矩陣特征值特征向量研究

矩陣特色值與特色向量的研究目錄一矩陣特色值與特色向量研究的背景及意義3二、特色值與特色向量的定義及其性質(zhì)42.1定義42.2性質(zhì)4三特色值及其特色向量的求法及其MATLAB的實現(xiàn)53.1QR方法5基本源理5詳盡實例53.2用多項式的方法來求解特色值10四特色值與特色向量的簡單應(yīng)用12五小結(jié)16一矩陣特色值與特色向量研究的背景及意義矩陣的特色值與特色向量是高等代數(shù)的重要組成部分，經(jīng)過對矩陣特色值與特色向量的性質(zhì)介紹，以及對矩陣特色值與特色向量理論的解析，將特色值與特色向量應(yīng)用于方程組的求解問題是高等代數(shù)中的重要內(nèi)容。隨著社會到的進步，計算機的飛快發(fā)展，高等代數(shù)這門課程已經(jīng)浸透到各行各業(yè)里面。在很多方面都有著很重要的應(yīng)用。在多半高等代數(shù)教材中,特色值與特色向量描繪為線性空間中線性變換A的特色值與特色向量。從理論上來講只需求出線性變換A的特色值和特色向量就能夠知道矩陣A的特色值和特色向量。因此求矩陣的特色值與特色向量就變得特別重要的引入是為了研究線性空間中線性變換A的屬性。在物理，力學(xué)，工程技術(shù)中有很多問題在數(shù)學(xué)上都歸納為求矩陣的特色值和特色向量的問題?，F(xiàn)在教材中給出的求解特色值和特色性向量的方法基本上都是經(jīng)過求解特方程來求解。有時特色方程會極其的麻煩。有一些文章中誠然給了初等隊列變換的方法來較少計算量，可是仍未掙脫參數(shù)隊列式計算的問題。本文中我們將第一解說有關(guān)特色值和特色向量的有關(guān)知識，其他介紹一些簡單適用的方法來求解矩陣的特色值與特色向量。二、特色值與特色向量的定義及其性質(zhì)2.1定義設(shè)A是n階方陣，假如存在數(shù)λ和n維非零向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ為A的特色值，x是A的對應(yīng)特色值λ的特色向量。2.2性質(zhì)（1）是A的特色值（2）是A的屬于特色值的特色向量的重要條件為為齊次方程組非零解。3）n階矩陣在復(fù)數(shù)域上恰巧有n個特色值（重根按重數(shù)計算）。4）n階矩陣A為可逆矩陣的重要條件是A的特色值全不為0。5）A與有相同的特色值。（6）設(shè)A是可逆矩陣，假如是A的一個特色值，對應(yīng)的特色向量為，則的一個特色值，對應(yīng)的特色向量仍舊為。三特色值及其特色向量的求法及其MATLAB的實現(xiàn)3.1QR方法基本源理QR算法是計算矩陣特色值問題最有效的方法之一，也是廣泛被用于工程實踐中的一種方法。QR方法的思想是鑒于關(guān)于實的非奇怪矩陣都能夠分解為正交矩陣Q和上三角矩陣R的乘積，而且當R的對角元素符號取準時，分解是唯一的。QR算法的基本步驟以下（1）令，對進行正交分解，分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積：（2）此后將獲得的因式矩陣反序相乘，獲得：（3）以代替，重復(fù)以上步驟獲得，因此獲得的QR算法的計算公式為：性質(zhì)1全部的都相像，它們擁有相同的特色值。性質(zhì)2的QR分解式為其中,詳盡實例例1用QR算法求矩陣A=的特色值。解：令,用施密特正交化過程將分解為==將逆序相乘，求出==用代替A重復(fù)上面過程，計算11次得由不難看出，矩陣A的一個特色值是4，另一個特色值是-1，其他兩個特色值是方程=0的根，求得為1+2i,1-2i例2已知矩陣A=,采用QR方法計算A的全部特色值。程序代碼以下function[namda,time,data_na]=tzh(A,tol)ifnargin==1;tol=1e-7end%設(shè)置初始誤差使之能進入循環(huán)wucha=1%記錄迭代的次數(shù)time=0%假如誤差沒有知足精度，而且迭代次數(shù)在500次以內(nèi)，能夠循環(huán)迭代%否則跳出循環(huán)while(wucha>tol)&(time<500)[q,r]=qr(A);A1=r*q;tz0=diag(A1);tz1=diag(A);wucha=norm(tz0-tz1);迭代賦值A(chǔ)=A1;time=time+1;data_na(time,:)=tz1;endnamda=tz1;%用QR方法計算矩陣特色值a=[210131014];%調(diào)用方法函數(shù)[namda,time,data_na]=tzh(a);disp('特色值為')namdadisp('迭代次數(shù)為')time%用于輸出數(shù)據(jù)n1=length(data_na);%n2為數(shù)組n2=(1:n1)';%temp1為迭代序列與特色值組成的向量temp1=[n2,data_na];%第一個特色值subplot(2,2,1:2)plot(data_na(:,1))title('第一個特色值')grid%第二個特色值subplot(2,2,3)plot(data_na(:,2))title('第二個特色值')grid%第三個特色值subplot(2,2,4)plot(data_na(:,3))title('第三個特色值')grid輸出結(jié)果為：特色值為namda=4.73213.00001.2679迭代次數(shù)為time=22由像能夠看出在迭代的前幾次可能會有一些波，可是逐于平，體而言，QR方法是算矩特色的一個比好的方法。3.2用多項式的方法來求解特色值我知道，求n方A的特色就是求代數(shù)方程的根。稱A的特色多式。上式張開其中，??.多式的系數(shù)。從理上來，求A得特色可分兩步：第一步：直接張開隊列式求出多式；第二步：求代數(shù)方程=0的根，即特色。于低矩，種方法然是可行的?？墒怯诟呔兀懔刻仄渌?，種方法就有其自己的缺點。里我將介F-L方法來求特色方程中的多式的系數(shù)，也就是求多式。由于代數(shù)方程求根的關(guān)是確定矩A的特色多式，因此種方法多式方法求特色。矩A=的角元素之和trA=利用的見解定以下n個矩(K=1、2、、、、n):能夠明上式中，k=1,2,3?.n,即是所求A特色多式的各系數(shù)，用上式求矩特色多式系數(shù)的方法稱F-L法，相的特色方程而且可矩A的逆矩可表示特色向量的求法當矩陣A的特色值確定此后，將這些特色值逐個代入齊次線性方程組x=0中，由于系數(shù)矩陣

