)3，可見(jiàn)zf(x,y)在區(qū)域D{(x,y)x2y21}內(nèi)的最大值為3，最小值為2.4【例19】函數(shù)uln(xy2z2)在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A指向點(diǎn)B(3,2,2)方向的方向?qū)?shù)為_(kāi)_________．【例20】函數(shù)f(x,y)arctanx在點(diǎn)(0,1)處的梯度為_(kāi)_______________．yxtt2的所有切線中，與平面【例21】在曲線yx2yz4平行的切線[]．t3A）只有一條．（B）只有兩條．（C）至少有三條．（D）不存在．【解】在曲線的任意點(diǎn)處的切向量為 (1, 2t,3t2)，由已知它與平面的法向量(1,2,1)垂直，所以，(1,2t,3t2)(1,2,1)=3t24t11或1，所以選（B）．=0，得t3【例22】曲面zx2y2與平面2x4yz0平行的切平面的方程是________．【解】令F(x,y,z)zx2y2，則Fx2x，F(xiàn)y2y，F(xiàn)z1．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，則切平面的法向量為{2x0,2y0,1}，其與已知平面2x4yz0平行，因此有2x02y01，241可解得x01,y02，相應(yīng)地有z0x2y25．00故所求的切平面方程為2(x1)4(y2)(z5)0，即2x4yz5．28人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)【例23】設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)附近有定義，且fx(0,0)3,fy(0,0)1，則[]．（A）dz|(0,0)3dxdy．B）曲面zf(x,y)在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的法向量為{3,1,1}．z f(x,y)（C）曲線 在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的切向量為 {1,0,3}．0f(x,y)（D）曲線 在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的切向量為 {3,0,1}．y 0【解】對(duì)于（A），偏導(dǎo)數(shù)存在只是可微的必要條件，所以（A）不一定成立．對(duì)于（B），首先f(wàn)(x,y)在點(diǎn)（0,0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證曲面zf(x,y)在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處存在切平面．即使切平面存在，曲面zf(x,y)在任意點(diǎn)處的法向量為(fx,fy,1)，代入驗(yàn)算知（B）也不成立．zf(x,y)xxy0對(duì)于（C），以x為參數(shù)，曲線可表示為，y0zf(x,0)其在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的切向量為(1,0,fx(0,0))(1,0,3)，所以（C）為正確選項(xiàng)．29人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)30人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)第八講 二重積分.考試要求了解二重積分的概念與基本性質(zhì)．掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）．注：1）數(shù)一要求：了解三重積分的概念與基本性質(zhì)，了解二重積分的中值定理；會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）．2）數(shù)三要求：了解無(wú)界區(qū)域上較簡(jiǎn)單的反常二重積分并會(huì)計(jì)算．一、二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的定義nf(x,y)dlimf(i,i)iD0i1注：（1）若f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，或在D上有界且只在有限條曲線上不連續(xù)，則函數(shù)可積.（2）若f(x,y)d存在,則對(duì)D:0x1,0y1取特殊的分割方式可得Dnnf(i,j)12limi1f(x,y)dn二重積分的性質(zhì)（1）[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d；DDD（2）f(x,y)df(x,y)df(x,y)d，其中DD1D2；DD1D2注：f(x,y)df(x,y)df(x,y)dD1D1D2D2（3）1dA，其中A為D的面積；D（4）若在D上f(x,y)g(x,y)，則f(x,y)dg(x,y)d；DD注：逆命題不成立31人民網(wǎng)教育頻道——北京海天教育集團(tuán)（5）設(shè)M,m分別是 f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值與最小值， A為D的面積，則mA f(x,y)d MA；D（6）（二重積分的中值定理） 設(shè)f(x,y)在閉區(qū)域 D上連續(xù)，A為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn) ( , )，使得 f(x,y)d f(, ) A．D二重積分的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)1）如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則0,f(x,y)f(x,y)，其中D1Df(x,y)d2fd,f(x,y)f(x,y)；y0或yDD10（2）如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則0,f(x,y)f(x,y)Df(x,y)d2fd,f(x,y)f(x,y)，其中D1；x0或xDD10（3）如果積分區(qū)域D關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱(chēng)性，即D關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，則f(x,y)df(y,x)d1[f(x,y)f(y,x)]d．=DD2D二