2023重慶中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)

2023寒假二次函數(shù)如圖：拋物線與軸交于兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn).〔1〕如圖1，連接，試求出直線的解析式；〔2〕如圖2，點(diǎn)為拋物線第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，線段交于點(diǎn)，求此時(shí)的值；〔3〕如圖3，點(diǎn)，連接，將沿著軸上下平移〔包括〕在平移的過(guò)程中直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，那么在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1〕∴令得∴,∴設(shè)的解析式為，∴的解析式為：………………..4分〔2〕連接,過(guò)作軸交于點(diǎn),那么,∴的面積最大時(shí)四邊形的面積最大設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，四邊形的面積最大，此時(shí)設(shè)，代入,，又的解析式為：，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),………….8分…………..12分如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕，與交于點(diǎn)，的平分線與軸交于點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別交，于點(diǎn)，，連接，．〔1〕如圖1，求線段所在直線的解析式；〔2〕如圖1，求△面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；26題圖126題圖226題備用圖〔3〕如圖2，以為邊，在它的右側(cè)作正方形，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)正方形也隨之運(yùn)動(dòng)和變化，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)或頂點(diǎn)在線段上時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．26題圖126題圖226題備用圖解：〔1〕拋物線的解析式為：令，那么，．……………〔1分〕令，那么，解得，．，．……………………〔2分〕設(shè)直線所在直線解析式為：，將，代入可得，解得，直線所在直線解析式為：．…〔4分〕〔2〕過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1．，．．在中，．在與中，，，≌，，．設(shè)，那么．，．在中，，，解得，．．．設(shè)直線所在直線解析式為：，將，代入可得，解得直線所在直線解析式為：．…………〔5分〕26題答圖2又直線的解析式為：．26題答圖2設(shè)，那么，，，，．…〔6分〕該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線．當(dāng)時(shí)，的最大值＝．………〔7分〕26題答圖3此時(shí)，．………………〔826題答圖3〔3〕由，可得直線的解析式為：．=1\*GB3①當(dāng)頂點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3．設(shè)，那么，，．，．，，解得，．．頂點(diǎn)在線段上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．…………〔10分〕=2\*GB3②當(dāng)頂點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖4．26題答圖4設(shè)，那么，，．26題答圖4，．，，解得，．．頂點(diǎn)在線段上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．……〔12分〕綜上所述，頂點(diǎn)在線段上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為；頂點(diǎn)在線段上時(shí)，，正方形的邊長(zhǎng)為．在直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)連接.〔1〕求的正弦值.〔2〕如圖1,為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，記點(diǎn)橫坐標(biāo)為,作//交于點(diǎn),//軸交于點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出當(dāng)時(shí)線段的長(zhǎng).〔3〕如圖2,為軸上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)、重合〕,作//交直線于點(diǎn),連接，是否存在點(diǎn)使,假設(shè)存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1〕∵∴C〔0，4〕令y=0，4x2-8x-12=0x2-2x-3=0(x-3)(x+1)=0x1=-1x2=3∴A(-1,0)B(3,0)∴OA=1,OC=4∴Rt△ACO中，∴……4分〔2〕∵DE//AC，∴∠1+∠2＝∠3＝∠4+∠5又∵∠2＝∠4∴∠1＝∠5∴0A∶OC＝EM∶DM過(guò)點(diǎn)E作EM⊥DH于M設(shè)D〔〕直線BC∶∴H()∴DH=……5分設(shè)EM＝x，那么DM＝4x∠MEH＝∠B∴∴圖2圖2∴＝……7分當(dāng)CH∶BH＝2∶1，延長(zhǎng)DH至K，那么OK∶KB=2∶1,OK=2∴m=2∴……9分〔3〕……12分．如圖1，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，交軸于點(diǎn)C．將直線AC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交軸于點(diǎn)D，交拋物線于另一點(diǎn)E．