的秩小于矩陣

的階數(shù)

n，因此誠然有n個方程

n個未知數(shù)，但實際上是解有

n個未知數(shù)的相互獨立到

r個方程（r<n）.當矩陣A的全部特色值互不同樣樣的時候，這樣的問題中要解的其次性方程組中有n-1個獨立的方程，其中含有n個特色向量重量，因此特色向量重量中最少有一個需要隨意假定其值，才能求出其他的特色重量。四特色值與特色向量的簡單應(yīng)用在經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增添模型方面的應(yīng)用在現(xiàn)在的時代發(fā)展中，經(jīng)濟增添飛快發(fā)展?？墒请S著經(jīng)濟增添的同時，環(huán)境污染也更加的嚴重。環(huán)境的治理稱為現(xiàn)在社會需要注意的有一個要點的問題。所以商議環(huán)境與經(jīng)濟增添之間的關(guān)系就變得特其他重要。在這方面矩陣的特色值與特色向量有著必定程度上的應(yīng)用，可成立以下數(shù)學(xué)模型：設(shè)x0,y0分別為某地域目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟發(fā)展水平，x1,y1分別為該地域若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平，且有以下關(guān)系：x14x0y0y13x02y0令0x0,1x1A41y0y132則上述關(guān)系的矩陣形式為a1Aa0此式反應(yīng)了該地域目前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平之間的關(guān)系.如x011A411510y01032155051則由上式得由此可展望該地域若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平.一般地，若令xt,yt分別為該地域t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟發(fā)展水平，則經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增添模型為xt4xt1yt1(t1,2,L,k)令txtyt3xt12yt1yt則上述關(guān)系的矩陣形式為tAt1,t1,2,L,k由此，有A0,2A1A20,3A2A30,( )LtAt1LAt0.由此可展望該地域t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平.下面作進一步地討論：由矩陣A的特色多項式|EA|414)(2)3(2得A的特色值為14,22對14，解方程(4EA)X0得特色向量111對1=2，解方程(EA)x0得特色向量122顯然,1,2線性沒關(guān)下面分三種情況解析：第一種：01

