江西省高安二中2022年高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．現(xiàn)有甲、乙等5名同學排成一排照相，則甲、乙兩名同學相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種2．已知的分布列為：設則的值為（）A． B． C． D．53．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，在取出的3臺中至少有甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有（）A．140種 B．80種 C．70種 D．35種4．某隨機變量服從正態(tài)分布,若在內(nèi)取值的概率為0.6則在內(nèi)取值的概率為()A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.35．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．66．已知點，則它的極坐標是（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．二項式展開式中常數(shù)項等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣159．袋中有大小相同的5個球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨機變量，則所有可能取值的個數(shù)是（）A．5 B．9 C．10 D．2510．已知命題,那么命題為A． B．C． D．11．計算=A． B． C． D．12．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，正面向上的次數(shù)為，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量ξ服從二項分布，則等于__________14．用五種不同的顏色給圖中、、、、、六個區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域不能涂同一種顏色且顏色齊全，則共有涂色方法__________種．15．隨機變量的分布列如下：若，則__________.16．球的半徑為，被兩個相互平行的平面所截得圓的直徑分別為和，則這兩個平面之間的距離是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內(nèi)，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經(jīng)過點，證明：點在直線上.18．（12分）已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開式中的常數(shù)項．19．（12分）為調(diào)查某小區(qū)居民的“幸福度”．現(xiàn)從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉），若幸福度分數(shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸?！保?）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸?！钡母怕?；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個小區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該小區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學期望和方差．20．（12分）如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點為圓心，點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個以為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗)，設矩形的邊長，圓柱形鐵皮罐的容積為.（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？(圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，，使得，對任意正整數(shù)恒成立？若存在，求出實數(shù)、的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.22．（10分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，試用所學知識說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對5個位置進行編號1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學.【詳解】對5個位置進行編號1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當甲排在第2位置時，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（2）當甲排在第3位置時，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（3）當甲排在第4位置時，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A∴排法種數(shù)N=12+12+12=36種.【點睛】分類與分步計數(shù)原理，在確定分類標準時，一般是從特殊元素出發(fā)，同時應注意元素的順序問題.2、A【解析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【點睛】本題考查數(shù)學期望的運算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個變量之間的關系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．3、C【解析】

按照選2臺甲型1臺乙型，或是1臺甲型2臺乙型，分別計算組合數(shù).【詳解】由題意可知可以選2臺甲型1臺乙型，有種方法，或是1臺甲型2臺乙型，有種方法，綜上可知，共有30+40=70種方法.故選：C【點睛】本題考查組合的應用，分步，分類計算原理，重點考查分類討論的思想，計算能力，屬于基礎題型.4、D【解析】分析：由正態(tài)分布曲線圖，內(nèi)取值的概率為0.6，區(qū)間關于對稱，得解。詳解：由正態(tài)分布曲線圖，內(nèi)取值的概率為，區(qū)間關于對稱，故上的概率為.故選D點睛：正態(tài)分布，在區(qū)間段的概率，利用圖像的對稱性可得出左右兩側(cè)的區(qū)間的概率。5、C【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖所示：目標函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值，則此時目標函數(shù)取得最大值，由可得，目標函數(shù)的最大值為：5故選C．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應用．6、C【解析】

由計算即可?！驹斀狻吭谙鄳臉O坐標系下，由于點位于第四象限，且極角滿足，所以.故選C.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬于簡單題。7、D【解析】

根據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數(shù)根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結(jié)果.【詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點在于使用等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，屬中檔題.8、A【解析】

