平面與平面垂直的判定教學設計

北京市第六屆創(chuàng)新教學案例評選選自人教A版必修二《平面與平面垂直的判定》教學設計作者：官維航單位：北京四中順義分校1§ 平面與平面垂直的判定.教學背景分析（一）教學內容分析【教材內容】教材中給出了兩種判定面面垂直的方法——定義法和判定定理.而定義面面垂直需要用到二面角，從而使得二面角概念的引入順理成章 .【地位和作用】知識層面：面面垂直是最后一種學生需要學習的空間垂直關系，所以本節(jié)課的內容對完善學生的知識體系起著重要的作用．思想層面：面面垂直的判定定理能幫助我們實現(xiàn)線面垂直與面面垂直之間的相互轉化,其中蘊含的轉化思想是立體幾何中重要的思想之一.（二）學生情況分析【能力水平】授課對象是普通中學的學生．雖然對日常生活中面面垂直的直觀形象比較熟悉，但部分學生的空間想象能力和邏輯思維能力仍有待于提高．【知識儲備】學生之前已經學習了完整的空間平行關系之間的轉化以及垂直關系中線線、線面之間的相互轉化，這些都是學習本節(jié)課的知識基礎．（三）教學準備【學生準備】一張矩形紙片.【教師準備】與本節(jié)課內容有關的 PPT、幾何畫板課件.二．教學目標的確定【知識與技能目標】理解“二面角”、“二面角的平面角”、“直二面角”、“兩個平面互相垂直”的定義；能用文字、符號、圖形語言表述面面垂直判定定理的內容；能對判定定理進行簡單的應用．【過程與方法目標】通過實例讓學生直觀感知“二面角”的概念；通過類比角的概念以及折紙實驗，幫助學生經歷二面角平面角的發(fā)現(xiàn)過程；通過直觀感知、操作確認，概括出面面垂直的判定定理，體驗空間垂直關系的相互轉化，培養(yǎng)學生邏輯思維能力和空間想象能力．【情感態(tài)度與價值觀】在探求二面角平面角的過程中，感受探索的樂趣；在概括面面垂直判定定理的過程中，體會到數學是有用的，樹立學好數學的信心．三．教學重點和難點的分析【教學重點】平面與平面垂直的判定定理．【教學難點】找二面角的平面角．【教學方法】本節(jié)課主要采用的是啟發(fā)式教學，綜合使用了講授、問答、活動等多種方式．【教學手段】采用多媒體投影，計算機輔助教學四．教學過程的設計設置問題 引入新課實例遞進 探求新知

定義二面角度量二面角定義面面垂直探求判定定理應用舉例 深化認識2歸納總結 鞏固升華（一）設置問題 引入新課【教師提問】前面我們已經學習了直線與直線的垂直，直線與平面的垂直，那么，是否也有平面與平面的垂直呢？舉出一些生活中平面與平面垂直的例子．利用課前準備的矩形紙片給出一個面面垂直的形象．類比兩條直線垂直的定義給出兩個平面垂直的定義．【設計意圖】以問題引導學生的思維活動，經歷從現(xiàn)實的生活空間中抽象出幾何圖形的過程．根據生活中的經驗，學生不難舉出面面垂直的例子．2.考慮到面面垂直與線線垂直的概念都是通過所成角是直角定義的， 所以在學生直觀感知面面垂直的位置關系后， 引導學生類比兩條直線互相垂直的定義給出兩個平面互相垂直的定義，而定義平面與平面垂直需要用到二面角的概念， 從而使得二面角概念的引入順理成章．（二）實例遞進 探求新知定義二面角：幻燈片:生活中的二面角【設計意圖】為了加強學生對二面角概念的直觀感知，引出二面角的概念，我通過幻燈片給出修筑水壩、發(fā)射人造衛(wèi)星這兩個實例．【學生活動1】學生自學教材P68中二面角的一些相關概念．類比角的概念的同時完成表格的填寫．角 二面角A圖形邊B頂點O邊從平面內一點出發(fā)的兩條射線所定義組成的圖形構成 射線—— 點（頂點）—— 射線表示 ∠AOB【設計意圖】培養(yǎng)學生類比推理能力和自學能力．3度量二面角【問題1】回憶“異面直線所成的角”和“直線和平面所成的角”的定義，這兩種空間角的大小都是用什么量來度量的？【設計意圖】引導學生根據已有的兩種空間角的度量經驗，也想到用“平面角”來度量“二面角.”【問題2】我們平常說過“把門開大一些”，指的就是二面角大一些，二面角也是一種空間角，也應該可以用一個平面角來度量它的大小，怎么找到這個平面角呢？【設計意圖】二面角定量地反映了兩個平面相交的位置關系， 但是如何來度量二面角的大小是本節(jié)課的教學難點．“打開的門”是一個非常好的二面角的生活實例，學生對它也非常熟悉，以它為例有利于加深學生對二面角概念的直觀感知，同時也為學生動手做折紙實驗找二面角的平面角做鋪墊．【學生活動2】折紙實驗（1）將課前準備好的矩形紙片對折，然后慢慢打開、閉合紙片．（2）與同桌交換畫好二面角平面角的紙片．【預案】部分學生能夠正確做出二面角的平面角，知道頂點選在棱上，平面角的兩邊分別在兩個半平面內并與棱垂直；部分學生意識不到角的兩邊應與棱垂直.【設計意圖】1.