〔1〕求直線AE的解析式；〔2〕點(diǎn)F是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△FAD的面積最大時(shí)，在線段AE上找一點(diǎn)G〔不與點(diǎn)A、E重合〕，使FG＋GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出FG＋GE的最小值；〔3〕如圖2，將△ACD沿射線AE方向以每秒個(gè)單位的速度平移，記平移后的△ACD為△A′C′D′，平移時(shí)間為t秒，當(dāng)△AC′E為等腰三角形時(shí)，求t的值．EBEBACxyOD26題圖2xOByADFEC26題圖1解：〔1〕在中，令y=0，得．解得，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔－1，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，即OA＝1．………〔1分〕在中，令x＝0，得y＝，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，〕，即OC＝．在Rt△AOC中，tan∠CAO，∴∠CAO＝60°，又∵∠CAD＝90°，∴∠OAD＝30°．在Rt△AOD中，tan∠OAD＝，即tan30°＝，∴OD＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔0，〕．………………….....………〔2分〕設(shè)直線AE的解析式為y＝kx＋b〔k≠0〕，∵點(diǎn)A、點(diǎn)D在直線AE上，∴解得∴直線AE的解析式為．……………....……〔2〕過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸于點(diǎn)H，交直線AE于點(diǎn)K〔如答圖1〕，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥FK于點(diǎn)M．xyFCADOBxyFCADOBEGHKMPQ26題答圖1那么點(diǎn)K的坐標(biāo)為〔x，〕，∴FK＝－()＝∴S△FAD＝S△FAK－S△FDK＝＝＝……...…...〔5分〕∴當(dāng)x＝＝時(shí)，S△FAD有最大值，∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，)．………………...…..……………...…..…〔6分〕點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，作EQ⊥y軸于點(diǎn)Q，GP⊥EQ于點(diǎn)P，那么∠PEG＝30°，GP＝GE，F(xiàn)G+GE＝FG＋GP．過(guò)點(diǎn)F作EQ的垂線，交AE于點(diǎn)G，此時(shí)FG+GE的值最小，∴此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為〔，〕．…….............……...........................…〔7分〕FG+GE的最小值為．…….......…....………...............................…〔8分〕〔3〕連結(jié)C，過(guò)點(diǎn)作F⊥y軸于點(diǎn)F〔如答圖2〕．xBACyOD26題答圖2EF那么C＝，CF＝C＝，F(xiàn)＝CxBACyOD26題答圖2EF∴點(diǎn)的坐標(biāo)為〔t，〕．由〔2〕知：點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔4，〕．∴，，．當(dāng)A=E時(shí)，，解得．.............................................…〔9分〕②當(dāng)A＝AE時(shí)，，解得，〔舍去〕．….........................…〔10分〕③當(dāng)AE=E時(shí)，解得．綜上所述，當(dāng)△AE為等腰三角形時(shí)，或或或．…..........................................................................................................〔12分〕如圖1，拋物線交軸于、兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕，交于點(diǎn)，連接、，其中.求拋物線的解析式；點(diǎn)為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于,作軸于，交于，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值；如圖2，在〔2〕的結(jié)論下，連接分別交于,交于,四邊形從開(kāi)始沿射線平移，同時(shí)點(diǎn)從開(kāi)始沿折線運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為四邊形平移速度的倍，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)四邊形停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)四邊形平移過(guò)程中對(duì)應(yīng)的圖形為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求長(zhǎng)度.如圖1如圖2備用圖．如圖，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E．〔1〕求直線AD的解析式；〔2〕如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長(zhǎng)的最大值；〔3〕如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，四邊形APQM是以PM為對(duì)角線的平行四邊形，點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q關(guān)于直線AM對(duì)稱，連接MQ′，PQ′．當(dāng)△PMQ′與□APQM重合局部的面積是□APQM面積的EQ\F(1,4)時(shí)，求□APQM面積．