化簡二項式展開式的通項公式，由此計算的系數(shù)，從而得出正確選項.【詳解】當時，即，故常數(shù)項為，選A.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.9、B【解析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種.考點：離散型隨機變量．10、C【解析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結(jié)論,故選C.11、B【解析】分析：根據(jù)復數(shù)乘法法則求結(jié)果.詳解：選B.點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為12、D【解析】分析：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)，由此能求出正面向上的次數(shù)的分布列詳解：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù).故選D.點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的合理運用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用獨立重復試驗的概率計算出、、、，再將這些相加可得出.【詳解】由于，所以，，，，，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查二項分布獨立重復試驗的概率，解這類問題要注意將基本事件列舉出來，關鍵在于靈活利用獨立重復試驗的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題。14、960【解析】分析：先分析出同色區(qū)域的情況，然后其他顏色任意排即可.詳解：同色的區(qū)域可以為AC,AE,AF,BD,BF,CD,CE,DF,共8種，故共有涂色方法8種.故答案為960.點睛：考查排列組合的簡單應用，認真審題，分析清楚情況是解題關鍵，屬于中檔題.15、【解析】

利用概率之和為以及數(shù)學期望列方程組解出和的值，最后利用方差的計算公式可求出的值?！驹斀狻坑深}意可得，解得，因此，，故答案為：?！军c睛】本題考查隨機分布列的性質(zhì)以及隨機變量的數(shù)學期望和方差的計算，解題時要注意概率之和為這個隱含條件，其次就是熟悉隨機變量數(shù)學期望和方差的公式，考查計算能力，屬于中等題。16、7或1【解析】分析：兩條平行的平面可能在球心的同旁或兩旁，應分兩種情況進行討論，分別利用勾股定理求解即可.詳解：球心到兩個平面的距離分別為，，故兩平面之間的距離（同側(cè)）或（異側(cè)），故答案為或.點睛：本題考查球的截面性質(zhì)，屬于中檔題.在解答與球截面有關的問題時，一定要注意性質(zhì)的運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）設，由，得，且，得，，，∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當時，，即點，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經(jīng)過點，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點，且在第一象限內(nèi)，∴，，，由①②，解得，，∴，即點在直線上．18、（1）8；（2）.【解析】

⑴觀察可知，展開式中各項系數(shù)的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開式中的第項，即通項公式，將第一問的代入，并整理，令的次數(shù)為，解出，得到答案【詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項展開式中的第項為Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為＝28.【點睛】本題主要考的是利用賦值法解決展開式的系數(shù)和問題，考查了利用二次展開式的通項公式解決二次展開式的特定項問題。19、（1）；（2）的分布列見解析；數(shù)學期望為；方差為【解析】

首先由莖葉圖統(tǒng)計出“幸?！钡娜藬?shù)和其他人數(shù)，再計算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，知道在該小區(qū)中任選一人該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，再計算即可．【詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“幸福”，”為事件.由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，的可能取值為0,1,2,3,顯然則；；；；所以的分布列為0123【點睛】本題考查莖葉圖、樣本估計總體、分布列、數(shù)學期望，屬于基礎題．20、（1）；（2），.【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據(jù)周長公式得半徑，再根據(jù)圓柱體積公式求V(x)，最后根據(jù)實際意義確定定義域，（2）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)性，進而得函數(shù)最值.詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即鐵皮罐的容積為V(x)關于x的函數(shù)關系式為V(x)＝，定義域為(0，60).（2）由V′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：x(0，20)20(20，60)V′(x)＋0－V(x)↗極大值V(20)↘所以當x＝20時，V(x)有極大值，也是最大值為.答：當x為20cm時，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.點睛：利用導數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用或求單調(diào)區(qū)間；第二步：解得實根；第三步：比較實根同區(qū)間端點的大??；第四步：求極值；第五步：比較極值同端點值的大?。?1、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在實數(shù)，符合題意.【解析】

（Ⅰ）由題意可整理為，從而代入，即可求，的值；（Ⅱ）當時和時，可得到一組、的值，于是假設該式成立，用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】（Ⅰ）因為，整理得，由，代入得，.（Ⅱ）假設存在實數(shù)、，使得對任意正整數(shù)恒成立.當時，，①當時，，②由①②解得：，.下面用數(shù)學歸納法證明：存在實數(shù)，，使對任意正整數(shù)恒成立