高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：5.4《三角恒等變換》(含解析)

5.4三角恒等變換典例精析題型一三角函數(shù)的求值【例1】已知0＜α＜eq\f(π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，3sinβ＝sin(2α＋β)，4taneq\f(α,2)＝1－tan2eq\f(α,2)，求α＋β的值.【解析】由4taneq\f(α,2)＝1－tan2eq\f(α,2)，得tanα＝＝eq\f(1,2).由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝1.又因?yàn)棣?、β?0，eq\f(π,4))，所以α＋β＝eq\f(π,4).【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，那么tan(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(13,18) B.eq\f(13,22) C.eq\f(7,23) D.eq\f(3,18)【解析】因?yàn)棣粒玡q\f(π,4)＝(α＋β)－(β－eq\f(π,4))，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tan(α＋β)－tan(β－\f(π,4)),1＋tan(α＋β)tan(β－\f(π,4)))＝eq\f(7,23).故選C.題型二等式的證明【例2】求證：eq\f(sinβ,sinα)＝eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β).【證明】證法一：右邊＝eq\f(sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα,sinα)＝eq\f(sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα,sinα)＝eq\f(sin[(α＋β)－α],sinα)＝eq\f(sinβ,sinα)＝左邊.證法二：eq\f(sin(2α＋β),sinα)－eq\f(sinβ,sinα)＝eq\f(sin(2α＋β)－sinβ,sinα)＝eq\f(2cos(α＋β)sinα,sinα)＝2cos(α＋β)，所以eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).【點(diǎn)撥】證法一將2α＋β寫成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運(yùn)算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問題法”證明，簡捷而新穎.【變式訓(xùn)練2】已知5sinα＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【證明】因?yàn)?sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所以5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，所以2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.即tan(α－β)＋4tanβ＝0.題型三三角恒等變換的應(yīng)用【例3】已知△ABC是非直角三角形.(1)求證：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；(2)若A＞B且tanA＝－2tanB，求證：tanC＝eq\f(sin2B,3－cos2B)；(3)在(2)的條件下，求tanC的最大值.【解析】(1)因?yàn)镃＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝eq\f(－(tanA＋tanB),1－tanAtanB)，所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.(2)由(1)知tanC＝eq\f(－(tanA＋tanB),1－tanAtanB)＝eq\f(tanB,1＋2tan2B)＝eq\f(sinBcosB,cos2B＋2sin2B)＝＝eq\f(sin2B,2(2－\f(1＋cos2B,2)))＝eq\f(sin2B,3－cos2B).(3)由(2)知tanC＝eq\f(tanB,1＋2tan2B)＝eq\f(1,2tanB＋\f(1,tanB))≤eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)2tanB＝eq\f(1,tanB)，即tanB＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號成立.所以tanC的最大值為eq\f(\r(2),4).【點(diǎn)撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運(yùn)用來解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目標(biāo)意識(shí).【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，試判斷△ABC的形狀.【解析】由已知得tanB＋tanC＝eq\r(3)(1－tanBtanC)，eq\r(3)(tanA＋tanB)＝－(1－tanAtanB)，即eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝eq\r(3)，eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3).所以tan(B＋C)＝eq\r(3)，tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).因?yàn)?＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝eq\f(π,3)，A＋B＝eq\f(5π,6).又A＋B＋C＝