應(yīng)變花計算公式

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（1）平面應(yīng)變狀態(tài)：即受力構(gòu)件表面一點處的應(yīng)變情況。

（2）測試原理：

一般最大應(yīng)變往往發(fā)生在受力構(gòu)件的表面。通常用應(yīng)變儀測出受力構(gòu)件表面一點處三個方向的線應(yīng)變值，然后確定該點處的最大線應(yīng)變和最小應(yīng)變及其方程。蝕2.公式推導(dǎo)：肀螆（1）選定坐標(biāo)系為xoy，如圖示肁（2）設(shè)0點處，為已知。規(guī)定伸長為正，切應(yīng)變以xoy直角增大為正。

（3）求任意方向，方向（規(guī)定逆時針方向為正）的線應(yīng)變和切應(yīng)變（即直角的改變量）。

（4）疊加法：求方向的線應(yīng)變和切應(yīng)變蚈蒂①由于而引起ds的長度改變,膀蕆②方向（即方向）的線應(yīng)變裊蚈芆③求的切應(yīng)變即方向的直角改坐標(biāo)軸偏轉(zhuǎn)的角度羅羀以代替式（c）中的，求得坐標(biāo)軸偏轉(zhuǎn)角度：莀羅3.結(jié)論肅螈（1）已知可求得任意方向的肈膅螂（2）已知,求得蕿螆（3）主應(yīng)變和主應(yīng)變方向

比較上述公式，可見芅膂故:羇4.應(yīng)變圓薅蒞5.應(yīng)變的實際測量薃薈①用解析法或圖解法求一點處的主應(yīng)變時，首先必須已知，然而用應(yīng)變儀直接測量時，可以測試，但不易測量。所以，一般是先測出任選三個方向的線應(yīng)變。

②然后利用一般公式，將代入蝕蒁得出：莇蒄聯(lián)解三式，求出,于是再求出主應(yīng)變的方向與數(shù)值肁衿④由③式求出，當(dāng)時與二、四相限的角度相對應(yīng)。膆6.直角應(yīng)變花（45°應(yīng)變花）測量薄蒂為了簡化計算，三個應(yīng)變選定三個特殊方向薁羅測得：，代入一般公式

求得：蚄袃

故聿羈討論：

若與二、四相限的角度相對應(yīng)。見P257、7.21題螄6.等角應(yīng)變花測量肀螁一般公式：螇襖測定值：代入式（a）得：蒁膈蒅襖袁羀主應(yīng)變方向:薈羄節(jié)莈芇肄蚃肀故:肆膃于是由主應(yīng)變公式：螀薈

裊,穿過二,四相限.見P258，7.22題芃Example1.用直角應(yīng)變花測得一點的三個方向的線應(yīng)變膁芀袈Find：主應(yīng)變及其方向

Solution：莃薂螈蚇蒃羃蒀故過二、四相限。莆Example2.若已測得等角應(yīng)變花三個方向的線蒃

試求主應(yīng)變及其方向莄袇Solution：葿薃即:薀膇

蚃

莁

羆螃應(yīng)力測量

(measurementofstress)莂測量物體由于外因或內(nèi)在缺陷而變形時，在它內(nèi)部任一單位截面積上內(nèi)外兩方的相互作用力。應(yīng)力是不能直接測量的，只能是先測出應(yīng)變，然后按應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式計算出應(yīng)力。若主應(yīng)力方向已知，只要沿著主應(yīng)力方向測出主應(yīng)變，就可算出主應(yīng)力。各種受力情況下的應(yīng)變值的測量方法見表1。蝿軸向拉伸(或壓縮)時，沿軸向力方向粘貼應(yīng)變片(表l之1～4)，測出應(yīng)變ε，按單向虎克定律算出測點的拉(壓)應(yīng)力σ=εE。式中ε為應(yīng)變，E為彈性模量。螅彎曲時在受彎件的上下表面上粘貼應(yīng)變片(見表1之5～6)，測出應(yīng)變e，可計算彎曲應(yīng)力。袂扭轉(zhuǎn)時沿與圓軸母線成±45。

角的方向貼片(表1之7～9)，測出主應(yīng)變em，再代入虎克定律公式算出主應(yīng)力σ45o

，即得最大剪應(yīng)力rmax

：螃蒁式中μ為泊松比。螈拉(壓)、彎曲、扭轉(zhuǎn)，其中兩種或三種力的聯(lián)合作用下，不同測量要求的應(yīng)變值測量方法分別見表1的10～14。羂主應(yīng)力方向未知時的應(yīng)力測量如圖1所示。在該測點沿與某坐標(biāo)軸X夾角分別為α1

、α2

和α3

的3個方向，各粘貼一枚應(yīng)變片，分別測出3個方向的應(yīng)變εα1袀罿εα2

和εα3

根據(jù)下式薇肂可解出εx

，εy

和εz

再代入下式求出主應(yīng)變ε1

、ε2

和主方向與x軸夾角a：芁蟻最后，再根據(jù)廣義虎克定律公式莆莆求出主應(yīng)力σ1

、σ2

和Tmax

。螞實際上為了簡化計算，3枚應(yīng)變片與z軸的夾角a1

、a2

和a3

總是選取特殊角，如0o

、45o

、60o

、90o

和120o

并將3枚應(yīng)變片的敏感柵制在同一基底上，形成應(yīng)變花。常用的應(yīng)變花有直角應(yīng)變花(00’一45。一90。)和等角應(yīng)變花(O。

