2007年考研數(shù)學(xué)一真題與答案

一、選擇題（1~10小題，每小題4分，共40分。下列每題給出的當(dāng)→0時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是√(A)1?1?√√(C)1?1(D)1?√√【答案】B。【解析】(當(dāng)→0時(shí)=(1)??√√√1?√~?√1?1~11?12√√√√2幾個(gè)不同階的無(wú)窮小量的代數(shù)和，其階數(shù)由其中階數(shù)最低的項(xiàng)來(lái)決定。綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較曲線=1(A)0(1漸近線的條數(shù)為(B)1(D)3(C)2【答案】。【解析】由于1+(1+)=∞，則=是曲線的垂直漸近線；(1+)]=0[1+(1+)]=+∞=又=[+1=所以=是曲線的水平漸近線；∞∞一側(cè)。1()1+()===2=0+=1)=[1+(1+)===(1+(1+)]11[+(1+)]=0則曲線有斜漸近線=，故該曲線有三條漸近線。綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線如圖，連續(xù)函數(shù)=徑為1[0,2]上的圖形分別是直徑,則下列結(jié)論正確的是為2的下、上半圓周，設(shè)()=在區(qū)間2上的圖形分別是直∫0(3)=34(3)=5444=-3-2-10123【解析】在四個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值可根據(jù)定積分的幾何(3)=3=2=?=3∫∫002288(2)=2∫=02(?2)=?0()=?(?)=∫∫022(?3)==?0()=?[?]=3∫∫082834由定積分幾何意義知(2)>(3)>(B)∫0(?3)=(3)>0,(?2)=(2)>0顯然排除(A)(D),故選(C)。綜上所述，本題正確答案是。定積分的應(yīng)用設(shè)函數(shù)在=處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是．．(A)若(B)若存在，則(0)=0()存在，則(0)=0(C)若(D)若存在，則存在′()存在，則(0)存在′【答案】?！窘馕觥?A)：若=0,則=0,又已知函數(shù)存在，因?yàn)樵?0處連續(xù)，所以=故(0)=0,(A)正確；()()=(0)(0)=(B)0,則(0)=0，故(B)正確。存在，知(0)=0，則存在，故(C)正確()==則()()()=[]存在，()不能說(shuō)明存在例如()=在=處連續(xù)，()存在，但是不存在，故命題(D)不正確。綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)和微分的概念設(shè)函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且=1,2,?則下列結(jié)論正確的是(A)若>,則}必收斂(B)若>,則}必發(fā)散1212(C)若<,則必收斂(D)若<,則必發(fā)散1212是凹的，1212121221>(2)=但=()=?2)→，排除A；2取()=1,在(0,+∞)上，()>0,且(1)=1>(2)=1,但2=()=1→排除；取()=,()=→+∞，排除(C),(D)。2但=【方法三】由拉格朗日中值定理知?=?=()>0,(1<<2)′21當(dāng)>時(shí)，()=()?+=()(?+<<′()>，且>則()>()>從而有由于′′()>()(?+→+∞′則有=()→+∞綜上所述，本題正確答案是。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線設(shè)曲線()=()具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過(guò)第II象限內(nèi)的點(diǎn)和第IV象限的點(diǎn)，為上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，則下列小于零的是(A)∫(B)∫(D)∫()+′【答案】B?！窘馕觥康淖鴺?biāo)分別為(,),,，則由題設(shè)可得設(shè)1122<,>1212因?yàn)椤?∫=?>0,21∫=∫=?<0；21∫∫=∫=的弧長(zhǎng)>0；()+=+=0∫′綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算設(shè)向量組,,線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是123．．．．?,?,?1111223311+,+,+2233?+,?,?223311,+,+2233【答案】A?！窘馕觥?A)：因?yàn)?)+(?)+(?)=122331所以向量組?,?,?線性相關(guān)；122331(B)：101110011(+,+,+)=(,,)122331123101=110011因?yàn)?,線性無(wú)關(guān)，所以判斷+,+,+線性123122331?≠0101|110|=2≠0,011故知+,+,+1線性無(wú)關(guān)；12233(C)：10?2?,?,?)=(,,)?2101223311230?2110?2|?210|=?7≠理?,?,?122331線性0?21無(wú)關(guān)；(D)：102210021(+,+,+)=(,,)1223312123102|210|=9≠0，同理+021,+,+1線性無(wú)關(guān)；3312綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—向量—向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)2?1?1100設(shè)矩陣=?12?1,=010,則與?1?12000(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似【答案】B。(D)既不合同，也不相似【解析】根據(jù)相似的必要條件=∑，易得和肯定不相似，合同的充分必要條件是具有相同的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)。由?2111?2111?2|?