2023屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解對(duì)數(shù)不等式確定集合，解分式不等式確定集合，然后由交集的定義計(jì)算．【詳解】由題意，，，或，即或，所以．故選：B．2．設(shè)，，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，由，可得；由，可得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，若，則，即，所以，，若，則，則，所以，，所以，是的必要不充分條件.故選：B.3．在中，，D為邊上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算長度，進(jìn)而可判斷三角形為直角三角形，利用勾股定理即可求解長度.【詳解】由以及余弦定理得,進(jìn)而可得,所以為直角三角形，故,故選：A4．已知有兩個(gè)不同零點(diǎn)a，b，則下列結(jié)論成立的是（

）A．最小值為2 B．最小值為2C．最小值為4 D．最小值為1【答案】C【分析】結(jié)合的單調(diào)性可得，且，進(jìn)而利用基本不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，即可得到答案.【詳解】有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；，即，不妨設(shè)，則，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然由可知等號(hào)不成立，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然由可知等號(hào)不成立，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然由可知等號(hào)成立，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然由可知等號(hào)不成立，故D錯(cuò)誤；故選：C.5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．32 B．28 C．48 D．60【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為的特征即可按比例求解.【詳解】由可知公比，所以，因此，故選：D6．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到，即可得解．【詳解】，，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，即；令，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，即，綜上可知：．故選：A．7．已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn)，是與其相鄰的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得的值.【詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，，，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，則，則，因?yàn)?，，則，因此，.故選：D.8．已知數(shù)列滿足，則（

）A．231 B．234 C．279 D．276【答案】B【分析】根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的特征，根據(jù)分組求和得，進(jìn)而根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)即可求解.【詳解】由可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以，即，由此解得，所以，故選：B二、多選題9．下列區(qū)間中能使函數(shù)單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的解決辦法即可求解.【詳解】由，得，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?令，則，由，得，令即，解得，或，當(dāng)或時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增；所以在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增.故選：BD.10．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，采用降冪公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)特殊角三角函數(shù)，結(jié)合正切的和角公式，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)積化和差公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：ABD.11．在平面四邊形中，，若點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】由數(shù)量積的定義及性質(zhì)，得出，，由余弦定理求得BD，進(jìn)一步根據(jù)幾何關(guān)系得為正三角形，.即可以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法可表示出，，討論值域即可【詳解】由題，，又，則，則，為正三角形，，故以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，則，則，則當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值3，故.故選：BC12．已知函數(shù)對(duì)于任意的，均滿足，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，即，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，因?yàn)?，則，即，所以，，即，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，因?yàn)?，則，即，所以，，即，C對(duì)D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13．已知向量，滿足，且向量與的夾角為，則__________.【答案】【分析】直接利用向量的模的運(yùn)算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，滿足，且向量與的夾角為，所以．故答案為：．14．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差是函數(shù)的極值點(diǎn)，則__________．【答案】21【分析】求導(dǎo)得函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而可求解公差，利用公式即可求解.【詳解】由得，令或，由，進(jìn)而，所以，故答案為：2115．已知函數(shù)，則不等式的解集為______________．【答案】【分析】先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)構(gòu)造，得到其奇偶性和單調(diào)性，再對(duì)不等式變形得到，根據(jù)單調(diào)性得到，解不等式求出答案.【詳解】令，定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，變形為，即，其，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在R上單調(diào)遞增，所以，解得：，所以解集為.故答案為：16．對(duì)任意的，不等式恒成立，則a的范圍為__________．【答案】【詳解】解：由題意可知,設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上成立，因?yàn)?,令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)趨于時(shí)，趨于，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由指數(shù)函數(shù)和反例函數(shù)的圖象可知與在上只有一個(gè)交點(diǎn)，即在上只有一個(gè)根.所以，使，即有，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；所以====.所以成立，即，因?yàn)?，所?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化思想，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和求最值，屬于難題.四、解答題17．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c已知向量，且．(1)求角B的大??；(2)若，求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理邊化角即可計(jì)算作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】(1)在中，因，，，則有，由正弦定理得：，而，因此，即，，所以.(2)由（1）知，，而，由正弦定理得：，即，而，則，其中銳角由確定，而，有，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值1，，所以的最大值為.18．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足，數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由化簡可得到的通項(xiàng)公式，將左右兩邊同除以可得是等差數(shù)列，即可得到的通項(xiàng)公式；（2）分別求出的前n項(xiàng)和，然后用分組求和法直接求出【詳解】(1)由可得，，，左右兩邊同除以，得，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，，，；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為由（1）可得的前n項(xiàng)和，的前n項(xiàng)和①所以②②①得所以，因?yàn)?，所以的前n項(xiàng)和19．已知函數(shù)．(1)記，若對(duì)定義域內(nèi)任意的x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）求導(dǎo)得因式分解，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的最值即可求解，（2）分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】(1)顯然，即，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，．(2)由（1）知①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)在上遞減，上遞增

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),故當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),故當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,在上遞減，上遞增20．如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長度.【答案】（1），；（2）或時(shí)，L取得最大值為米．.【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．所以當(dāng)時(shí)，即

或

時(shí)，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，L取得最大值為米．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數(shù)式變換成的形式求值域3.通過換元，轉(zhuǎn)化成其他類型函數(shù)求值域21．已知函數(shù)(1)求在處的切線方程；(2)求在上的最小值（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再求出其最小值作答.【詳解】(1)函數(shù)求導(dǎo)得：，而，，由，得，所以在處的切線方程為.(2)，由（1）知，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)，即在上遞增，在上遞減，則有，即當(dāng)時(shí)，，而，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，于是得，而，則，所以在上的最小值是1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.22．已知數(shù)列為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用得到，變形后求出通項(xiàng)公式；（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，得到，再令，則證明出結(jié)論；（3）先不