【九年級數(shù)學(xué)代數(shù)培優(yōu)競賽專題】專題4 巧解一元二次方程【含答案】

專題4巧解一元二次方程知識解讀同學(xué)們在學(xué)習(xí)解一元二次方程時，已經(jīng)掌握了公式法，配方法，因式分解法等諸多方法，然而面對一個一元二次方程求解時，我們到底該選用哪一種方法呢？這就需要我們仔細(xì)觀察方程，根據(jù)方程的系數(shù)特點和結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ啙?、快速的解?本文重點介紹因式分解法和換元法。一、因式分解法因式分解法解一元二次方程的步驟可簡記為：“右化零，左分解，兩因式，各求解”.因式分解法解一元二次方程除了大家熟悉的提公因式法，公式法（完全平方公式或平方差公式）外，重點介紹用十字相乘法來求解，主要有兩種類型.類型一：對于方程，若，，則.原方程可化為.步驟：①分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；②分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；③交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)；④橫寫因式.如圖4－1.要領(lǐng)是：豎分常數(shù)交又驗，橫寫因式不能亂.其可因式分解的充分必要條件是是完全平方數(shù)。類型二：對于方程，若，，，其中a，p，q均大于0，則.如圖4－2.要領(lǐng)是：“頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗”.其可因式分解的充分必要條件是是完全平方數(shù).二、換元法換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰.一元二次方程的題目中，有些用常規(guī)方法解，既費時又費力，如果用換元法解，那就方便得多.換元法也可以稱為整體思想法，在數(shù)學(xué)中，整體思想是重要思想之一，要掌握牢固.培優(yōu)學(xué)案典例示范例1解方程.【提示】容易發(fā)現(xiàn)，，所以左邊可分解為（x＋7）（x－1）.解方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【提示】當(dāng)常數(shù)項是正數(shù)時，分解的兩個數(shù)必同號，交又相乘之和等于一次項系數(shù)。當(dāng)常數(shù)項是負(fù)數(shù)時，分解的兩個數(shù)必異號，交又相乘之和仍等于一次項系數(shù)。因此因式分解時，不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次項的系數(shù)，才能保證因式分解的正確性.例2 解方程.【提示】如圖4－3，左邊可分解為（2x－1）（3x－10）.跟蹤訓(xùn)練解方程：（1）；（2）；（3）；（4）.例3解方程.【提示】因為二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)為2的整數(shù)倍，且常數(shù)項較大，故適合選用配方法。將原方程配方得.該題若用因式分解法，則需將9996進(jìn)行分解因式，有點困難；若用求根公式法則計算量太大.例4 解方程.【提示】該方程左邊的兩個因式比較相像，故可以采用換元法來解。令，原方程變形為（a＋1）（t－1）＝1，，，即，從而求出x.該題若利用多項式的乘法轉(zhuǎn)化為一般式求解，相當(dāng)麻煩，利用換元法則可事半功倍。例5 已知，求的值.【提示】把當(dāng)作一個整體來考慮，設(shè)，，則原方程變?yōu)閠（t－2014）＝2015.求得t即可.跟蹤訓(xùn)練1.用換元法解方程.【提示】設(shè)，則，通過y求出x.2.已知實數(shù)x滿，求的值.【提示】原方程化為，令，則.例6解方程.【提示】本題含有絕對值符號，因此求解方程時，要考慮到絕對值的意義。跟蹤訓(xùn)練1.解方程.【提示】解法1：顯然x≠3.分x＞3和x＜3兩種情況討論；解法2：將原方程化為，因式分解得，然后求解。2.解方程.【提示】顯然.分和兩種情況討論.例7解方程.【提示】本題用常規(guī)方法解非常麻煩，可移項變形得，，采用十字相乘法分解因式。跟蹤訓(xùn)練解方程.【提示】為使二次項系數(shù)簡單，方程兩邊同乘以，得，再用十字相乘法進(jìn)行因式分解，解法頗為巧妙. 競賽鏈接例8（2013數(shù)學(xué)周報杯全國初中數(shù)學(xué)競賽）已知實數(shù)x，y滿足，求的值。【提示】把已知的兩個方程分別看作關(guān)于和的一元二次方程.跟蹤訓(xùn)練若k為正整數(shù)，且關(guān)于x的方程有兩個不相等的正整數(shù)根，求k的值.【提示】原方程變形為，.培優(yōu)訓(xùn)練直擊中考1.★是一元二次方程的兩個解，且，下列說法正確的是（）A.小于-1，大于3B.小于-2，大于3C.，在-1和3之間D.，都小于32.★關(guān)于x的方程（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是，則方程的解是（）A.，B.