|=||=|1?2|1?211=?3)2的正慣性指數(shù)=2,負(fù)慣性也是正慣性指數(shù)=2,負(fù)慣性指數(shù)=，知矩陣的特征值3,3,0故二次型指數(shù)=而二次型所以和合同綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—二次型—二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣<<1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為??332(1?22(1?2【答案】C。【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)，前3次試驗(yàn)中有1次成功和2次失第4次試驗(yàn)成功，其概率為，所以此敗，其概率為?,132人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為??=2(1?1322綜上所述，本題正確答案是。事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(10)設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，(分別表示=的條件下，的條(為件概率密度()()(D)()【答案】A?！窘馕觥侩S機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，說(shuō)明與相互獨(dú)立，且()=()()≠0,的條件概率密度在=的條件下，根據(jù)題目顯然()為()()==()綜上所述，本題正確答案是。【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)—多維隨機(jī)變量及其分布—二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，常用二維隨機(jī)變量的分布二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分）211。(11)∫=13√【答案】。2【解析】【方法一】2112111()∫=?∫1312211)=?1|+1211()=?∫∫111211=?1+e+|=√2221【方法二】令=1則=1,=?121221111|11∫=?∫=∫=1?∫1213122=e?√?|=√11222√綜上所述，本題正確答案是。2【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法(12)設(shè)是二元可微函數(shù)，=,),則=?！敬鸢浮?+?′′12【解析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方式，可直接得出=?+?′1′2綜上所述，本題正確答案是?+??！?′2【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(13)二階常系數(shù)非齊次微分方程?+=的通解為′=?！敬鸢浮?+?,其中,2為任意常數(shù)121【解析】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為?+3=0?=1,=3212則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為=+12設(shè)原方程特解為=,代入原方程可得??+=?=?2所以原方程的特解為=?故原方程的通解為=+?,其中,2為任意常121數(shù)，綜上所述，本題正確答案是=+?,其中,2為121任意常數(shù)。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程設(shè)曲面||+||+||=則?(+||)=。4√3【答案】。3【解析】由積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性有，?=0,?=?=?=1?(||+||+||=1=1?8?√3=所以，??33324√334√3故(+||)=?34√3綜上所述，本題正確答案是。3【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算0100001000010000(15)設(shè)矩陣=，則的秩為。3【答案】1?！窘馕觥恳?yàn)?0100001000000000000000100000000=,=233)=1。所以(綜上所述，本題正確答案是1?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的乘法，矩陣的秩(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于12的概率為。3【答案】。4【解析】假定在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)為，則0<<1,0<<1,把1為正方形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，而滿足|?|<的點(diǎn)的區(qū)域就是下圖陰2影區(qū)域。根據(jù)幾何型概率，1121121322134（本題滿分11分）?+≤22224,≥上的最大值和最小值?！窘馕觥?=±2=±2=0√√=0=1=?12}內(nèi)的駐點(diǎn)為22(?+2222=?=?++=02=解得2=+?4=022{{=±√5=0=±2=±2=02,{,{，于是條件駐點(diǎn)為=±√32(±√5,√),(±2,0),22而(±√,5√3)=7,=8,=4224=+≤4,≥0}22上的最大值為=，最小值為=0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用(18)（本題滿分10分）,其中為曲計(jì)算曲面積分，=++?Σ2的上側(cè)。面=1??(0≤≤1)24【解析】為曲面=1??2(0≤≤1)的上側(cè)，24=0添加一個(gè)平面:{,和12+≤1124所圍區(qū)域記為，于是=???11而?++1()()())=3?=?(++ΩΩ=3∫1=∫1=π?2002+4?++=?=11?=022+14所以=?=?11【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(19)（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)(相等的最大值，()=g(()=′′()=在∈。