折紙實驗是依據問題 2中的生活實例抽象出的一個學生能動手操作的模型，通過這個實驗，給學生創(chuàng)設一個探索數學的學習環(huán)境 ,使學生在探究問題的過程中，親身經歷二面角平面角的發(fā)現(xiàn)過程．2.要求與同桌交換結果是想讓找錯二面角的學生自己意識到錯誤， 發(fā)現(xiàn)如果隨意在半平面內作射線，這樣角的大小就會由于所作射線位置的不同而改變， 因而不具有“唯一性．”但在一個面內經過棱上一點只能引棱的一條垂線，所以如果所作的射線與棱垂直，那么此時所作的角就是唯一確定的．3.如果有做法正確的同學，對比他們的結果，頂點選取的位置也不盡相同，這也正好印證了二面角平面角的大小由二面角的兩個半平面位置唯一確定， 與棱上點的選擇無關．4【問題3】在打開和閉合紙片的過程中觀察，這個平面角的頂點應該選在哪兒、角的兩邊又應該選在哪兒、角的兩邊與二面角的棱具有怎樣的位置關系時，二面角的大小就和這個平面角的大小始終相等了？【設計意圖】通過問題3的引導，幫助學生正確找出二面角的平面角 ．定義面面垂直【學生活動】完善面面垂直的文字定義．【教師】給出面面垂直定義的圖形表示，同時指出定義是判定面面垂直的方法之一．幻燈片: 面面垂直的定義及圖形表示面面垂直的定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面β角，就說這兩個平面互相 垂直．DαBEC圖形語言表示為：探究判定定理【實例1】家里的無論門轉動到什么位置都與地面垂直．【實例2】在建筑工地上，工人師傅在砌墻的時候，往往吊一根鉛錘，然后墻緊貼著鉛錘來砌，砌完以后這個墻和地面保證是垂直的．幻燈片：生活中的面面垂直服觀務于察生生活活【教師提問】以上兩個實例能給我們什么啟示呢？面面垂直是兩個平面重要的位置關系之一，另一種重要的位置關系就是面面平行，類比面面平行的判定定理，能否把面面垂直的判定轉化為線面垂直的判定呢？【教師】總結判定面面垂直的兩種方法：①定義法；②判定定理．平面與平面垂直的判定定理：文字語言：如果一個平面經過另一個平面的垂線， 那么這兩個平面互相垂直 .A圖形語言： βDαBC5符號語言：AB α，AB β α β用途：用來證明面面垂直 .【設計意圖】通過分析生活實例，類比歸納面面平行判定定理的過程， 幫助學生通過直觀感知、操作確認的方式概括出面面垂直判定定理．在這個過程中，體驗知識來源于生活，并能服務于生活，體會到數學是有用的，樹立學好數學的信心．（三）應用舉例深化認識【例1】判斷下列說法是否正確：1.如果平面α內有一條直線垂直于平面β內的一條直線，則α⊥β.（）2.如果平面α內有一條直線垂直于平面β內的兩條直線，則α⊥β.（）3.如果平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線,則α⊥β.（）若m⊥α，m∥β，則α⊥β.()【設計意圖】幫助學生辨析應用判定定理的前提條件， 加深學生對定理的理解.【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.PCA O B【設計意圖】初步培養(yǎng)學生應用判定定理進行空間垂直關系的轉化， 提高學生的邏輯推理能力和空間想象能力，同時規(guī)范證明題的書寫．（四）歸納總結 鞏固升華知識方面：二面角、二面角的平面角、面面垂直的定義、面面垂直的判定定理.思想方面：類比、轉化的數學思想.空間中的垂直關系：6？ ？線線垂直 線面垂直 面面垂直？ ？【設計意圖】因為學生已經學習了完整的空間平行關系之間的轉化， 而且面面垂直也是最后一種空間垂直關系， 所以在帶領學生從知識、思想兩個方面對本節(jié)課進行歸納后，給出空間垂直關系的關系圖，希望學生根據已有的經驗對下一節(jié)課要學習的內容作出判斷 .布置作業(yè)：（1）必做題：課本P73習題2.3A組第3、4、6、7題.（2）選做題：如圖，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC,你能發(fā)現(xiàn)哪P些平面互相垂直，為什么？【設計意圖】作業(yè)的設計滿足了不同層次學生不同的數學需A C求，其中必做題進一步鞏固了本節(jié)課的知識，幫助學生體會空間垂直關系的相互轉化．選做題供學有余力的學生做，旨在為他們提供更為廣闊的探求空間．五．教學設計說明通過列舉生活中的實例以及類比直線與直線垂直的定義歸納平面與平面垂直的定義，激發(fā)學生探索的熱情，引導學生認識到引入二面角的必要性．為了提高課堂效率，我采取了讓學生自己閱讀教材并填寫表格的方式完成了對二面角基本概念的學習.通過類比線線角、線面角的度量方法以及折紙實驗，幫助學生親身經歷了二