高等數(shù)學(xué)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)

高等數(shù)學(xué)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)1第1頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)2第2頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正3第3頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級數(shù)的一般項(xiàng),級數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為一般項(xiàng)4第4頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四部分和數(shù)列級數(shù)的部分和當(dāng)n=1，2，3，時(shí)又形成一個(gè)新的數(shù)列，5第5頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四當(dāng)級數(shù)收斂時(shí),稱差值為級數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級數(shù)發(fā)散.顯然收斂,并稱S

為級數(shù)的和,記作則稱無窮級數(shù)6第6頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．7第7頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播放8第8頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例1.討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為9第9頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四2).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.10第10頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例2.

判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和11第11頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和12第12頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例3：對級數(shù)做如下推導(dǎo)：設(shè)于是所以s=-1.判斷上述結(jié)論是否正確，說明理由。13第13頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四

例4.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為14第14頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.15第15頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級數(shù)也收斂,其和為16第16頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四說明:(2)若兩級數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)練習(xí)判別級數(shù)的斂散性。7/217第17頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)18第18頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列為原級數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.因此必有用反證法可證例如19第19頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散發(fā)散的級數(shù)加括號可能收斂，故不能用加括號的方法判別原級數(shù)收斂，但可以用加括號的方法判別原級數(shù)發(fā)散。給了一個(gè)級數(shù)后,要判斷收斂還是發(fā)散，可以按照級數(shù)的特點(diǎn)加括號,但是想的是希望它是發(fā)散的.若加括號以后收斂了,那么什么結(jié)論都得不到.20第20頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例5.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.21第21頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四三、級數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級數(shù)則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級數(shù)發(fā)散.22第22頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.討論1事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.23第23頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四討論2在區(qū)間[n，n+1]上對函數(shù)lnx使用拉格朗日中值定理，24第24頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四8項(xiàng)4項(xiàng)2項(xiàng)2項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.討論325第25頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例6.判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級數(shù)(1)發(fā)散.26第26頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說明原級數(shù)收斂,其和為(2)27第27頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四這說明原級數(shù)收斂,其和為3.(3)28第28頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四作業(yè)P1921(1),(3)；3(2)；

4(1),(3),(5);29第29頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四思考題30第30頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四思考題解答能．由柯西審斂原理即知．31第31頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四練習(xí)題32第32頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四33第33頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四練習(xí)題答案34第34頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推35第35頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推36第36頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推37第37頁，共41頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推38