11一個性質(zhì):若a是矩陣A的屬于特色值的特色向,a也是Ak的屬于特色值的特色向量度（*）由(*)及特色值與特色向量的性質(zhì)知，tAtttt10A11141xtt1或xtyt4t即41yt此式表示：在目前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平的前提下，t年后，當經(jīng)濟發(fā)展水平達到較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢.第二種：1022Qy020，因此不討論此種情況1第三種：07Q0不是特色值,因此不能夠近似解析?？墒?能夠由1，2唯一線性表出來：03122由(*)及特色值與特色向量的性質(zhì)tAt0At(3122)3At12At23t2tt1t134t211223421234t4,1即xt34t2yt34t4,xt34t2,yt34t4由此可展望該地域年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平.2因無實質(zhì)意義而在第二種情況中未作討論，但在第三種情況的討論中仍起到了重要作用.由經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增添模型易見，特色值和特色向量理論在模型的解析和研究中獲得了成功的應(yīng)用。在其他方面的應(yīng)用簡述在信息辦理上的意義由于這些投影的大小代表了A在特色空間各個重量的投影，那么我們能夠使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些重量，而把剩下的重量去掉，這樣最大限度地保留了矩陣代表的信息，同時能夠大大降低矩陣需要儲蓄的維度，簡稱PCA方法。[3]線性變換PCA能夠用來辦理圖像。如2維的人像鑒識：我們把圖像A看作矩陣，進一步看作線性變換矩陣，把這個訓(xùn)練圖像的特色矩陣求出來(假定取了n個能量最大的特色向量)。用A乘以這個n個特色向量，獲得一個n維矢量a，也就是A在特色空間的投影。此后在識其他時候同一類的圖像(比方，來自同一個人的面部照片)，認為是A的線性有關(guān)圖像，它乘以這個特色向量，獲得n個數(shù)字組成的一個矢量b，也就是B在特色空間的投影。那么a和b之間的距離就是我們判斷B是不是A的準則。又如Google企業(yè)的PageRank，也是經(jīng)過計算一個用矩陣表示的圖。這個圖代表了整個Web各個網(wǎng)頁“節(jié)點”之間的關(guān)系。用特色向量來對每一個節(jié)點打“特色值”分。五小結(jié)在這個信息飛快發(fā)展的時代，我們的科技正在越來越進步。各樣先進的產(chǎn)品層見迭出。人們在驚訝于社會科技進步的同時不能夠忘了一些基礎(chǔ)學(xué)科在其中起到的重要作用。在本文中我們就簡單的介紹了線性代數(shù)中特色值與特色向量的一些研究。在這個大數(shù)據(jù)的時代，很多半據(jù)都是以矩陣的形式展現(xiàn)在大家到眼前。在矩陣中標有一個很重要的量就是特色值和特色向量。本文主要分為了四個部分介紹了特色值與特色向量的有關(guān)知識。第一在第一部分我們知道了特色值與特色向量的研究背景，我們也理解了其重要性。接下來我們介紹了特色值與特色向量到定義和其一些常用的性質(zhì)，使我們對其有了更加詳盡的認識。此