得【解析】【方法一】令()=()則()=()=0內(nèi)的最大值為，且分別在∈()，∈設(shè)(),在時(shí)取到，即()=g()=若=取到=即()=；若≠則()=()g()=()=()g()=()g()≥00此時(shí)，由連續(xù)函數(shù)介值定理知在之間至少存在點(diǎn)，()=0綜上所述，存在∈()，使得()=0由羅爾定理知，存在∈(),∈(使得()=′1210,()=；′2再由羅爾定理知，存在∈,),使得()=0,即()=12?！痉椒ǘ坑梅醋C法證明存在∈(，使得()=0：假設(shè)不存在∈()，使得()=0，則由的連續(xù)性知對(duì)于一切∈()恒大于零或恒小于零。設(shè)()>0，設(shè)在∈(取到最大值，則()=()?000g()>0,即()>g(),從而可知()在∈()上的最大值000比g()在∈()上的最大值要大，與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)命題不成立。存在∈(，使得()=0所以由羅爾定理知，存在∈(),∈(使得()=′1210,()=；′2再由羅爾定理知，存在∈,),使得()=0,即()=12。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—微分中值定理（本題滿分10分）設(shè)冪級(jí)數(shù)∑∞在(?∞,+∞)內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足??=0,(0)=0,(0)=1′′2,=1,2,3,?；(I)證明(II)求=的表達(dá)式?！窘馕觥?I)由題設(shè)可得=∑∞,=∑′∞=∑∞=∑∞,代入=0,=0,=1′′可得∑∞2∑∞4∑∞=0=0,=1,=0,0122∑4∑∞=0即∑∞∞比較同次項(xiàng)系數(shù)可得，2=,=1,2,3,?1(II)由=0,=1,=0,=2,=1,2,3,?可得，012=0,=2=2?2=?=1=11)故11∞∞=∑=∑2)=2【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—無(wú)窮級(jí)數(shù)—簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（本題滿分11分）++=01223++=0=0①②設(shè)線性方程組{13++2123與方程++=?1123有公共解，求的值及所有公共解?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧糠匠探M有公共解，即為將兩個(gè)方程聯(lián)立的解++=01223++=0=0{13③+++2123+=?1123對(duì)聯(lián)立方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有11112000?1110103011000?1?1?10=?→??14221211??11?100110→00?1??2)000已知方程組有解，所以應(yīng)有(??=0，=1,=2101001000000=時(shí)，→?0000?1此時(shí)，公共解為：=0,其中為任意常數(shù)。1101?10101001?1=時(shí)，→?00000此時(shí)，有唯一的公共解為=1?1【方法二】1112|=??2)142當(dāng)≠1,≠2=(0,0,0)不是方程②的解，所以公共解發(fā)生在=1或=時(shí)，當(dāng)=1時(shí)，對(duì)方程組①的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換111101121→010141?1000方程組①的通解為=0,其中為任意常數(shù)。1此解也滿足方程組②，所以此時(shí)方程組①和②的公共解為=?10,1其中為任意常數(shù)。當(dāng)=2時(shí)，同樣求方程組①的通解111111122→011→0111440330001000方程組①的通解為=?1,其中為任意常數(shù)。1將其代入方程組②中得：0+2()+=10得=?1,因此此時(shí)方程組①和②的公共解為=1?1【考點(diǎn)】線性代數(shù)—線性方程組—齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，非齊次線性方程組的通解(22)（本題滿分11分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為=1,=2,=?2,且=1231(1,?1,1)是的屬于的一個(gè)特征向量，記?+,其=531中為3階單位矩陣。(I)驗(yàn)證是矩陣的所有特征值和特征向量；1(II)求矩陣?！窘馕觥?I)由=知=(?=那么+)=?=+5353111111=15?13+1所以是矩陣屬于特征值=?2的特征向量11同理，=22，=33，有23=25?23+=,222=35?33+=333因此，矩陣的特征值為=?2,==1。123由矩陣是對(duì)稱矩陣知矩陣也是對(duì)稱矩陣，設(shè)矩陣關(guān)于特征值==的特征向量是=,,)，那么因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣23123特征值不同特征向量相互正交，有=?+=01123所以矩陣關(guān)于特征值==1的特征向量是=232(1,1,0),=(?1,0,1)3屬于特征值=?2的特征向量是(1,?1,1)中111是不為0的任意常數(shù)。矩陣屬于特征值=1的特征向量是(1,1,0)+(?1,0,1)，23其中,是不全為0的任意常數(shù)。23(II)由=1,=,=，有12233(,,)=(,,)123123所以=(,,)(,,)123123?21?111?1=210?110?201101?21?1=210?2011?1101?1121=101?112?11013【考點(diǎn)】線性代數(shù)—矩陣的特征值與特征向量—矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣（本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為2??0<<1,0<<1()={0,其他(I)求>。(II)求=+的概率密度【解析】=?(2??)(I){>}=?111587=∫∫(2??=∫?=22000其中為區(qū)域：1>>>。(II)【方法一】根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量和的