圖1圖2備用圖解：〔1〕令－x2+2x+3=0，解得x1=－1，x2=3，∴A〔－1，0〕，C〔0，3〕，∵點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴D〔2，3〕，∴直線AD的解析式為：y=x+1；〔2〕設(shè)點(diǎn)F〔x，－x2+2x+3〕，∵FH∥x軸，∴H〔－x2+2x+2，－x2+2x+3〕，∴FH=－x2+2x+2－x=－〔x－EQ\F(1,2)〕2+EQ\F(9,4)，∴FH的最大值為EQ\F(9,4)，易得△FHG為等腰直角△，故△FGH周長(zhǎng)的最大值為EQ\F(9+9\R(2),4)；〔3〕①當(dāng)P點(diǎn)在AM下方時(shí)，如圖，設(shè)P〔0，p〕，易知M〔1，4〕，從而Q〔2，4+p〕，∵△PMQ′與□APQM重合局部的面積是□APQM面積的EQ\F(1,4)，∴PQ′必過(guò)AM中點(diǎn)N〔0，2〕，∴可知Q′在y軸上，易知QQ′的中點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為1，而點(diǎn)T必在直線AM上，故T〔1，4〕，從而T、M重合，故□APQM是矩形，∵易得直線AM解析式為：y=2x+2，而MQ⊥AM，過(guò)M，∴直線QQ′：y=－EQ\F(1,2)x+EQ\F(9,2)，∴4+p=－EQ\F(1,2)×2+EQ\F(9,2)，∴p=－EQ\F(1,2)，〔注：此處也可用AM2+AP2=MP2得出p=－EQ\F(1,2)〕，∴PN=EQ\F(5,2)，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×EQ\F(1,2)×PN×AO=4×EQ\F(1,2)×EQ\F(5,2)×1=5；②當(dāng)P點(diǎn)在AM上方時(shí)，如圖，設(shè)P〔0，p〕，易知M〔1，4〕，從而Q〔2，4+p〕，∵△PMQ′與□APQM重合局部的面積是□APQM面積的EQ\F(1,4)，∴PQ′必過(guò)QM中點(diǎn)R〔EQ\F(3,2)，4+EQ\F(p,2)〕，易得直線QQ′：y=－EQ\F(1,2)x+p+5，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\al(y=2x+2,y=－EQ\F(1,2)x+p+5))解得：x=EQ\F(6+2p,5)，y=EQ\F(22+4p,5)，∴H〔EQ\F(6+2p,5)，EQ\F(22+4p,5)〕，∵H為QQ′中點(diǎn)，故易得Q′〔EQ\F(2+4p,5)，EQ\F(24+3p,5)〕，由P〔0，p〕、R〔EQ\F(3,2)，4+EQ\F(p,2)〕易得直線PR解析式為：y=〔EQ\F(8,3)－EQ\F(p,3)〕x+p，將Q′〔EQ\F(2+4p,5)，EQ\F(24+3p,5)〕代入到y(tǒng)=〔EQ\F(8,3)－EQ\F(p,3)〕x+p得：EQ\F(24+3p,5)=〔EQ\F(8,3)－EQ\F(p,3)〕×EQ\F(2+4p,5)+p，整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2〔與AM中點(diǎn)N重合，舍去〕，∴P〔0，7〕，∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2×EQ\F(1,2)×PN×∣xM－xA∣=2×EQ\F(1,2)×5×2=10．綜上所述，□APQM面積為5或10．如圖1，拋物線y=－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)〕，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔0，－1〕，直線AD交拋物線于另一點(diǎn)E；點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，作PQ∥y軸交直線AE于Q，作PG⊥AD于G，交x軸于點(diǎn)H．〔1〕求線段DE的長(zhǎng)；〔2〕設(shè)d=PQ－EQ\F(\R(3),4)PH，當(dāng)d的值最大時(shí)，在直線AD上找一點(diǎn)K，使PK+EQ\F(1,2)EK的值最小，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)和PK+EQ\F(1,2)EK的最小值；〔3〕如圖2，當(dāng)d的值最大時(shí)，在x軸上取一點(diǎn)N，連接PN、QN，將△PNQ沿著PN翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使△AQQ′是等腰三角形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．解：〔1〕令－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3=0，得x1=－3EQ\R(,3)，x2=EQ\R(,3)，∴A〔EQ\R(,3)，0〕，B〔－3EQ\R(,3)，0〕，設(shè)lAD：y=kx－1，∴k=EQ\F(\R(3),3)，∴直線AD解析式：y=EQ\F(\R(3),3)x－1，∴由eq\b\lc\{(\a\al(y=EQ\F(\R(3),3)x－1,y=－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+))解得eq\b\lc\{(\a\al(x1=－4\R(3),y1=－5))，eq\b\lc\{(\a\al(x2=\R(3),y2=0))，∴DF=EQ\R(,48+16)=8；〔2〕∵PQ⊥x軸，PG⊥AE，∴顯然△AOD∽△PGQ∽△PFH，∵OA=EQ\R(,3)，OD=1，∴∠OAD=30o，∴∠P=30o，∴EQ\F(PF,PH)=EQ\F(\R(3),2)，∴PF=EQ\F(\R(3),2)PH，∴d=PQ－EQ\F(\R(3),4)PH=PQ－EQ\F(1,2)PF，設(shè)P〔x，－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3〕，那么Q〔x，EQ\F(\R(3),3)x－1〕，F(xiàn)〔x，0〕，∴d=〔－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3〕－〔EQ\F(\R(3),3)x－1〕－EQ\F(1,2)〔－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3〕=－EQ\F(1,6)〔x+2EQ\R(,3)〕2+EQ\F(9,2)，∴當(dāng)x=－2EQ\R(,3)時(shí)，d取得最大值EQ\F(9,2)，此時(shí)P〔－2EQ\R(,3)，3〕，如下圖，作KM∥y軸，EM∥x軸，那么KM⊥EM，∴∠KEM=∠OAD=30o，∴KM=EQ\F(1,2)EK，故當(dāng)