2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教a版單元測評解三角形word版含解析

單元測評解三角形(時間：90分鐘滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，共50分．1．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，則A＝()A．60° B．30°C．120° D．60°或120°解析：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)知sinA＝eq\f(\r(3),2)，又a＞b，∴A＝60°或120°.答案：D2．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，則此三角形()A．無解 B．只有一解C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定解析：由A＝130°，而a＜b，可知無解．答案：A3．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，則角C等于()A．30° B．60°或120°C．60° D．120°解析：由余弦定理可得a＝3，根據(jù)正弦定理有eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，故sinC＝eq\f(\r(3),2)，故C＝60°或120°.若C＝60°，則B＝90°＞C，而b＜c，不滿足大邊對大角，故C＝120°.答案：D4．在△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，則△ABC的面積為()A．2eq\r(3) \r(3)C．2eq\r(3)或4eq\r(3) \r(3)或2eq\r(3)解析：如圖，AD＝AB·sinB＝eq\r(3)＜2，故△ABC有兩解：S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\r(3)，S△ABC′＝eq\f(1,2)BC′·AD＝2eq\r(3).答案：D5．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶4∶5，則a∶b∶c等于()A．3∶4∶5B．2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)C．1∶eq\r(3)∶2D．2eq\r(2)∶2eq\r(3)∶(eq\r(3)＋eq\r(2))解析：∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝45°，B＝60°，C＝75°.∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)．答案：B6．在△ABC中，bcosA＝acosB，則該三角形為()A．直角三角形 B．銳角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形解析：∵b＝2RsinB，a＝2RsinA，∴sinBcosA＝sinAcosB，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0或A－B＝π(舍去)，∴A＝B.∴三角形ABC為等腰三角形．答案：C7．若△ABC的周長等于20，面積是10eq\r(3)，A＝60°，則角A的對邊長為()A．5 B．6C．7 D．8解析：a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，又cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴b2＋c2－a2＝bc.②又S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝10eq\r(3)，∴bc＝40.③由①②③可知a＝7.答案：C8．如圖，四邊形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于()\r(3) B．5eq\r(3)C．6eq\r(3) D．7eq\r(3)解析：四邊形面積可分為求△ABD與△BCD兩部分的和，由余弦定理BD＝2eq\r(3)，S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CDsin120°＝eq\r(3)，∠ABD＝120°－30°＝90°，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝4eq\r(3).∴S四邊形ABCD＝eq\r(3)＋4eq\r(3)＝5eq\r(3).答案：B9．△ABC中，若eq\f(a,cosB)＝eq\f(b,cosA)，則該三角形一定是()A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：由acosA＝bcosB，得sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＋2∴A＝B或A＋B＝90°.故△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案：D10．某海上緝私小分隊駕駛緝私艇以40km/h的速度由A處出發(fā)，沿北偏東60°方向航行，進(jìn)行海面巡邏，當(dāng)行駛半小時到達(dá)B處時，發(fā)現(xiàn)北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A處北偏東30°方向上，則緝私艇B與船C的距離是()A．5(eq\r(6)＋eq\r(2))km B．5(eq\r(6)－eq\r(2))kmC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))km D．10(eq\r(6)－eq\r(2))km解析：由題意∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(BC,sin30°)，∴BC＝eq\f(10,sin75°)＝10(eq\r(6)－eq\r(2))．答案：D第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．11．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底邊BC＝10，則△ABC的周長是__________．解析：由正弦定理得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，又∵BC＝10，∴AC＝20.∴AB＝AC＝20，∴△ABC的周長是10＋20＋20＝50.答案：5012．若△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長度等于__________．解析：在△ABC中，由面積公式得S＝eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×2·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2)AC＝eq\r(3)，∴AC＝2，再由余弦定理得：AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC·cosC＝22＋22－2×2×2×eq\f(1,2)＝4，∴AB＝2.答案：213．甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正在向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船應(yīng)取北偏東θ方向前進(jìn)，才能盡快追上乙船，此時θ＝__________.解析：設(shè)乙船的速度是v海里/小時，t小時后甲船在C處追上乙船(如圖)，則由題意得甲船的速度是eq\r(3)v海里/小時，在△ABC中，AB＝a，AC＝eq\r(3)vt，BC＝vt，∠ABC＝120°，由正弦定理知eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠BAC＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)＝eq\f(vt×sin120°,\r(3)vt)＝eq\f(1,2).又0°＜∠BAC＜90°，所以∠BAC＝30°，θ＝60°－∠BAC＝30°.答案：30°14．(2022·寧波高一檢測)有一道解三角形的題，因為紙張破損，在劃橫線地方有一個已知條件看不清，具體如下：在△ABC中角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知角B＝45°，a＝eq\r(3)，__________.求角A.若已知正確答案為A＝60°，且必須使用所有條件才能解得，請寫出一個符合要求的已知條件．解析：在△ABC中，若已知B＝45°，a＝eq\r(3)，A＝60°，則C＝180°－45°－60°＝75°.由正弦定理得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(\r(3)×sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，所以已知條件可填A(yù)B＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，另外，若填C＝75°，則未使用所有條件，若填A(yù)C的長度，求出A＝60°或120°，不合題意．答案：C＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)三、解答題：本大題共4小題，滿分50分．15．(12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大?。?2)若b＝2，c＝1，D為BC的中點(diǎn)，求AD的長．解：(1)由題設(shè)知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因為sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).(4分)由于0＜A＜π，故A＝eq\f(π,3).(6分)(2)因為a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×eq\f(1,2)＝3，所以a2＋c2＝b2，所以B＝eq\f(π,2).(8分)因為D為BC中點(diǎn)，所以BD＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，所以AD＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2).(12分)16．(12分)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，A＝eq\f(π,3)，sinB＝eq\f(\r(3),3).(1)求cosB的值；(2)若2c＝b＋2，求邊長b解：(1)∵sinB＝eq\f(\r(3),3)＜eq\f(\r(3),2)＝sinA，∴B＜A，(4分)∴B為銳角，∴cosB＝eq\f(\r(6),3).(6分)(2)sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),3)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3\r(2)＋\r(3),6).由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，(8分)又c＝eq\f(b,2)＋1，故eq\f(b,\f(\r(3),3))＝eq\f(\f(b,2)＋1,\f(3\r(2)＋\r(3),6))，解得b＝eq\f(\r(6),3).(12分)17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面積為2eq\r(2)，求b，c.解：(1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，∴3cos(B＋C)＝－1，(4分)∴cos(π－A)＝－eq\f(1,3)，∴cosA＝eq\f(1,3).(6分)(2)由(1)得sinA＝eq\f(2\r(2),3)，由面積公式eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)可得bc＝6，①根據(jù)余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－9,12)＝eq\f(1,3)，則b2＋c2＝13，②10分①②兩式聯(lián)立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.(12分)18．(14分)已知函數(shù)f(x)＝msinx＋eq\r(2)cosx(m＞0)的最大值為2.(1)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)△ABC中，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,4)))＝4eq\r(6)sinAsinB，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面積．解：(1)由題意，f(x)的最大值為eq\r(m2＋2)，所以eq\r(m2＋2)＝2.而m＞0，于是m＝eq\r(2)，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(2分)由正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性可得x滿足2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，即2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)．所以f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π)).(6分)(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(3,sin60°)＝2eq\r(3).化簡feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)))＋fe