一60。

一120o

)。不同形式的應(yīng)變花的計算公式見表2。腿用應(yīng)變片測量的應(yīng)變值一般是很小的，因而電阻值的變化同樣是很小的。為此，有必要把應(yīng)變計連接到一定的測量系統(tǒng)中，以精確測定應(yīng)變片電阻值的變化。用應(yīng)變片測量應(yīng)變的測量系統(tǒng)框圖見圖2。荿蒆肅袀膈電阻應(yīng)變測量法是實驗應(yīng)力分析中應(yīng)用最廣的一種方法。電阻應(yīng)變測量方法測出的是構(gòu)件上某一點處的應(yīng)變，還需通過換算才能得到應(yīng)力。根據(jù)不同的應(yīng)力狀態(tài)確定應(yīng)變片貼片方位，有不同的換算公式。薆8.7.1

單向應(yīng)力狀態(tài)蒃在桿件受到拉伸(或壓縮)情況下，如圖8-31所示。此時只有一個主應(yīng)力s1，它的方向是平行于外加載荷F的方向，所以這個主應(yīng)力s1的方向是已知的，該方向的應(yīng)變?yōu)閑l。而垂直于主應(yīng)力s1方向上的應(yīng)力雖然為零，但該方向的應(yīng)變e2≠0，而是e2=-μel。由此可知:在單向應(yīng)力狀態(tài)下，只要知道應(yīng)力s1的方向，雖然s1的大小是未知的，可在沿主應(yīng)力s1的方向上貼一個應(yīng)變片，通過測得el，就可利用s1=Ee1公式求得s1。羋8.7.2

主應(yīng)力方向巳知平面應(yīng)力狀態(tài)袆

蚆平面應(yīng)力是指構(gòu)件內(nèi)的一個點在兩個互相垂直的方向上受到拉伸(或壓縮)作用而產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)，如圖8-31所示。蝕圖中單元體受已知方向的平面應(yīng)力s1和s2作用，在X和Y方向的應(yīng)變分別為肀s1作用：X方向的應(yīng)變el為s1/E蚅Y方向的應(yīng)變e2為-μs1/E螆s2作用：Y方向的應(yīng)變e2為e2/E肁X方向的應(yīng)變el為-μe2/E蒈由此可得X方向的應(yīng)變和Y方向的應(yīng)變分別為蚈

（8-72）螅上式變換形式后可得蒂

（8-73）膀由此可知：在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若已知主應(yīng)力s1或s2的方向(s1與s2相互垂直)，則只要沿s1和s2方向各貼一片應(yīng)變片，測得εl和ε2后代入式（8-73），即可求得s1和s2值。蕆8.7.3

主應(yīng)力方向未知平面應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)平面應(yīng)力的主應(yīng)力s1和σ2的大小及方向都未知時，需對一個測點貼三個不同方向的應(yīng)變片，測出三個方向的應(yīng)變，才能確定主應(yīng)力s1和s2及主方向角q三個未知量。圖8-33表示邊長為x和y、對角線長為l的矩形單元體。設(shè)在平面應(yīng)力狀態(tài)下，與主應(yīng)力方向成q角的任一方向的應(yīng)變?yōu)椋磮D中對角線長度l的相對變化量。由于主應(yīng)力sx、sy的作用，該單元體在X、Y方向的伸長量為Δx、Δy，如圖8-33(a)、(b)所示，該方向的應(yīng)變?yōu)閑x=Δx/x、ey=Δy/y；在切應(yīng)力τxy作用下，使原直角∠XOY減小gxy，如圖8-33(c)所示，即切應(yīng)變gxy=Δx/y。這三個變形引起單元體對角線長度l的變化分別為Δxcosq、Δysinq、ygxycosq，其應(yīng)變分別為excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。當(dāng)ex、ey、gxy同時發(fā)生時，則對角線的總應(yīng)變?yōu)樯鲜鋈咧?，可表示?/p>

（8-74）利用半角公式變換后，上式可寫成

（8-75）由式(8-75)可知eθ與ex、ey、gxy之間的關(guān)系。因ex、ey、gxy未知，實際測量時可任選與X軸成q1、q2、q3三個角的方向各貼一個應(yīng)變片，測得e1、e2、e3連同三個角度代入式(8-75)中可得

（8-76）由式(8-76)聯(lián)立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主應(yīng)變e1、e2和主方向與X軸的夾角q，即

（8-77）將上式中主應(yīng)變e1和e2代入式(8-73)中，即可求得主應(yīng)力。在實際測量中，為簡化計算，三個應(yīng)變片與X軸的夾角q1、q2、q3總是選取特殊角，如0°、45°和90°或0°、60°和120°角，并將三個應(yīng)變片的絲柵制在同一基底上，形成所謂應(yīng)變花。圖8-34所示是絲式應(yīng)變花。設(shè)應(yīng)變花與X軸夾角為q1=0°，q2=45°、q3=90°，將此q1、q2、q3值分別代人式(8-76)得

（8-78）由式(8-78)可得

（8-79）將式(8-79)代入式(8-77)可得主應(yīng)變e1、e2和主應(yīng)變方向角q的計算式為

（8-80）

（8-81）將式(8-80)代入式(8-81)得應(yīng)力計算公式為

（8-82）對q1=0°、q2=60°、q3=120°的應(yīng)變花，主應(yīng)變e1、e2和主應(yīng)變方向角θ及主應(yīng)力s1和s2計算公式為

（8-83）

（8-84）

（8-85）僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.

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